1、金融数学第二章第二章风险、风险厌恶与随机占优风险、风险厌恶与随机占优资产定价理论的微观经济基础 经济理论通常假定：投资人是风险厌恶的 风险有多种定义，不确定性 从定量模型化解释风险 投资人面临风险的决策（第一节）Rothschild和Stiglitz提出随机占优（第二节）对风险的一般认识：经济系统中状态变量的事前不确定性 对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化问题以及对所需交换的资产的合理定价问题 金融经济学框架的核心问题：如何分散风险 如何确定风险的合理价格 第一节 风险与风险偏好风险厌恶、风险中性与风险偏好的数学表述 伯努利（Bernoulli）效用函数（确定值）Von-Neumann-
2、Morgenstern预期效用函数“预期”有“期望”之义，随机变量的数学期望 例2.1。Page 46表示确定收益 ,)(u)(u()()()()(xxdFxExdFxuFuxuE风险厌恶的数学定义 如果F(x)是二项分布，则，风险厌恶伯努利效用函数为凹函数 严格风险厌恶严格不等式，u0，u0 定理2.1：对任意F，有 风险厌恶效用函数为严格凹函数 证明需要使用Jensen不等式。同样：可以定义风险中性和风险偏好)(u()(u()()()(xxdFxExdFxuxuE绝对风险厌恶与风险溢价 对风险厌恶程度有大有小，绝对风险厌恶，风险溢价，对风险的补偿，数学定义如下 Pratt(1964)定义绝
3、对风险厌恶系数 绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需给予的溢价补偿也越大)(,)(2)()()()(2XEXXuXuXuEXEuXu 22)()()(XuXuXra相对风险厌恶与风险溢价 Pratt(1964)定义相对风险厌恶系数 相对风险厌恶系数越大，所要求的单位方差的相对风险溢价补偿也越高)1()(1(XXEX假设：)1)()()1(XuEXuEXu)()(,21)(2)(22XuXuXRRARRAXuXuX 风险溢价和风险厌恶对投资人决策影响的实例说明 例2.2。当前财富为W=a+(Wa)今后财富XWa+a(1+r)=W+ar，优化问题 关于a是凹函数，一阶导数0，（2.17）a是解，
4、是W的函数，（2.17）中对W求导数，（2.18）。)(max)(max00raWuEXuEWaWa 随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化 假设绝对风险厌恶系数不随W增加而增加 对r0和r0，都可得到（2.20a）从（2.17）得（2.21）u是凹函数，得（2.21a）)()(2raWurEraWurEdWda0)(raWurE0)(2raWurE 最后 风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着总财富的上升而增加 关于绝对风险厌恶系数不随W增加而增加 经过推导可知，要求三阶导数为正数 度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险决策的态度。在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性投资人。需要处
5、理典型投资人对不同资产的风险与收益的判断，即资产风险的度量问题。0*dWda第二节 随机占优 怎样才能认为资产A比资产B更具风险？简化的风险比较：均值-方差 效用 用方差作为唯一标准不可行（期望可能越大）即使一种资产X预期收益等于另一资产Y，而X方差小于Y，风险厌恶者也不一定偏好于X 如下面的例子 E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=7 如果选择风险厌恶效用函数8/1,98/7,1Y2/1,42/1,0概率概率，概率概率X145981187)(1421021)()(则：YuEXuExxu均值方差效用不完整性说明 只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中心矩。只有当包括三阶矩以上为
6、0时，均值方差效用才与真实的预期效用一致。两端取期望（w是期望值，数值），利用 3)(332)(!1)(21)()()(nnnwwwunRRwwwuwwwuwuwu)()(,0)(2wVarwwEwwE资产风险度量的一般方法 RothschildStiglitz更一般的比较不同资产风险的分析框架 比较资产收益的分布，而不比较不同投资人所依赖的不同的效用函数。一阶随机占优、二阶随机占优以及均值不变下的分布扩展MPS 假设有两种资产A和B。A收益服从分布F（），B服从G（），且F（1）=G（1）=1，（方便起见，令收益均属于区间0，1）。一阶随机占优 FSD First-order Stochas
7、tic Dominance FSD定义：对任意非减的函数u：RR，定理2.1是FSD的等价条件。注意不等号方向BAxdGxuxdFxuFSD则，)()()()(BAxGxFFSD)()(FSd的图形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0z二阶随机占优 SSD Second-order Stochastic Dominance SSD定义：F二阶占优于G，当且仅当 且对某些X值的集合，不等号成立。符号 可以证明，如果SSD成立，则，投资人更偏好A（或F），B（或G）更具风险 SSD的三个等价条件,)()(1000ydxxGxFyBASSDSSD图形表示取正号取正号+z取负号FA(z)FB(z)z*1yF(z)0SSD其他特性 SSD的3个等价表述“d”表示“依分布相等”引入“展形spread”的概念0)(,)()(,0)()()(0AAdBBAxSSDrErrrErEdxxGxFxhBA均值不变下的分布展形MPSmean preserving spreadsMSP 讨论限定于两种资产相同的预期收益 图形表示 命题2-2 命题2-3 G是F的MPS，等价于F，SSD，GJensens inequality 证明 u是凹函数 证明过程：在均值点泰勒展开)()(,xEuxuEu 0
