1、南京市玄武区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题注意事项：1. 本试卷共6页全卷满分120分，考试时间为120分钟考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效2. 请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上3. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效4. 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12
2、分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为（ ）A. B. C. D. 2. 若a：b=4：3，且b2=ac，则b：c等于（）A 2：3B. 3：2C. 4：3D. 3：43. 一组数据1，2，3的平均数是3，则该组数据的方差为（ ）A B. C. 6D. 144. 如图，是的切线，是切点，是上的点，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 5. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：32101113113对于下列结论：二次函数的图像开口向下；当时，随的增大而减小；二
3、次函数的最大值是1；若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点处，若女孩以为半径绕着电线杆走一个圆圈，则女孩的影子扫过的图形的面积为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 已知，与的面积比为，则的长为_8. 一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为_9. 二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为_10. 已知圆锥的母线长为4，其侧面展开图的圆心角的度数
4、为，则圆锥的底面圆的半径为_11. 一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至64元，设平均每次降价的百分率为，则根据题意可列方程为_12. 如图，为的直径，点，在上，且，若，则的度数为_13. 已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为_14. 如图，在矩形中，是边上的点，经过，三点的与相切于点若，则的半径是_15. 二次函数的图像上横坐标与纵坐标相等的点的坐标为_16. 如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，直线，相交于点，连接，在旋转过程中，线段最大值为_三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.
5、 解下列一元二次方程：（1）；（2）18. 某公司20名销售人员某月销售某种商品的数量如下（单位：件）：月销售量2000700600400300200人数235721（1）月销售量的中位数为_件，众数为_件；（2）求该公司销售人员月销售量的平均数；（3）假设你是销售部负责人，你认为应怎样制定每位销售人员的月销售量指标？说明理由19. 有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子中装有2个白球和1个红球，乙袋子中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别求下列事件的概率：（1）从甲袋子中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是_；（2）从甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个球，恰好一个是白球、一个是红球的概率2
6、0. 如图，在中，弦，相交于点，（1）求证；（2）连接，若，则的度数为_21. 如图，连接，交于点（1）求证；（2）若，则的度数为_22. 已知二次函数的图像经过点，（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，为顶点的四边形的面积为_；（3）将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为_23. 如图，在中，是中线，垂足为（1）求证；（2）若，求的长度24. 已知二次函数（为常数，且）（1）求证：无论取何值，二次函数图像与轴总有两个交点；（2）点，在二次函数图像上，且，直接写出的取值范围25. 如图，在RtABC中，C90，BD平分A
7、BC，与AC交于点D，DEDB，垂足为D，与AB交于点E，经过B，D，E三点的O与BC交于点F（1）求证AC是O的切线；（2）若BC3，AC4，求O的半径26. 实验表明，汽车急刹车的停车距离等于反应距离与制动距离之和；反应距离与汽车速度成正比，制动距离与汽车速度的平方成正比已知当汽车的速度为时，急刹车的停车距离为；当汽车的速度为时，急刹车的停车距离为设汽车的速度为，急刹车的停车距离为（1）求关于的函数表达式；（2）一辆汽车以的速度行驶，突然发现正前方处有一障碍物，紧急刹车，问汽车与障碍物是否会相撞？并说明理由；（3）一辆行驶中的汽车突然发现正前方处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，要使汽
8、车距离运输车不小于处停住，则汽车行驶的最大速度是_27. 在与中，点与分别在边，上，（1）如图1，当时，求证；（2）当时，与相似吗？小明发现：与不一定相似小明先画出了的示意图，如图2所示，请你利用直尺和圆规在小明所画的图2中，作出与不相似的反例（3）小明进一步探索：当，时，设，如果存在，那么的取值范围为_答案与解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画树状图展示所有4种
9、等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果数，然后根据概率公式求解【详解】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，两次都是“正面朝上”的概率=，故选：C【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比2. 若a：b=4：3，且b2=ac，则b：c等于（）A. 2：3B. 3：2C. 4：3D. 3：4【答案】C【解析】【详解】试题解析：a：b=4：3，且b2=ac，
10、b：c=a：b=4：3故选C3. 一组数据1，2，3的平均数是3，则该组数据的方差为（ ）A. B. C. 6D. 14【答案】B【解析】【分析】根据平均数的定义先求出a的值，再根据方差公式进行计算即可【详解】解：数据1，2，a，3的平均数是3，（12a3）43，a6，这组数据的方差为（13）2（23）2（63）2（33）2故选：B【点睛】本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，xn的平均数为，则方差S2（x1）2（x2）2（xn）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立4. 如图，是的切线，是切点，是上的点，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A
11、【解析】【分析】如图，连接先求解 再利用圆周角定理可得，从而可得答案.【详解】解：如图，连接 ，是的切线， 故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，圆周角定理的应用，圆的切线的性质的应用，理解是解本题的关键.5. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：32101113113对于下列结论：二次函数的图像开口向下；当时，随的增大而减小；二次函数的最大值是1；若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可【详解】解：把（-1，1），（1，-3），
12、（-2，-3）代入，得 解得， 二次函数式为： 二次函数的图像开口向下，故正确；对称轴为直线 当时，随的增大而减小，故正确；当时，二次函数的最大值是，故错误；若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故错误正确的是故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答6. 如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点处，若女孩以为半径绕着电线杆走一个圆圈，则女孩的影子扫过的图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，利用三
13、角形相似列方程求出影子的长，再计算人影扫过的面积【详解】解：如下图所示：设AP=x，由题意可知：COABPA，代入数据，解得，所以人影扫过的面积是，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的应用，是基础题，读懂题意，计算过程中细心即可二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 已知，与的面积比为，则的长为_【答案】【解析】【分析】利用相似三角形的性质可得再把代入解方程即可.【详解】解： ，与的面积比为， ， 解得：，经检验符合题意，负根舍去，故答案为：【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比的平方
14、”是解本题的关键.8. 一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为_【答案】-2【解析】【分析】由根与系数的关系知x1+x2=1、x1x2=-1，代入=x1x2-（x1+x2）+1可得答案【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别为，x1+x2=1、x1x2=-1，=x1x2-（x1+x2）=-1-1=-2故答案为：-2【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及代数式的变形9. 二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为_【答案】【解析】【分析】顶点在x轴上，即纵坐标为0利用顶点坐标公式即可求出m的值【详解】解：抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上，m=故答案为【点睛】本题考查
15、了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握10. 已知圆锥的母线长为4，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的底面圆的半径为_【答案】1【解析】【分析】由于圆锥的母线长为4，侧面展开图是圆心角为90扇形，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即可求解【详解】解：设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2rcm，所以侧面展开图的弧长为2cm，则2r2，解得：r1，故答案为：1【点睛】本题主要考查了有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的
16、扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键11. 一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至64元，设平均每次降价的百分率为，则根据题意可列方程为_【答案】【解析】【分析】先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格(1-降价的百分率)=64，把相应数值代入即可求解【详解】解：第一次降价后的价格为80(1-x)元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为80(1-x)(1-x)元，所以可列方程为：故答案为：【点睛】本题考查平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1x)2=b12. 如图，为的直径，点，在上，且
17、，若，则的度数为_【答案】52【解析】【分析】如图，连接OD，BD利用圆周角定理求出DOB，再求出OBD=26，可得结论【详解】解：如图，连接OD，BD，ABD=CBD，DOB=2DEB=128，OBD=ODB=26，ABC=2OBD=52，故答案为：52【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理13. 已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为_【答案】#【解析】【分析】先画出符合题意的图形，如图，为等边三角形，为的外心，先求解的长，再证明 再利用三角函数的含义求解的长，从而可得答案.【详解】解：如图，为等边三角形，为的外心，
18、过点， 故答案为：【点睛】本题考查的是正多边形与圆，等边三角形的在，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握“正多边形与圆的基本性质”是解本题的关键.14. 如图，在矩形中，是边上的点，经过，三点的与相切于点若，则的半径是_【答案】#【解析】【分析】连接EO，并延长交圆于点G，在RtDEF中求出EF的值，再证明DEFFGE，然后根据相似三角形的性质即可求解【详解】解：连接EO，并延长交圆于点G，四边形是矩形，CD=，D=90，与相切于点，OECD，再结合矩形的性质可得：DE=CE=3，EF=与相切于点，GED=90GE是直径，GFE=90，DEF+GEF=90，EGF+GEF=90，DEF=E
19、GFD=GFE=90，DEFFGE，GE=，的半径是，故答案为；【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键15. 二次函数的图像上横坐标与纵坐标相等的点的坐标为_【答案】、【解析】【分析】设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，求出的值即可【详解】解：设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，即，解得故符合条件的点的坐标是：、故答案为：、【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握即二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式16. 如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转
20、得到，连接，直线，相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为_【答案】【解析】【分析】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在ABC中，由勾股定理得到AB=，由旋转可知：DCEACB，从而DCA=BCE，ADC=BEC，由DGC=EGF，可得AFB=90，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=AB=，在FCH中，当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值为.【详解】解：取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在ABC中，ACB=90，AC=，BC=2，AB=，由旋转可知：DCEACB，DCE=ACB，DC=AC，CE=CB，DCA=BCE，ADC
21、=(180-ACD) ，BEC= (180-BCE)，ADC=BEC，DGC=EGF，DCG=EFG=90，AFB=90，H是AB的中点，FH=AB，ACB=90，CH=AB，FH=CH=AB=，在FCH中，FH+CHCF，当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值，线段CF的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解下列一元二次方程：（1）；（2）【答案】（1）， （2），【解析】【分析】（1）原方程运用因式分解法求解即可；（2）
22、方程移项后，再运用因式分解法求解即可【小问1详解】；或；，.【小问2详解】；或；，【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键18. 某公司20名销售人员某月销售某种商品的数量如下（单位：件）：月销售量2000700600400300200人数235721（1）月销售量的中位数为_件，众数为_件；（2）求该公司销售人员月销售量的平均数；（3）假设你是销售部负责人，你认为应怎样制定每位销售人员的月销售量指标？说明理由【答案】（1）500，400 （2）635件 （3）500件，见解析（答案不唯一）【解析】【分析】（1）中位数是将一组数据按大小排列后，最中间的1个或两个
23、的平均数，求出即可，结合众数的定义，即在一组数据中出现次数最多的即是众数，；（2）运用平均数的求法，得出20人总的销售量，然后除以20，即是平均值；（3）结合实际，应以众数为参考依据，分析得出合理的答案【小问1详解】解：中位数为：，400出现的次数最多，故众数为：400，故答案为：500，400【小问2详解】解：（件）；答：该公司销售人员销售量的平均数是635件.【小问3详解】解：答案不唯一.如月销售指标定为500件，因为这20名员工的月销售量的中位数是500元，即月销售量的中间水平是500件，可以让后面的一半销售人员朝着这个目标追赶；月销售指标也可以定为400件，因为这20名员工的月销售量的
24、众数是400件，将目标定为大多数人的水平，可以激发少部分人朝着这个目标奋斗.【点睛】此题主要考查了一组数据平均数的求法，以及众数与中位数的求法，又结合了实际问题，此题比较典型19. 有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子中装有2个白球和1个红球，乙袋子中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别求下列事件的概率：（1）从甲袋子中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是_；（2）从甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个球，恰好一个是白球、一个是红球的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）：根据从甲袋子中随机摸出一个球共有3种情况，从中随机摸出一个球，是白球的有2种情况，然后利用概率公式计算即可；
25、（2）先列表列出所有等可能的结果，然后从中找出两个白球的情况，利用概率公式计算即可【小问1详解】解：甲袋子中装有2个白球和1个红球，从甲袋子中随机摸出一个球共有3种情况，从中随机摸出一个球，是白球的有2种情况，从甲袋子中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是；故答案为：；【小问2详解】解：列表如下：结果 乙甲白红白1（白1，白）（白1，红）白2（白2，白）（白2，红）红（红，白）（红，红）从甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个球， 共有6种等可能结果， “恰好一个是白球、一个是红球”，的发生有3种可能：恰好一个是白球、一个是红球的概率（白1，红）、（白2，红）、（红，白），从甲、乙两个袋子中分别随机摸
26、出一个球，恰好一个是白球、一个是红球的概率【点睛】本题考查列举法求概率以及列表或树状图求概率，掌握两种求概率的方法是解题关键20. 如图，在中，弦，相交于点，（1）求证；（2）连接，若，则的度数为_【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据同圆中等弧对应的弦长相等即可得出；（2）连接，取与的交点为，与的交点为，证明，得，然后求出，根据对顶角即可求【小问1详解】解：证明：，；【小问2详解】解：连接，取与的交点为，与的交点为，同理，故答案是：【点睛】本题考查了圆心角定理、三角形全等、四边形的内角和、对顶角，解题的关键是掌握圆心角的定理21 如图，连接，交于点（1）求证；（2）若，则的度
27、数为_【答案】（1）见解析 （2）44【解析】【分析】（1）根据，得出，根据比例性质得出，可证，根据三角形相似判定定理，得出；（2）设OB与AC交于D，根据，得出OAA=OBB，根据对顶角性质ODA=BDC，利用三角形内角和得出OAD+AOD=DBC+DCB，可证DCB=AOD=44即可【小问1详解】证明：，.，即，；【小问2详解】解：设OB与AC交于D，OAA=OBB，ODA=BDC，OAD+AOD=DBC+DCB，DCB=AOD=44,即ACB=44故答案为44【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，对顶角性质，三角形内角和，掌握三角形相似判定与性质，对顶角性质，三角形内角和是解题关键22.
28、 已知二次函数的图像经过点，（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，为顶点的四边形的面积为_；（3）将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为_【答案】（1） （2）18 （3）1或5【解析】【分析】（1）把点，代入二次函数解析式：y=ax2+bx+c，求出即可；（2）分别求出A、B、C、P四点的坐标利用S四边形ACBP=SABP+SABC进行计算；（3）观察抛物线的图像可直接得到结果【小问1详解】解：（1）设二次函数的表达式为（，为常数，），由题意知，该函数图象经过点，得，解得，二次函数的表达式为.【小问2详解】解：当y=0
29、时，解得：x1=1，x2=5点A坐标为(1，0)、点B坐标为(5，0)；当x=0时，y=-5，点C坐标为(0，-5)；把化为y=-(x-3)2+4点P坐标为(3，4)；由题意可画图如下： S四边形ACBP=SABP+SABC=18，故答案是：18；【小问3详解】由图像知：将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度，抛物线经过原点故：m=1或【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式也考查了二次函数的性质解题的关键是掌握数形结合能力23. 如图，在中，是中线，垂足为（1）求证；（2）若，求的长度【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）先
30、根据CD是中线证明，再由同角的余角相等证明，最后结合即可证明；（2）由可证得，设，则，根据勾股定理列出方程求出k的值即可解决问题【小问1详解】证明：在中，是斜边的中线，中，又，【小问2详解】，中，是斜边的中线，又，设，则，在中，即【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键24. 已知二次函数（为常数，且）（1）求证：无论取何值，二次函数的图像与轴总有两个交点；（2）点，在二次函数的图像上，且，直接写出的取值范围【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）由题意依据二次函数的图像与轴总有两个交点即有两个不同的实数根进行
31、分析即可求证；（2）根据题意将二次函数化为一般式进而代入两点列出关于m的不等式求解即可.【小问1详解】证明：由题意得，令，即，二次函数的图像与轴总有两个交点，分别是，.【小问2详解】由题意二次函数（为常数，且）可得二次函数的一般式为：（为常数，且），代入，可得：，由可得：，解得：.【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的综合运用，熟练掌握二次函数和一元二次方程的相关概念以及解不等式是解题的关键.25. 如图，在RtABC中，C90，BD平分ABC，与AC交于点D，DEDB，垂足为D，与AB交于点E，经过B，D，E三点的O与BC交于点F（1）求证AC是O的切线；（2）若BC3，AC4，求O的半径
32、【答案】（1）证明见解析. （2）【解析】【分析】（1）连接OD，根据垂直的定义得到EDB90，根据角平分线的定义得到OBDDBC，根据等腰三角形的性质得到OBDODB，根据平行线的性质得到ADO90，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）解根据平行线的性质得到AODABC，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论【小问1详解】证明：连接OD，DEDB，EDB90，BE是直径，点O是BE的中点，BD平分ABC，OBDDBC，OBOD，OBDODB，DBCODB，ODBC，C90，ADO90，ODAC，AC经过O的外端点，AC是O的切线；【小问2详解】解：ODBC，AODABC，AODABC，
33、OADBAC，AODABC，BC3，AC4，AB5，设O的半径为r，则ODOBr，OA5r，r，O的半径为【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定、三角形的相似等知识，掌握切线的判定法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键26. 实验表明，汽车急刹车的停车距离等于反应距离与制动距离之和；反应距离与汽车速度成正比，制动距离与汽车速度的平方成正比已知当汽车的速度为时，急刹车的停车距离为；当汽车的速度为时，急刹车的停车距离为设汽车的速度为，急刹车的停车距离为（1）求关于的函数表达式；（2）一辆汽车以的速度行驶，突然发现正前方处有一障碍物，紧急刹车，问汽车与障碍物是否会相撞？并说明理由；（3）一辆
34、行驶中的汽车突然发现正前方处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，要使汽车距离运输车不小于处停住，则汽车行驶的最大速度是_【答案】（1） （2）会相撞，见解析 （3）30【解析】【分析】（1）根据反应距离与汽车速度成正比，制动距离与汽车速度的平方成正比，设出解析式，把，；和，代入即可求解；（2）把代入（1）所求解析式解得y值，与30比较即可得结论；（3）由题意，得，找出解集即可得到最大值.【小问1详解】解：反应距离与汽车速度成正比，设反应距离，制动距离与汽车速度的平方成正比，设制动距离，当时，；当时，.，解得，关于的函数表达式为.【小问2详解】解：当，汽车与障碍物会相撞.【小问3详解】解：由题
35、意，得，（x0），解得，故答案为：30【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，对于信息给予题要认真审题，充分理解题意，挖掘题目提供的信息是解题的关键，要掌握常见运动的规律并能根据规律判定物体是何种运动27. 在与中，点与分别在边，上，（1）如图1，当时，求证；（2）当时，与相似吗？小明发现：与不一定相似小明先画出了的示意图，如图2所示，请你利用直尺和圆规在小明所画的图2中，作出与不相似的反例（3）小明进一步探索：当，时，设，如果存在，那么的取值范围为_【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）（1）由，可证得，从而，进而得到，结合，可证得；（2）作的外接圆交于点，连接，为
36、所求作的反例；（3）作DFAC于F，DEAB于E，则BAC =105，BAD=45，设DE=1，则AD =，在RtADF中，由正弦可得DF=，在RtDCF中，AD =，从而=，即可求解.【小问1详解】证明：，.，.【小问2详解】解：如图，作的外接圆交于点，连接，则，但与不相似，故为所求作的反例；.小问3详解】解：如图：当C=45时，最大，作DFAC于F，DEAB于E，BAC=180-B-C=105，BAD=BAC-DAC=105-60=45，不妨设DE=1，AD=DE=，在RtADF中，DAC=60，DF=ADsin60=，在RtDCF中，C=45，AD=DF=，=，故：.【点睛】此题考查了相似三角形判定与性质，圆的有关知识，锐角三角形函数等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
