1、平面解析几何研究几何问题以平面直角坐标系为桥梁以代数的方法以代数的方法 通过坐标系把点和坐标、通过坐标系把点和坐标、曲线与方程联系起来，使形曲线与方程联系起来，使形和数结合和数结合.n内容：直线与方程内容：直线与方程n方法：利用坐标研究图形（数形结合）方法：利用坐标研究图形（数形结合）n准备知识：一次函数、三角函数、平面向量准备知识：一次函数、三角函数、平面向量n应用应用全章基本概述：全章基本概述：3.1直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率AP请作出函数请作出函数 y=2x+1 的图象的图象:函数函数 y=2x+1的图象是直线的图象是直线 l（如图）（如图）.式式 y=2x+1 的每一对的每一
2、对 x、y 的值都是直线的值都是直线 l 上的点的坐标，上的点的坐标，如有序数对（如有序数对（0，1）满足函数式，）满足函数式，则在直线则在直线l上就有一点上就有一点A，它的坐标是（它的坐标是（0，1）；）；这时满足函数这时满足函数反过来，直线反过来，直线 l 上每一点的坐标上每一点的坐标都满足函数式，都满足函数式，如直线如直线 l 上的点上的点P的坐标是（的坐标是（1，3），），数对（数对（1，3）就满足函数式就满足函数式.它是以满足它是以满足y=kx+b的每一对的每一对 x、y 的值为坐标的点构成的的值为坐标的点构成的.一般地，一次函数一般地，一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，的图
3、象是一条直线，由于函数式由于函数式 y=kx+b 也可以看作二元一次方程，也可以看作二元一次方程，所以我们所以我们也可以说，也可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系关系.y=kx+b定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。l12 xy：方方程程l：直直线线.12 xyl上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程直线直线，上上对应的点在直线对应的点在直线的解的解方程方程lyxxy),(12 在平面直角坐标系中研究直线时，就
4、是利用直线与在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程，并通过方程来研究方程的这种关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题直线的有关问题.下面我们先介绍直线的下面我们先介绍直线的倾斜角倾斜角和和斜率斜率.倾斜角倾斜角:A 在平面直角坐标系中，对于一条与在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直轴相交的直线，如果把线，如果把 x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为重合时所转的最小正角记为，那么，那么就叫做直线的就叫做直线的倾倾斜角斜角。概念分析概念分析 1.倾斜角的顶点是倾斜角的顶点是x轴与直线
5、的交点；轴与直线的交点；2.x轴绕交点旋转；轴绕交点旋转；3.旋转方向为逆时针；旋转方向为逆时针；5.取最小正角取最小正角.4.x轴和直线重合时旋转终止；轴和直线重合时旋转终止；规定倾斜角为规定倾斜角为 0.yx0l当直线与当直线与x轴平行或重合时，轴平行或重合时，倾斜角的取值范围是倾斜角的取值范围是.180000 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量前进量升升高高量量前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）前进前进升升高高例如，例如，“进进2升升3”与与“进进2升升2”比较，前者比较，前者更陡一些，因为坡度（比）更陡一些，因为坡度（比）32.
6、22前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）tan倾斜角是倾斜角是90 的直线没有斜率的直线没有斜率。斜斜 率：率：倾斜角不是倾斜角不是90 的直线，它的倾斜角的的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的正切叫做这条直线的斜率斜率。直线的斜率通常用直线的斜率通常用 k 表示表示.tank即意义：意义：斜率表示倾斜率表示倾斜角不等于斜角不等于90的的直线对于直线对于x轴的倾轴的倾斜程度。斜程度。则斜率为：则斜率为：的倾斜角为的倾斜角为例如：直线例如：直线,45l145tan k则斜率为：则斜率为：的倾斜角为的倾斜角为直线直线,120l3120tan k问问 题：题：的定义的定义tantan求出直
7、线的斜率；求出直线的斜率；k如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的角也是确定的,当直线的倾斜角不等于当直线的倾斜角不等于9090时时,该直线该直线的斜率也是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？的斜率也是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点即已知两点P1 1(x1 1，y1 1)、P2(x2，y2)（其中（其中x1x2），），求直线求直线P1P2的斜率的斜率 已知两点已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),怎样用这两怎样用这两点的坐标来表
8、示直线点的坐标来表示直线P1P2的斜率的斜率？.21PPOP 过原点作过原点作xxyy1212tan xxyy2121 .,1212）（yyxx 即即xxyyk1212 21PP向量向量.,1212）的坐标是（的坐标是（则则yyxxP 综上所述：经过两点综上所述：经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的的直线的xxyyk1212斜率公式：斜率公式：注意两点：注意两点：当当 x1=x2，y1y2（即直线和（即直线和x轴垂直）时，不能用此公式，轴垂直）时，不能用此公式，此时倾斜角是此时倾斜角是90，直线没有斜率，直线没有斜率斜率公式与两点的顺序无关，斜率公式与两点的顺序无关，即两点的
9、纵坐标和横坐标在公即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时颠倒式中的次序可以同时颠倒 说明：说明：为直线的为直线的及与它平行的向量都称及与它平行的向量都称直线上的向量直线上的向量21PP，的坐标是（的坐标是（的方向向量的方向向量直线直线),12122121yyxxPPPP 方方向向向向量量.21xx 21121PPxx 当直线当直线 P1P2 与与 x 轴不垂直时，轴不垂直时，此时，向量此时，向量，的方向向量的方向向量也是直线也是直线21PP它的坐标是它的坐标是)(1121212yyxxxx ，)1(1212xxyy ，)1(k，其中其中 k 是直线是直线 P1P2 的斜率的斜率.)3,5
10、(),0,2(斜斜角角两两点点的的直直线线的的斜斜率率和和倾倾求求经经过过 BA解：解：1212xxyyk 1tan 即即,180000 .1350 .13510，倾斜角是，倾斜角是是是因此，这条直线的斜率因此，这条直线的斜率)2(503 =1 例例1.正切函数的正切函数的图象图象：xy02223232525),2(Zkkxxytan变式变式1.1.新概念新概念例例4 4=3(1,-3)a解解：=-3k=120倾倾斜斜角角思考：思考：(1)(1)直线倾斜角的概念要注意什么？直线倾斜角的概念要注意什么？(2)(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？(3)(3)已知两
11、点坐标，如何求直线的斜率？已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标斜率公式中脚标1 1和和2 2有顺序吗？有顺序吗？例例2 2（新概念新概念变式变式2 2）若经过点若经过点P（1a，1a）和和Q（3，2 a）的的直线的倾斜角为钝角，求实数直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围的取值范围.解：解：直线直线PQ的倾斜角为钝角，的倾斜角为钝角，1=02akka且且变式变式2新概念新概念例例31232mm2312mm 或3004mm或例例3.设直线的斜率为设直线的斜率为 k，且，且,333 k求直线倾斜角求直线倾斜角的取值范围的取值范围.解：解：,0,tan k,330时时当当 k,33tan0 有有xyO.60 ,03时时当当 k,0tan3 有有.32 综上直线的倾斜角综上直线的倾斜角的取值范围的取值范围).,32(60 ，变式变式3已知直线已知直线l的倾斜角的倾斜角满足：满足：,326 求直线斜率求直线斜率k的取值范围的取值范围.解：解：,26时时当当 tan6tan 有有.33 k即即xyO,322时时当当 32tantan 有有.3 k即即综上直线的斜率综上直线的斜率k的取值范围的取值范围).,33()3,(正切函数的正切函数的图象图象：xy02223232525),2(Zkkxxytan
