1、概率论概率论 第一章第一章 习题课习题课 主要内容主要内容例题选讲例题选讲 概率的公理化定义概率的公理化定义 S,是是它它的的是是随随机机试试验验设设 E ,AP ,赋赋予予一一个个实实数数的的每每一一个个事事件件对对于于样样本本空空间间AE:,A件件如果它满足下列三个条如果它满足下列三个条的概率的概率称之为事件称之为事件 ;0 1 AP 非非负负性性 ;1 2 SP 规范性规范性 ,321有有对对于于两两两两互互斥斥事事件件AA 2121 APAPAAP 可列可加性可列可加性一、概率的定义一、概率的定义 1性质性质 0.P 2性性质质,21则则两两两两互互斥斥设设有有限限个个事事件件nAAA
2、 1212.nnP AAAP AP AP A 3 性质性质,有有对于任何事件对于任何事件 A .1APAP 4 性质性质,则则且且为为两两事事件件、设设BABA BPAPBAP 并并且且 .BPAP 二、概率的性质二、概率的性质 5 性质性质,都有都有对于任一事件对于任一事件 A .1 AP 6 性质性质,则则为任意两个事件为任意两个事件设设BA ABPBPAPBAP CBAP ABPCPBPAP ABCPBCPACP 称这种试验为称这种试验为等可能随机试验等可能随机试验或或古典概型古典概型.若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本
3、空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.AP 中的基本事件总数中的基本事件总数包含的基本事件数包含的基本事件数SA 三、古典概型三、古典概型古典概型中事件古典概型中事件A的概率的计算公式的概率的计算公式:设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 )()()|(BPABPBAP1.条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.四、条件概率四、条件概率 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 2.条件概率的计算条件概率的计算1)用定义计算用定义计算:,)()
4、()|(BPABPBAPP(B)0若若 P(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B)若若 P(A)0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A),SE 的的样样本本空空间间为为设设试试验验nBBB,21 ,则则对对且且的的一一个个划划分分为为n,iBPSi 210,恒有恒有样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件 A niiiB|APBPAP1njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(ni,21,SE 的的样样本本空空间间为为设设试试验验12,nAAA为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分,B 为为 S 中的任一事件中的任一事件,且且P(B)0,则有则有例例1 1 甲
5、、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试分别表示甲、乙、丙命中目标，试用用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：:654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标”“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标”“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA例例2:2:有三个子女的家庭有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概设每个孩子是男是女的概率相等率相等,则至少有一个男孩的概率是多少则至少有一个男孩的概率是多少
6、?N N(S S)=)=HHHHHH,HHTHHT,HTHHTH,THHTHH,HTTHTT,TTHTTH,THTTHT,TTTTTT N N(A A)=)=HHHHHH,HHTHHT,HTHHTH,THHTHH,HTTHTT,TTHTTH,THTTHT 87)()()(SNANAP解解:设设A A表示表示“至少有一个男孩至少有一个男孩”,以以H H 表示某个孩子表示某个孩子是男孩是男孩 ,T T 表示某个孩子是女孩表示某个孩子是女孩例例3 3（摸求问题）（摸求问题）设盒中有设盒中有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现个红球，现从盒中任抽从盒中任抽2 2个球，求取到一红一白的概率。个球，求取
7、到一红一白的概率。解解:设设A A表示表示“取到一红一白取到一红一白”25)(CSN1213)(CCAN53)(251213CCCAP一般地，设盒中有一般地，设盒中有N N个球，其中有个球，其中有M M个白球，现从中任抽个白球，现从中任抽n n个球，则这个球，则这n n个球中恰有个球中恰有k k个白球的概率是个白球的概率是nNknMNkMCCCp例例4 4（分球问题）（分球问题）将将3 3个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中去，个盒子中去，问：（问：（1 1）每盒恰有一球的概率是多少？（）每盒恰有一球的概率是多少？（2 2）空一）空一盒的概率是多少？盒的概率是多少？解解 设设 A:A:每
8、盒恰有一球每盒恰有一球,B:,B:空一盒空一盒33)(SN!3)(AN92)(AP1)(全有球空两合PPBP32923313 一般地，把一般地，把 n 个球随机地分配到个球随机地分配到 m 个盒子中去个盒子中去(n m)，则每盒至多有一球的概率是：则每盒至多有一球的概率是：nnmmPp 例例5 5（分组问题）（分组问题）3030名学生中有名学生中有3 3名运动员，将这名运动员，将这3030名学生平均分成名学生平均分成3 3组，求：（组，求：（1 1）每组有一名运动）每组有一名运动员的概率；（员的概率；（2 2）3 3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。!10!10!10!3
9、0)(101010201030CCCSN20350)(!9!9!9!27!3)(SNAP)(3)(10101020727SNCCCBP解解 设设A:A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B:3;B:3名运动员集中在一组名运动员集中在一组 一般地，把一般地，把n n个球随机地分成个球随机地分成 m 组组(n m),),要求第要求第 i 组恰有组恰有n i个球个球(i=1,=1,m)，共有分法：，共有分法：!.!1mnnn例例6 6（随机取数问题）（随机取数问题）从从1 1到到200200这这200200个自然数中任个自然数中任取一个；取一个；(1)(1)求取到的数能被求取到的数能被6 6整除的概
10、率；整除的概率；(2)(2)求求取到的数能被取到的数能被8 8整除的概率；整除的概率；(3)(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率.解:N(S)=200,N(S)=200,N(3)=200/24=8N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25N(2)=200/8=25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分别为的概率分别为:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25例例7 7 某市有甲某市有甲,乙乙,丙三种报纸丙三种报纸,订每种报纸的人数订每种报纸
11、的人数分别占全体市民人数的分别占全体市民人数的30%,30%,其中有其中有10%10%的人同时定的人同时定甲甲,乙两种报纸乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求求从该市任选一人从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率他至少订有一种报纸的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解 设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报例例8 8 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一只个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之
12、球颜色，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球相同的球，若从盒中连续取球4 4次次,试求第试求第1 1、2 2次取得次取得白球、第白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解解设设Ai 为第为第 i 次取球时取到白球，则次取球时取到白球，则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP例例9 9 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为产品，
13、已知三家工厂的市场占有率分别为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工厂的次品率分别为，且三家工厂的次品率分别为 2 2、1 1、3 3，试求市场上该品牌产品的次品率。试求市场上该品牌产品的次品率。买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买到一件甲厂的产品：买到一件次品设：:321AAAB)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225.02103.04101.04102.0)()()()(321BAPBAPBAPBP例例10 10 商店论箱出售玻璃杯商店论箱出售玻璃杯,每箱每箱2020只只,其中每箱含其中每箱含0 0，1 1，2 2只次品的概率分别为只次
14、品的概率分别为0.8,0.1,0.10.8,0.1,0.1，某顾客，某顾客选中一箱，从中任选选中一箱，从中任选4 4只检查，结果都是好的，便买只检查，结果都是好的，便买下了这一箱下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？问这一箱含有一个次品的概率是多少？解解设设A:从一箱中任取从一箱中任取4 4只检查只检查,结果都是好的结果都是好的.B0 0,B1 1,B2 2分别表示事件每箱含分别表示事件每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.11)|(0BAP54)|(4204191CCBAP1912)|(4204182CCBAP由由Bay
15、es 公式公式:20111)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP0848.019121.0541.018.0541.0例例11 11 在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用如图，如图，1 1、2 2、3 3、4 4、5 5表示继电器触点表示继电器触点,假设每个触假设每个触点闭合的概率为点闭合的概率为 p,且各继电器接点闭合与否相互且各继电器接点闭合与否相互独立，求独立，求 L 至至 R 是通路的概率。是通路的概率。)()|(52413AAAAPAAP422pp 设设 A 表示表示“L 至至 R 为通路为通路”,Ai表示表示“第第 i 个继电器通个继电器通”,i=1,2,5.=1,2,5.)()|(54213AAAAPAAP)()()|(54213AAPAAPAAP22)2(pp由全概率公式由全概率公式)()|()()|()(3333APAAPAPAAPAP54322522pppp
