1、2 2 正交多项式正交多项式一、正交函数族与正交多项式一、正交函数族与正交多项式.,)()(2.1)0d)()()(),(,)(,)(),(带权带权(x)正交(x)正交定义5定义5上上在在与与则称则称，且且上的权函数上的权函数为为若若baxgxfxxgxfxgfbaxbaCxgxfba .,1 ,.,)(2.2),2,1,0,(,0)(),(,),(,),(),(,10 标标准准正正交交函函数数族族 数数族族带带权权(x x)的的正正交交函函则则称称该该函函数数系系为为时时当当特特别别地地上上为为则则称称函函数数族族且且满满足足给给定定函函数数族族设设在在 knkkinAbaxkikiAkix
2、xxxxba ,2sin,2cos,sin,cos,1 上上的的正正交交函函数数族族为为例例如如，三三角角函函数数族族 xxxx.0,)sin,(sin)cos,(cos,2)1,1(其其他他内内积积 kxkxkxkx.,)()(.,)()(2.2),)(,)(,0,)(00交多项式交多项式次正次正上的上的为权函数的为权函数的为以为以称称多项式序列多项式序列上的正交上的正交为权函数的为权函数的为以为以，则称，则称满足正交性满足正交性若多项式序列若多项式序列上的权函数上的权函数为为次多项式次多项式的的上首项系数上首项系数是是设设nbaxxpbaxxpxpbaxnabaxpnnnnn 定义6定义6
3、,(),1,:na bxxx只要给定上的权函数由利用逐个正交化手续立得正交多项式序列(2.3).,2,1 ,),(),()(,0)(100 nppppxxxpxpjnjjjjnnn.)(,0),()3(.)(,),(),()()2(.1)()(110项式正交项式正交的多的多与任一次数小于与任一次数小于且且时，时，当当的线性组合的线性组合均可表为均可表为的首项系数为的首项系数为性质：性质：kxpppjkxpxpxpHxQxpkkjnnnn 注意：注意：这些多项这些多项式是线性无关的式是线性无关的 ,2,1),/(),(),/(),(0 )(1)(2.4),1,0),()()()(4111011
4、npppppppxpxpxpnxpxpxxpnnnnnnnnnnnnnnn，其其中中）有有递递推推关关系系（;),()1)(.,)()(50内内的的单单重重实实根根个个根根都都是是在在的的则则序序列列上上的的正正交交多多项项式式为为权权函函数数的的为为以以）设设（bannxpbaxxpnn 二、勒让德多项式二、勒让德多项式.式式Legendre多项Legendre多项 次次称为称为的正交多项式的正交多项式上带权上带权区间区间n(2.5),2,1,0(,)1(dd!21)(1)(1,12 nxxnxPxnnnnn.)!(2)!2(!2)1()12(22nnnnnnannn 其其首首项项系系数数(
5、2.6),2,1,0(,)1(dd)!2(!)(12 nxxnnxPnnnn 勒让德多项式为为的的首首项项系系数数为为:勒让让德多项式性xxxxxnmxxPxPmnmnmnnnmmmnmnmd)1(dd)1(dd!21d)()(.,i)(112211次分部积分做不妨时当证：(2.7).,122,0d)()(11 nmnnmxxPxPnm正正交交性性(1)xxxxxnmxxxxnmnnnmmmnmnnnmmmnmd)1(dd)1(dd!21 )1(dd)1(dd!2111211211112112 xxxxxnmnmnmnmmmnmmd)1(dd)1(dd!21)1(112222 .0)1(dd!
6、2)!2()1(11211 nmnmnnmmxxnmmxxnnxxPnmnnnnd)1()!(2)!2()1(d)(.ii)(11222112 时时当当ttnnnntxdcos)!2()!2(2/2/122sin .122 3)12)(12(2)22)(2(2)!2()!2(2 nnnnnnnn(2.8).)()1()(xPxPnnn 奇奇偶偶性性(2).n)1,1()(个互异的实零点个互异的实零点内部有内部有在在 xPn(3)(2.9),2,1(),(1)(112)(,)(,1)(1110 nxPnnxxPnnxPxxPxPnnn递递推推关关系系(4),35(21)(),13(21)(332
7、2xxxPxxP 可得可得三、切比雪夫多项式三、切比雪夫多项式切比雪夫多项式.切比雪夫多项式.次次称为称为正交化所得正交多项式正交化所得正交多项式，序列，序列权函数为权函数为区间为区间为n,111)(,1,12nxxxx .0),cos()(cos(2.10),2,1,0,11(),arccoscos()(nxTxnxxnxTnn，则则若若令令可可表表为为 ,34)(,12)arccos2cos()(,)cos(arccos)(,1)0cos()(332210 xxxTxxxTxxxTxT :切切比比雪雪夫夫多多项项式式的的性性质质(2.11).()(2)(,)(,1)()1(1110 xTx
8、xTxTxxTxTnnn递推关系递推关系1).(n,2)(1 nnnxxT的的系系数数为为的的最最高高次次幂幂 .,cos .1,)1cos(coscos2)1(cos 即即得得递递推推关关系系式式代代入入事事实实上上，只只需需由由 xnnnn(2.12).0 ,0 ,2/,0d)()(11 )2(112 nmnmnmxxTxTxnm 正正交交性性.;)()3(的偶次幂的偶次幂只含只含为偶数时为偶函数，且为偶数时为偶函数，且当当的奇次幂的奇次幂只含只含为奇数时为奇函数，且为奇数时为奇函数，且当当奇偶性奇偶性xnxnxTn),2,1(,2)12(cos n1,1)()4(nknkxxTkn 个不
9、同的零点个不同的零点上有上有在在四、切比雪夫多项式零点插值四、切比雪夫多项式零点插值五、其他常用正交多项式五、其他常用正交多项式第第二二类类切切比比雪雪夫夫多多项项式式 1 1.多项式多项式第二类切比雪第二类切比雪夫称为称为的正交多项式的正交多项式上带权上带权区间区间(2.14),1arccos)1sin()(1)(1,122xxnxUxxn .,2/,0d1)()(112 nmnmxxxUxUnm ).()(2)(,2)(,1)(1110 xUxxUxUxxUxUnnn拉盖尔多项式拉盖尔多项式 2.2.拉盖尔多项式拉盖尔多项式称为称为的正交多项式的正交多项式上带权上带权区间区间(2.15),(dd)()(),0 xnnnxnxexxexLex .,)!(,0d)()(20 nmnnmxxLxLenmx).()()21()(,1)(,1)(12110 xLnxLxnxLxxLxLnnn埃尔米特多项式埃尔米特多项式 3.3.埃埃尔尔米米特特多多项项式式称称为为的的正正交交多多项项式式上上带带权权区区间间(2.16),(dd)1()()(),(222xnnxnnxexexHex
