1、2.4.2 抛物线的简单几何性质 图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程220ypx(p)220 xpy(p)220 xpy(p)2p(0)，2p(0,)2p(0,)220ypx(p)2p(0)，2px 2px 2py 2py 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？以讨论抛物线的哪些几何性质？【思考思考】抛物线有许多重要性质抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的我们根据抛物线的标准方程标准方程研究它的一些简单几何性质研究它的一些简单几何性质.探究点探究点1 1 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质）（1 )0(
2、22ppxy1.1.范围范围 因为因为p0，由方程（，由方程（1）可知，对于抛物线）可知，对于抛物线（1）上的点）上的点M(x，y)，x0，所以这条抛物线在，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与轴的右侧，开口方向与x轴正向相同轴正向相同;当当x的值增大时，的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，右上方和右下方无限延伸，y R.2.2.对称性对称性 以以y代代y，方程，方程（1）不变，所以这条抛物线不变，所以这条抛物线关于关于x轴对称轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做我们把抛物线的对称轴叫做抛物线抛物线的轴的轴3.3.顶点顶点 抛物线和它的轴的交点叫
3、做抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.在在方程（方程（1）中，当）中，当y=0时，时，x=0，因此抛物线（，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点的顶点就是坐标原点4.4.离心率离心率 抛物线上的点抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做距离的比，叫做抛物线的离心率抛物线的离心率，用，用e表示由抛表示由抛物线的定义可知，物线的定义可知，e=1还记得椭圆、双曲线的离心率的范围吗？还记得椭圆、双曲线的离心率的范围吗？xyOFABy2=2px2p 过焦点而垂直于对称轴的过焦点而垂直于对称轴的弦弦ABAB，称为抛物线的，称为抛物线的通径通径.利用抛物线的利
4、用抛物线的顶点顶点、通径通径的两个端点可较准的两个端点可较准确画出反映抛物线基本确画出反映抛物线基本特征的草图特征的草图.pp,2(,)2pp|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.5.5.通径通径 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的物线的焦半径焦半径.焦半径公式：焦半径公式：xyOFP6.6.焦半径焦半径0pPFx.2M M00(,)xy方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0yRx0yRxRy0y0 xRlFy
5、xO关于关于x轴对称轴对称关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称（0,0）e=1抛物线的几何性质抛物线的几何性质(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率抛物线的离心率e是确定的，为是确定的，为;(5)抛物线的通径为抛物线的通径为2p,2p越大，抛物线的张口越大越大，抛物线的张口越大.【总结提升总
6、结提升】探究点探究点2 2 抛物线几何性质的基本应用抛物线几何性质的基本应用BODFA【例例1 1】过抛物线焦点过抛物线焦点 F F的直线交的直线交抛物线于抛物线于A,BA,B两点，通过点两点，通过点A A和抛和抛物线顶点的直线交抛物线的准线物线顶点的直线交抛物线的准线于点于点D D，求证：直线，求证：直线DBDB平行于抛物平行于抛物线的对称轴线的对称轴.分析：分析：我们用坐标法证明，即通过建立抛物线我们用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线及直线的方程，借助方程研究直线DBDB与抛物线对称与抛物线对称轴之间的位置关系轴之间的位置关系.BODxyFA 建立如图所示的直角坐
7、建立如图所示的直角坐标系，只要证明点标系，只要证明点D D的纵坐标的纵坐标与点与点B B的纵坐标相等即可的纵坐标相等即可.证明：证明：如图，以抛物线的对称轴为如图，以抛物线的对称轴为x x轴，它的轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系顶点为原点，建立直角坐标系.设抛物线的方程为设抛物线的方程为抛物线的准线方程是抛物线的准线方程是联立联立(2)(3)(2)(3)，可得点，可得点D D的纵坐标为的纵坐标为所以，直线所以，直线DBDB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴.由由(4)(6)(4)(6)可知，可知，DBxDBx轴轴.联立联立(1)(5)(1)(5)，可得点，可得点B B的纵坐标为的纵坐标
8、为 【例例2】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角上，求这个正三角形的边长形的边长分析：分析：如图，设正三角形如图，设正三角形OABOAB的顶点的顶点A A，B B在在抛物线上，且它们的坐标分别为抛物线上，且它们的坐标分别为(x(x1 1，y y1 1)和和(x(x2 2，y y2 2)，则则 2px2px1 1，2px2px2 2，21y22y 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略
9、了它的证明的证明【总结提升总结提升】故这个正三角形的边长为故这个正三角形的边长为4 3p.xyO3.3.相交（一个交点，两个交点）相交（一个交点，两个交点）.探究点探究点3 3 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系问题问题1：直线与抛物线有怎样的位置关系？直线与抛物线有怎样的位置关系？1.1.相离；相离；2.2.相切；相切；与双曲线与双曲线的情况一的情况一致致一个交点并不一个交点并不意味着相切哦意味着相切哦把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行（重合）对称轴平行（重合）相交（
10、一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离问题问题2：如何判断直线与抛物线的位置关系？如何判断直线与抛物线的位置关系？y y2 2=4x=4x 分析：分析：用解析法解决这个问题，只要讨论直线用解析法解决这个问题，只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系与抛物线的位置关系.由方程组由方程组【变式练习变式练习】k k范围范围抛物线只位于半个坐标平面内，虽然抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线它也可以无限延伸，但没有渐近线抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线抛物线的离心率是确定的，等于抛物线的离心率是确定的，等于2p2p，2p2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大0pPFx.2顶点顶点离心率离心率 通径通径 焦半径焦半径 对称性对称性
