1、第三章第三章 圆圆第第8 8节节 圆内接正多边形圆内接正多边形1课堂讲解课堂讲解u圆内接正多边形及相关定义圆内接正多边形及相关定义u圆内接正多边形的画法圆内接正多边形的画法2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形.2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体?1知识点知识点圆内接正多边形及相关定义圆内接正多边形及相关定义 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多
2、边这个圆叫做该正多边 形的外接圆形的外接圆.知知1 1导导知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）正正n边形的各角相等，且每个内角为：边形的各角相等，且每个内角为：每个外角为：每个外角为：；180(2)nn 360.n 知知1 1讲讲（来自教材）（来自教材）如图如图,在圆内接正六边形在圆内接正六边形ABCDEF中，半中，半 径径OC=4,OG丄丄BC，垂足为，垂足为G，求这个正六边形的中，求这个正六边形的中 心角、心角、边长和边心距边长和边心距.例例1知知1 1讲讲解：解：连接连接OD.六边形六边形ABCDEF为正六边形，为正六边形，COD=60 COD为等边三角形为等边三角形.CD=OC=4.在
3、在 Rt COG中中，OC=4，CG=BC=4=2,OG=正六边形的中心角为正六边形的中心角为60，边长为，边长为4,边心距为边心距为3606 122222422 3OCCG.2 3.12知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）如图，五边形如图，五边形ABCDE内接于内接于 O，ABCDE.求证：五边形求证：五边形ABCDE是正五边形是正五边形例例2导引：导引：根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出 利用等式的性质，两边同时减去利用等式的性质，两边同时减去 ，即可得到，即可得到 ，根据等弧所对的弦相等，得出，根据等弧所对的弦相等，得出BCAE.BDECDA
4、，CDEBCAE 知知1 1讲讲解：解：ABCDE，圆周角，圆周角A对对 ，圆周角圆周角B对对 ，.，即，即 .BCAE.同理可证其余各边都相等同理可证其余各边都相等五边形五边形ABCDE是正五边形是正五边形BDECDA BDECDECDACDEBCAE BDECDA知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）下列说法不正确的是下列说法不正确的是()A等边三角形是正多边形等边三角形是正多边形B各边相等，各角也相等的多边形是正多边形各边相等，各角也相等的多边形是正多边形C菱形不一定是正多边形菱形不一定是正多边形D各角相等的多边形是正多边形各角相等的多边形是正多边形例例3导引：导引：等边三角形是正三角形；
5、各边相等，各角也相等等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当菱形的四个角相等时才的多边形是正多边形；当菱形的四个角相等时才是正多边形是正多边形(正方形正方形)，所以菱形不一定是正多边，所以菱形不一定是正多边形；形；D说法不正确说法不正确.答案：答案：DD总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）正多边形的识别要从两个角度去看，正多边形的识别要从两个角度去看，一是边都相等；一是边都相等；二是内角都相等二是内角都相等知知1 1练练（来自（来自教材教材）分别求出半径为分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和的圆内接正三角形的边长和边心距边心距.1解：解：设正六边形设
6、正六边形DFHKGE的中心为的中心为O，连接，连接OH，OK，则则OHK为等边三角形为等边三角形由题意可得由题意可得OHHK BC2，OHK60，SOHK HKOHsin 60 22 .又又S正六边形正六边形6SOHK，S正六边形正六边形6 6 .32313121233知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）【2017株洲株洲】下列圆的内接正多边形中，一条边所下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是对的圆心角最大的图形是()A正三角形正三角形 B正方形正方形C正五边形正五边形 D正六边形正六边形正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一
7、个内角的关系为的关系为()A两角互余两角互余 B两角互补两角互补C两角互余或互补两角互余或互补 D不能确定不能确定23AB知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）【2017滨州滨州】若正方形的外接圆半径为若正方形的外接圆半径为2，则其，则其内切圆半径为内切圆半径为()A B.C D1422 222A知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）【2017沈阳沈阳】正六边形正六边形ABCDEF内接于内接于 O，正，正六边形的周长是六边形的周长是12，则，则 O的半径是的半径是()A B.2 C D532 22 3B知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的一个圆
8、的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是比是()A1 B1 2 C2 3 D2 62B知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）【中考中考青岛青岛】如图，正六边形如图，正六边形ABCDEF内接于内接于 O，若直线，若直线PA与与 O相切于点相切于点A，则，则PAB等等于于()A30 B45C150 D30或或1507A知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）(2016泸州泸州)以半径为以半径为1的圆的内接正三角形、正方的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是角形的面积是()A.B.C.D.838283424D知知1
9、1练练（来自（来自典中点典中点）(中考中考随州随州)如图，如图，O是正五边形是正五边形ABCDE的外接圆，的外接圆，这个正五边形的边长为这个正五边形的边长为a，半径为，半径为R，边心距为，边心距为r，则，则下列关系式错误的是下列关系式错误的是()AR2r2a2 Ba2Rsin 36Ca2rtan 36 DrRcos 369A2知识点知识点圆内接正多边形的画法圆内接正多边形的画法知知2 2导导利用尺规作一个已知圆的内接正六边形利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.由于正六边形的中心角为由于正六边形的中心角为60,因此它的边长就是其外接圆因此它的边长就是其外接圆的半径的半径R.所所 以，在半径为以，
10、在半径为R的圆上，依次截取等于的圆上，依次截取等于R的弦，的弦，就可以六等分圆，进而作出就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形圆内接正六边形.知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）作一个正三角形，使其半径为作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.例例4导引：导引：先作出一个半径为先作出一个半径为0.9 cm的圆，再用量角器画出中心角的圆，再用量角器画出中心角为为120的角的角(2个个)，依次连接与圆的交点即可；或将圆，依次连接与圆的交点即可；或将圆六等分，再依次连接相隔一个的等分点即可六等分，再依次连接相隔一个的等分点即可知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：作法一：作法一：(1)作半径
11、为作半径为0.9 cm的的 O；(2)用量角器画用量角器画AOB BOC 120；(3)连接连接 AB，BC，CA.则则ABC为所求作的正三角为所求作的正三角 形，如图所示形，如图所示知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）作法二：作法二：(1)作半径为作半径为0.9 cm的的 O；(2)作作 O的任一直径的任一直径AB；(3)分别以分别以A，B为圆心，以为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交为半径作弧，交 O于点于点C，F和和D，E；(4)连接连接AD，DE，EA.则则ADE为所求作的正三角形，如图所示为所求作的正三角形，如图所示总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解决这类问题通常有两种
12、方法：解决这类问题通常有两种方法：(1)用量角器等分圆周法；用量角器等分圆周法；(2)用尺规等分圆周法用尺规等分圆周法知知2 2讲讲（来自（来自教材教材）用尺规作圆的内接正方形用尺规作圆的内接正方形.已知：如图，已知：如图，O.求作：正方形求作：正方形ABCD内接于内接于 O.例例5知知2 2讲讲作法：作法：(1)如图，作两条互相垂直的直径如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.(2)顺次连接顺次连接 AB，BC，CD，DA.由作图过程可知，四个中心角都是由作图过程可知，四个中心角都是90，所以所以AB=BC=CD=DA.因为因为AC，BD都是直径，都是直径，所以所以ABC=BCD=CDA=DA
13、B=90.即四边形即四边形ABCD为为 O的内接正方形的内接正方形.知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）如图，如图，AD为为 O的直径，作的直径，作 O的内接正三角形的内接正三角形ABC，甲、，甲、乙两人的作法分别如下：乙两人的作法分别如下：甲：甲：(1)以以D为圆心，为圆心，OD长为半径画圆弧，交长为半径画圆弧，交 O于于B，C两两 点；点；(2)连接连接AB，BC，AC.ABC即为所求作的三角形即为所求作的三角形乙：乙：(1)作作OD的中垂线，交的中垂线，交 O于于B，C两点；两点；(2)连接连接AB，AC.ABC即为所求作的三角形即为所求作的三角形 对于甲、乙两人的作法，可判断对于甲
14、、乙两人的作法，可判断()A甲对，乙不对甲对，乙不对 B甲不对，乙对甲不对，乙对C两人都对两人都对 D两人都不对两人都不对1C知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹画图工具不限，但要保留画图痕迹)2解：解：如图所示如图所示(答案不唯一答案不唯一)1.正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做 正多边形正多边形.2.把一个圆把一个圆n(n3)等分，顺次连接各等分点，就得等分，顺次连接各等分点，就得 到一个正到一个正
15、n边形边形.我们把这个正我们把这个正n边形叫做圆的内边形叫做圆的内 接正接正n边形边形.1知识小结知识小结一个边长为一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的的正多边形的内角和是其外角和的2倍，倍，则这个正多边形的半径是则这个正多边形的半径是()A2 B.C1 D.2易错小结易错小结312A易错点：易错点：误认为正多边形的边心距是正多边形的半径误认为正多边形的边心距是正多边形的半径.（来自（来自典中点典中点）错解：错解：B诊断：诊断：设正多边形的边数为设正多边形的边数为n.因为正多边形的内角因为正多边形的内角和为和为(n2)180，正多边形的外角和为，正多边形的外角和为360，根，根据题意得据题意得(n2)1803602，解得，解得n6，故正，故正多边形为正六边形边长为多边形为正六边形边长为2的正六边形可以分成六的正六边形可以分成六个边长为个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于的正三角形，所以正多边形的半径等于2.产生错误的原因是认为正多边形的边心距是正多边产生错误的原因是认为正多边形的边心距是正多边形的半径，计算得出错误的结果形的半径，计算得出错误的结果 ，最后导致错，最后导致错选选B.3
