1、2021春北师版九年级数学下册-第1章-11课堂讲解课堂讲解u正切正切u正切与坡度正切与坡度(角角)的关系的关系2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升梯子是我们日常生活中常见的物体梯子是我们日常生活中常见的物体.(1)在图在图1-1中，梯子中，梯子AB和和EF哪个更陡？你是怎哪个更陡？你是怎 样判断的？样判断的？你有几种判断方法？你有几种判断方法？(2)在图在图1-2中，梯子中，梯子AB和和EF哪个更陡？你是怎哪个更陡？你是怎 样判断的？样判断的？1知识点知识点正切正切想一想想一想 如图如图1-3,小明想通过测量小明想通过测量B1C1及及AC1，算出它们的比，算
2、出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量小亮则认为，通过测量B2C2及及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意你同意小亮的看法吗？小亮的看法吗？知知1 1导导(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角形和直角三角形AB2C2有什么关系？有什么关系？(2)有什么关系有什么关系?(3)如果改变如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么在梯子上的位置呢？由此你能得出什么 结论结论?知知1 1导导112212B CB CACAC和和知知1 1导导归归 纳纳改变点改变点B的位置，的位置，的值始终不变。的值
3、始终不变。（来自（来自点拨点拨）BCAC知知1 1讲讲的的对对边边的的邻邻边边tan=.ABCAAAC 如图，在如图，在RtABC中，中，C90我们把锐角我们把锐角A的邻边与对边的比叫做的邻边与对边的比叫做A的正切，的正切，记作记作tanA，即，即ABCA的对边的对边斜边斜边A的邻边的邻边例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，则则tan A_知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）17,15ABBC=由正切定义可知由正切定义可知tan A 在本题中已知两边之比，可运在本题中已知两边之比，可运用参数法，由用参数法，由 可设可设BC15a，AB17a，从而可，从而可用勾股定理表示出第三边用
4、勾股定理表示出第三边AC8a，再用正切的定义求解得，再用正切的定义求解得tan A导引：导引：,BCAC15817,15ABBC=15.8BCAC=总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）直角三角形中求锐角正切值的方法：直角三角形中求锐角正切值的方法：(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利 用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义 求解求解知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）例例2 中中 考考 桂桂
5、林林 如如 图图 1-1-2，在在 Rt ABC 中，中，ACB=90，AC=8，BC=6，CD AB，垂垂 足足 为为 D，则则tan BCD=_.紧扣正切的定义，找出该锐角所在的直角三角形的两直紧扣正切的定义，找出该锐角所在的直角三角形的两直角边的比值，或与之相等的锐角所在直角三角形的两直角边的比值，或与之相等的锐角所在直角三角形的两直角边的比值角边的比值.导引：导引：知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）根据题意得根据题意得 BCD=CAB，所以所以 tan BCD=tan CAB=解：解：3463.84BCAC=答案：答案：总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）直接求某个锐角的正
6、切值有困难时，可以考虑利直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还可以利用相似，得到相等的比作为中间量可以利用相似，得到相等的比作为中间量【中考中考金华金华】在在RtABC中，中，C90，AB 5，BC3，则，则tan A的值是的值是()A.B.C.D.知知1 1练练433534145A【中考中考包头包头】在在RtABC中，中，C90，若斜，若斜 边边AB是直角边是直角边BC的的3倍，则倍，则tan B的值是的值是()A.B.3 C.D.知知1 1练练241322 2D如图，在如图，在ABC中，中，C9
7、0，BC AC1 3，则则tan B的值是的值是()3 C.D.知知1 1练练101331010A知知1 1练练4 一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来 的的2倍，那么它的两个锐角的正切值倍，那么它的两个锐角的正切值()A都没有变化都没有变化 B都扩大为原来的都扩大为原来的2倍倍 C都缩小为原来的一半都缩小为原来的一半 D不能确定是否发生变化不能确定是否发生变化A知知1 1讲讲议一议议一议在图在图1-3中，梯子的倾斜程度与中，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗有关系吗?总总 结结知知1 1讲讲（来自教材）（来自教材）tanA的值越大，梯子越陡的
8、值越大，梯子越陡.知知1 1讲讲1.当梯子与地面所成的角为锐角当梯子与地面所成的角为锐角A时，时，tan A tan A的值越大，梯子越陡的值越大，梯子越陡 因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度2.当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比 值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关,梯梯子子的的竖竖直直高高度度水水平平宽宽度度知知1 1讲讲例例3 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比 较
9、陡较陡?解：解：甲梯中，甲梯中，乙梯中，乙梯中，因为因为tantan，所以甲梯更陡，所以甲梯更陡.41tan.82 2255tan.12135 总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾 斜角较大的物体，就说它放得更斜角较大的物体，就说它放得更“陡陡”(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程 度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放 置得越置得越“陡陡”解：解：ABC是等腰三角形，是等腰三角形，B
10、DAC，D是是AC的中点的中点 DCAD AC2.在在RtBCD中，中，tan C .知知1 1练练如图，如图，ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？吗？121.5234BDDC1BC 2 (中考中考安顺安顺)如图，在网格中，小正方形的边长均为如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点点A，B，C都在格点上，则都在格点上，则ABC的正切值是的正切值是()A2 B.C.D.知知1 1练练2 555512D知知1 1练练3在在RtABC中，中，CD为斜边为斜边AB上的高，且上的高，且CD2，BD8，则，则tan A的值是的值是()3 A2 B4
11、 C.D.1214B知知1 1练练4如图，点如图，点A(t，3)在第一象限，在第一象限，OA与与x轴所夹的轴所夹的 锐角为锐角为，tan ，则，则t的值是的值是()4 A1 B1.5 C2 4 D332C5 【中考中考烟台烟台】如图，如图，BD是菱形是菱形ABCD的对角线，的对角线，CEAB于点于点E，交，交BD于点于点F，且点，且点E是边是边AB的的 中点，则中点，则tanBFE的值是的值是()A.B2 C.D.知知1 1练练12333D知知2 2讲讲2知识点知识点正切与坡度正切与坡度(角角)的关系的关系探究探究一、如图是某一大坝的横断面：一、如图是某一大坝的横断面：坡面坡面AB的垂直高度与
12、的垂直高度与水平宽度水平宽度AE的长度之的长度之比是比是的什么三角函数？的什么三角函数？ACBDE坡面坡面AB与水平面的夹角叫做坡角与水平面的夹角叫做坡角.tanBEAE知知2 2讲讲坡度的定义：坡度的定义：坡面的垂直高度与水平宽度之比坡面的垂直高度与水平宽度之比叫做坡度，记作叫做坡度，记作 i .ABEhlhil 坡度的概念，一要记住是一个比值而不是角度，坡度的概念，一要记住是一个比值而不是角度，二要明确坡度其实就是坡角的正切二要明确坡度其实就是坡角的正切例例4 以下对坡度的描述正确的是以下对坡度的描述正确的是()A坡度是指倾斜角的度数坡度是指倾斜角的度数 B坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度
13、的比坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比 C坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比 D坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比错解分析：错解分析：概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测 坡度即为倾斜角的度数坡度即为倾斜角的度数（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲B解：解：由勾股定理可知，由勾股定理可知，AC 192.289(m)，tan BAC 0.286.所以，山的坡度大约是所以，山的坡度大约是0.286.知知2 2练练如图，某人从山脚下的点如图，某人从山脚下的点A走了走了 200 m后到达山顶的
14、点后到达山顶的点B，已知点，已知点B到山脚的到山脚的 垂直距离为垂直距离为55 m，求山的坡度（结果精确到，求山的坡度（结果精确到0.001).22ABBC BCAC1B2220055 55192.289如图，梯子如图，梯子(长度不变长度不变)跟地面所成的锐角为跟地面所成的锐角为A.关关 于于A的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是述正确的是()Atan A的值越大，梯子越缓的值越大，梯子越缓Btan A的值越小，梯子越陡的值越小，梯子越陡Ctan A的值越大，梯子越陡的值越大，梯子越陡D梯子的陡缓程度与梯子的陡缓程度与A的正切值无关的正切值无关
15、知知2 2练练2C3 如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中ADBC.若两斜坡的坡度均为若两斜坡的坡度均为i2 3，顶宽是，顶宽是3 m，路基高是，路基高是 4 m，则路基的下底宽是，则路基的下底宽是()A7 m B9 m C12 m D15 m知知2 2练练D正切：正切：A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A的正切，的正切，记作记作tan A，即即tan A.abABCA的对边的对边a斜边斜边cA的邻边的邻边b1知识小结知识小结正切与坡度正切与坡度(角角)的关系：的关系：坡度就是坡角的正切坡度就是坡角的正切在等腰三角形在等腰三角形ABC中，中，ABAC10，BC12，则，则tan B_.易错点：易错点：忽略求正切值的前提.2易错小结易错小结43 请完成请完成点拨训练点拨训练对应习题！对应习题！
