1、1二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分广义积分(反常积分)广义积分2 adxxf)(.)(lim babdxxf定义,)(,收敛反常积分则称右端极限存在adxxf.)(,发散则称否则 adxxfax)(xfy b bdxxf)(.)(lim baadxxf定义,)(,收敛反常积分则称右端极限存在bdxxf.)(,发散则称否则 bdxxfs广义积分广义积分一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分3 dxxf)(.)()(00dxxfdxxf定义 dxxf)(,则称广义积分右端两广义积分都收敛,收敛.)(发散否
2、则称 dxxf).)(发散则右端两积分有一个发散 dxxf,并非不定型,说明说明:上述定义中若出现 它表明该广义积分发散.4,)()(的原函数是若xfxF引入记号;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式:xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF5 dxex.1例 00dxedxexx 00 xxee 00eeeexxxxlimlim)()(1001 .2 6例例2:计算广义积分.1d2 xx解解:21dxx 0|arctan|arctan0 xx2 2思考思考:?01d2对吗xxx分析分析:
3、0202)1ln(211d xxxx原积分发散!注意注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.02021d1dxxxx70sinI.3dxxekx例)(0 k 01xekx cos 02xekkx sin 022dxxekkx sin)()(001012 kI22 k.122I k .I22 k解出8 14pxdx.例,时当1 p 1pxdx 111pxp.11 p,收敛 1pxdx,时当1 p 1pxdx 1xln.,发散 1pxdx,时当1 p 1pxdx 111pxp.发散 1pxdx 1pxdx11 p )(发散)(收敛1 p1 p )(积分p9,
4、),()(无界在 aaxf badxxf)(定义 badxxf)(lim0,)()(,收敛瑕积分反常积分则称右端极限存在badxxf.)(发散否则称 badxxf badxxf)(定义 ,),()(无界在bbxf 反常积分则称右端极限存在,)()(收敛瑕积分 badxxf.)(发散否则称 badxxfbadxxf)(lim0广义积分广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分.)(,),()(bcaccxf 无界在 badxxf)(定义 bccadxxfdxxf)()(,)(,收敛称广义积分右端两广义积分都收敛badxxf.)(发散否则称 badxxf).)(,(发散就称散右端积分只要
5、有一个发 badxxf11若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:无界函数的积分又称作第二类广义积分第二类广义积分,无界点常称为瑕点瑕点(奇点奇点).例如,xxxd11112xxd)1(11间断点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,12,)()(的原函数是若xfxF引入记号;)(lim)(xFaFax)(lim)(xFbFbx则有类似牛 莱公式的计算表达式:xxfbad)()(xFab)()(是瑕点aaFbFxxfbad)()(xFab是瑕点）（baFbF)()(badxxf)(bccadxxfdxxf)()()()()()()F cF aF bF cc是瑕点)(xFac)(xF
6、 cb13 axadxx302235.例)(0 a.的无穷间断点是2233xaxax axadxx30223)3(0223axa.解.)(aa330 .3lim)3(22)3(xaaax 代入的含义是代入的含义是上限上限#14.ln.0161111xdxx例!错.点是被积函数的无穷间断忽视了0 x100111111dxxdxxxdx1001lnlnxx,lnlim0 xx因为,101发散所以dxx.发散111xdx15,)(时以后计算定积分 badxxf,)(baxf在要先检查,上是否连续,是否有无穷间断点,有间断点要分段积分.)(,是反常积分则若有无穷间断点badxxf baaxxd)(.7
7、例),(0 ab.,()(.是其无穷间断点上连续在解axbaax 1,时当10 baax1)(1 baaxxd)(.)(11ab.反常积分收敛16,时当1 baaxxd)(baaxxd)(),(0 abbaax)ln(.)ln(limaxax.反常积分发散,时当1 baaxxd)(baax1)()1(1.反常积分发散 )(发散)(收敛 baaxxd)(11)(ab10 1 17 baaxx)(d baxbx)(d1 ,1)(1 ab1 ,?)(d baxbx思考：思考：18内容小结内容小结 1.广义积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2.两个重要的广义积分apxxd baaxx)(d1p1p)0(a baxbx)(d1 ,1)(1 ab1 ,)1(11pap
