1、等差数列前n项和性质及应用等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列也在等差数列,公差为公差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有n2d性质性质2:为等差数列为等差数列.nSn例例1.设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若S3=9,S6=36,则则a7+a8+a9=()A.63 B.45 C.36 D.27B等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用例2、在等差数列an中，若中，若10,10010010sss110求解法1、由等差数列前n项和性质可知，ssssssss
2、s100110901002030102010,组成等差数列 ，则数列 的公差设为 d，其前10项的和为 bn bndsssssTn2110101001090100102010 又10100sTn所以d=-22120221111001110011011dnbssb又11012010120100110ss解法2、9029010,1001001110012111010010010 aaaaassss11021102,21101110110110011aasaaaa解法3、设数列an的公差为的公差为d，由于，由于210011010011021010010100212,211001101010011dd
3、dnndndnnnsssssasasnnn，且是等差数列，公差为数列则将已知数值代入上式，消去d，可得110110s解法5、设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，首相为，首相为 ，则，则a1100211010101da10211001001001da解得10010991a5011d110501121091101001099110211101101101110das跟踪训练2：设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若sss302010,20,10则跟踪训练1：在等差数列an中，若中，若则,4,184ss 的值为aaaa20191817A、9 B、12 C、16 D、17 A
4、30两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系性质性质3:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则nnab 2121nnST 例例3.两等差数列两等差数列an、bn的前的前n项和分项和分别是别是Sn和和Tn,且且71427nnSnTn 求求 和和 .55abnnab556463ab 146823nnanbn 等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用性质性质4:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中为中间两项间两项),此时有此时有
5、:S偶偶S奇奇=,ndSS 奇奇偶偶1nnaa 若项数为奇数若项数为奇数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项),此时有此时有:S奇奇S偶偶=,SS 奇奇偶偶an1nn 等差数列的性质应用：等差数列的性质应用：例例4、已知等差数列已知等差数列 的前的前10项之和为项之和为140，其中奇数项之和为，其中奇数项之和为125,求第求第6项项.na解：由已知解：由已知1210140aaa13579125aaaaa则则24681015aaaaa6515a63a 故故例例5.一个等差数列的前一个等差数列的前12项之和为项之和为354，前，前12项中偶数项与奇数项之比为项中偶数项
6、与奇数项之比为32：27，求求公差公差.1732225662256)(63542111212111daddada5 d 解一：设首项为解一：设首项为a1,公差为公差为d,则则 由 2732354奇偶偶奇SSSS6SSd偶奇5d162192奇偶SS解二：解二：例例6.一个等差数列的前一个等差数列的前12项之和为项之和为354，前前12项中偶数项与奇数项之比为项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差求公差.等差数列的性质应用：等差数列的性质应用：例例7、已知一个等差数列的总项数为奇数已知一个等差数列的总项数为奇数,且奇数项之和且奇数项之和为为77，偶数项之和为，偶数项之和为66，求中间项及总项数
7、，求中间项及总项数.解：设此等差数列的项数为2n+1项，由题意7712531 aaaasn奇66242 aaasn偶 aaaaaaassnn21245231-偶奇1111aannd14322122121121aaassnnnn偶奇所以n=6，2n+1=13所以中间项为11，总项数为13项。等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列也在等差数列,公差为公差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有n2d性质性质2:为等差数列为等差数列.nSn性质性质3:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且
8、前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则nnab 两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系2121nnST 性质性质4:(1)若项数为奇数若项数为奇数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项),此时有此时有:S奇奇S偶偶=,SS 奇奇偶偶an1nn 性质性质4:(2)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中为中间两项间两项),此时有此时有:S偶偶S奇奇=,nd1nnaa SS 奇奇偶偶 已知两个等差数列an和bn，且an为2,5,8，bn为1,5,9，它们的项数均为40项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？【错解】由已知两等差数列的前三项，容易求得它们的通项公式分别为：an3n1，bn4n3(1n40，且nN*)，令anbn，得3n14n3，即n2.所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项【错因】本题所说的是数值相同的项，但它们的项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几项
