1、在此输入您的封面副标题2020高中数学竞赛辅导课件（联赛版）基础微积分2022-11-2922022-11-293第十九讲第十九讲三、三、向量场的微分算子向量场的微分算子一、第二型曲面积分的概念一、第二型曲面积分的概念二、第二型曲面积分的计算二、第二型曲面积分的计算2022-11-294有向曲面有向曲面:指定曲面的一侧为正，即在两个单位指定曲面的一侧为正，即在两个单位法向量中选定一个为正法向量中选定一个为正.0),(:)1(zyxFS),(),(zyxFzyxFn ),(),(),(:)2(vuzzvuyyvuxxS 222CBAkCjBiAn ),(:)3(yxfzS 22)()(1yfxf
2、yfxfkjin 一、第二型曲面积分的概一、第二型曲面积分的概念念2022-11-295有向曲面的边界有向曲面的边界:.是是有有向向曲曲线线的的边边界界有有向向曲曲面面SS.组组成成右右手手系系的的单单位位法法向向量量的的方方向向与与有有向向曲曲面面nSS nSS 有向面积微元：有向面积微元：dSnSd,为为正正侧侧单单位位法法向向量量其其中中n dzzdSyx221 曲曲面面面面积积微微元元2022-11-296例例 设空间有某种稳定流体在流动设空间有某种稳定流体在流动,其速度仅依其速度仅依),(zyxvv 的的流流量量求求单单位位时时间间流流过过曲曲面面 S.单单位位法法向向量量上上侧侧的
3、的为为侧侧流流向向上上侧侧的的下下假假设设流流体体从从曲曲面面SnS赖于空间点的位置赖于空间点的位置.即即解解nSvdSdSnvdQ SSSdvdSnvQ2022-11-297则则称称积积分分的的正正向向单单位位法法向向量量是是中中的的光光滑滑有有向向曲曲面面是是向向量量场场上上的的连连续续是是分分布布在在设设,),(.,),(3SzyxnSRzyxv 定义定义:(第二型曲面积分第二型曲面积分)SSSdvdSzyxnzyxv),(),(.),(第第二二型型曲曲面面积积分分上上沿沿指指定定侧侧的的在在曲曲面面为为向向量量场场Szyxv2022-11-298 SSSdvSdv有有向向性性)1(n
4、S S 21,)()(,)2(221121SSSSdvSdvSdvSSSSSSS则则且且若若 第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质2022-11-299kjinn coscoscos.,的的方方向向角角为为单单位位法法向向量量kzyxZjzyxYizyxXv),(),(),(设设 SSdv则则 SdSZYX)coscoscos(SdSkjikZjYiX)coscos(cos)(第二型曲面积分的坐标形式第二型曲面积分的坐标形式2022-11-2910dS)(cos 平平面面上上的的投投影影在在表表示示yozdSdS)(cos 平平面面上上的的投投影影在在表表示示xozdSdS)(cos 平平
5、面面上上的的投投影影在在表表示示xoydSxydxoydSdS 平平面面上上投投影影的的面面积积在在)(cos相相同同符符号号与与 cos)(cosdSxyddS )(cos即即取取正正号号时时当当,2 取取负负号号时时当当,2 例如例如:2022-11-2911Snxyd xo yz 2022-11-2912 SSdv SdSZYX)coscoscos(于是于是 SxyzxyzdZdYdX SdydxZdxdzYdzdyX记记yzddSdzdy )(coszxddSdxdz )(cosxyddSdydx )(cos坐标形式坐标形式向量形式向量形式2022-11-2913二、第二型曲面积分的计
6、算二、第二型曲面积分的计算基本方法：基本方法：注意：注意：上上被被积积函函数数定定义义在在曲曲面面 S为为有有向向曲曲面面S SSdSzyxnzyxvSdv),(),(化为二重积分化为二重积分2022-11-2914kjin coscoscos 设设kzyxZjzyxYizyxXv),(),(),(SSdv则则 SdSZYX)coscoscos(SdSkjikZjYiX)coscos(cos)(方法一方法一:化为第一型曲面积分计算化为第一型曲面积分计算2022-11-2915 SSdv SdSZYX)coscoscos(SxyzxyzdZdYdX SdydxZdxdzYdzdyXyzddSdz
7、dy )(coszxddSdxdz )(cosxyddSdydx )(cos其中其中方法二方法二:利用投影化为二重积分计算利用投影化为二重积分计算2022-11-2916 SdzXdy SdxYdz SdyZdx的的曲曲面面积积分分对对坐坐标标zy,的的曲曲面面积积分分对对坐坐标标xz,的的曲曲面面积积分分对对坐坐标标yx,xyDyxyxzzS ),(),(:SdyZdx xyDxydyxzyxZ),(,(xyDdxdyyxzyxZ),(,(上侧为正上侧为正,下侧为负下侧为负2022-11-2917yzDzyzyxxS ),(),(:SdzXdy yzDyzdzyzyxX),),(yzDdyd
8、zzyzyxX),),(zxDxzxzyyS ),(),(:SdxYdz zxDzxdzxzyxY),(,(zxDdzdxzxzyxY),(,(前侧为正前侧为正,后侧为负后侧为负右侧为正右侧为正,左侧为负左侧为负2022-11-2918方法三方法三:利用参数方程化为二重积分计算利用参数方程化为二重积分计算),(),(),(:vuzzvuyyvuxxS 222CBAkCjBiAn dudvCBAdS222 222cosCBAA 222cosCBAB 222cosCBAC 2022-11-2919 SSdv uvDdudvCZdudvBYdudvAX于是于是xyDyxyxfzS ),(),(:例如
9、例如:),(,yxfzyyxx ),(),(yxzyA ,xf ,),(),(yfyxxzB 1),(),(yxyxC SSdv xyDdxdyZyfYxfX)()(2022-11-2920计计算算的的球球面面外外侧侧半半径径为为是是中中心心为为原原点点例例,1RS Sdyzdxy2nzxoyn解解下下上上SSS 222:yxRzS 上上222:yxRzS 下下下下S上上S 下下上上SSSdydxzydydxzydyzdxy2222022-11-2921 DdxdyyxRy2222 DdxdyyxRy)(2222 DdxdyyxRy22222 122228DdxdyyxRy RrdrrRrd0
10、22220)sin(8 RdrrRrd0223202sin8 5154R 2022-11-2922.,30122取取后后侧侧之之间间的的部部分分与与界界于于平平面面的的前前半半个个柱柱面面为为圆圆柱柱面面其其中中 zzyxS Sdyzdxdxdzydzzdyx222计计算算例例xoyzn1解解法法 Sdyzdxdxdzydzzdyx22 Sdzzdyx2 Sdxdzy2 Sdyzdx利用坐标形式化为二重积分利用坐标形式化为二重积分2022-11-29230cos dSdydx 从从而而0 Sdyzdx 右右SSdxdzydxdzy22 左左Sdxdzy20.0,dzdyS取取后后侧侧)()1(
11、22dydzzydzzdyxyzDS 11230)1(dyyzdz6)1(210230 dyyzdz622 Sdyzdxdxdzydzzdyxxoyzn2 利利用用对对称称性性右右S左左S2022-11-29242解解法法利用向量形式化为一型曲面积分利用向量形式化为一型曲面积分 Sdyzdxdxdzydzzdyx22 SSdSnvSdvTTyxnyxn)0,(,)0,2,2(21 即即Tzyzxv),(22 其其中中 ,30,22,sincoszzzyx 柱面坐柱面坐标系下标系下2022-11-2925dzzddSnvS)sincos(330322 2233)sin3cos29(d 203co
12、s9 d6 dzddS 12022-11-2926三、向量场的微分算子三、向量场的微分算子向量场向量场kzjyix :1.1.数量场的梯度算子数量场的梯度算子可可微微，设设数数量量场场),(zyxuu 的的梯梯度度),(zyxugradukzujyuixuu 最最快快的的方方向向。在在一一点点增增长长的的方方向向是是梯梯度度场场),(zyxuu 最最大大值值的的范范数数等等于于方方向向导导数数的的梯梯度度场场u 的的等等值值面面过过点点处处垂垂直直于于在在点点梯梯度度),(),(),(zyxzyxuzyxu 2022-11-2927 的的散散度度算算子子向向量量场场.2vdivzZyYxXkZjYiXkzjyixv )()(数量场数量场kzyxZjzyxYizyxXzyxv),(),(),(),(设设向向量量场场的的散散度度向向量量场场 v2022-11-2928 的的旋旋度度算算子子向向量量场场.3kzyxZjzyxYizyxXzyxv),(),(),(),(设设向向量量场场vrotkyXxYjxZzXizYyZkZjYiXkzjyixv )()()()()(向量场向量场的的旋旋度度向向量量场场v2022-11-2929)()(kZjYiXkzjyixv ZYXzyxkji vrotkyXxYjxZzXizYyZ )()()(
