1、一次函数一次函数 学 习 目 标：v1、理解并熟记什么是一次函数。、理解并熟记什么是一次函数。v2、理解正比例函数与一次函数的区别和联系。、理解正比例函数与一次函数的区别和联系。v3、灵活掌握一次函数的性质。、灵活掌握一次函数的性质。v4、会画并灵活应用一次函数图像、会画并灵活应用一次函数图像。思考：下列问题中的对应关系可用怎思考：下列问题中的对应关系可用怎样的函数表示？样的函数表示？(1)有人发现有人发现,在在2050 时蟋蟀每分鸣叫的次时蟋蟀每分鸣叫的次数数c与温度与温度t(单位：单位：)有关，即有关，即c的值约是的值约是t的的7倍与倍与35的差；的差；解：解：C=7t-35A组组 (2)
2、一种计算成年人标准体重一种计算成年人标准体重G(单位：千克单位：千克)的方法是，以厘米为单位量出身高值的方法是，以厘米为单位量出身高值h，再减，再减去常数去常数105，所得差是，所得差是G的值的值；(3)某城市的市内电话的月收费额某城市的市内电话的月收费额y(单位：单位：元元)包括：月租费包括：月租费22元，拔打电话元，拔打电话x分的计时费分的计时费(按按0.1元元/分收取分收取)；(4)把一个长把一个长10cm、宽、宽5cm的长方形的长减的长方形的长减少少x cm,宽不变，长方形的面积宽不变，长方形的面积y(单位：平方单位：平方厘米厘米)随随x的值而变化的值而变化解：解：G=h-105解：解
3、：y=0.1x+22解：解：y=-5x+50 (0 x10)认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数函数解析式常数自变量函数（1）C=7t-35（2）G=h-105（3）y=0.1x+22（4）y=-5x+50这些函数有什这些函数有什么共同点？么共同点？这些函数的形这些函数的形式都是自变量式都是自变量x的的k（常数）倍（常数）倍与一个与一个常数常数的的和和，即即y=kx+b的形式的形式 7，-35tC-105hG0.1,22xy-5,50 xy一般地，形如一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，是常数，k0)的函数，叫做的函数，叫做一次函数一次函数。当当b=0时，时，
4、y=kx+b就变成了就变成了y=kx,所所以说以说正比例函数是一种特殊的一次函数正比例函数是一种特殊的一次函数。正比例函数和一次函数有什么区别和联系?联系：联系：正比例函数正比例函数是是一种特殊的一次函数，一种特殊的一次函数，一次函数一次函数不一定是不一定是正比例函数。正比例函数。区别：区别：一次函数有一次函数有常数项常数项，正比例函数正比例函数常数项为零常数项为零。y=kx（k是常数，是常数，k0）y=kx+b(k,b是常数，是常数，k0).62)5(14)4(9)3(7)2(;43)1(2xm；xyx；y；xyxy 练习：下列哪些函数是一次函数，练习：下列哪些函数是一次函数，哪些又是正比例
5、函数哪些又是正比例函数.k和和b的值是？的值是？是一次函数，是一次函数，k=-3，b=-4不是不是是正比例函数，也是一次函数是正比例函数，也是一次函数不是不是不是不是xy12.已知下列函数已知下列函数:y=2x+1;xxy21;s=60t;y=100-25x,其中表示其中表示一次函数的有一次函数的有()(A)1个个(B)2个个(C)3个个(D)4个个D3.下列说法不正确的是下列说法不正确的是()(A)一次函数不一定是正比例函数一次函数不一定是正比例函数(B)不是一次函数就一定不是正比例函数不是一次函数就一定不是正比例函数(C)正比例函数是特定的一次函数正比例函数是特定的一次函数(D)不是正比例
6、函数就不是一次函数不是正比例函数就不是一次函数D例例:若函数若函数y=(m-1)x|m|+m是关于是关于x的一次函数的一次函数,试求试求m的值的值.解，函数为一次函数，m-10|m|=1 m=1，m 1 则m=1所以当m=1函数函数y=(m-1)x|m|+m是关是关于于x的一次函数的一次函数,4.要使要使y=(m-2)xn-1+n是关于是关于x的的一次函数一次函数,n,m应满足应满足 ,.n=2m25.已知函数已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当求当m为何值时为何值时,(1)此函数为正比例函数此函数为正比例函数 (2)此函数为一次函数此函数为一次函数解解:(1)由题意由题意,得得2m-3=
7、0,m=,所以当所以当 m=时时,函数为正比例函数函数为正比例函数y=x232323(2)由题意得由题意得2-m0,m2,所以所以m2时时,此函数为一次函数此函数为一次函数.6.汽车油箱中原有油汽车油箱中原有油50升升,如果行驶中每如果行驶中每千米用油千米用油5升升,求油箱的油量求油箱的油量y(单位单位:升升)随随行使路程行使路程x(单位单位:千米千米)变化的函数关系式变化的函数关系式,并写出自变量并写出自变量x的取值范围的取值范围.y是是x的一次的一次函数吗函数吗?解解:由题意得由题意得,函数关系式为函数关系式为y=50-5x.自变量自变量x的取值范围是的取值范围是0 x10 y是是x的一次
8、函数的一次函数.7.一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加动，其速度每秒增加2米。米。（1）求小球速度）求小球速度v随时间随时间t变化的函数关系变化的函数关系式，它是一次函数吗？式，它是一次函数吗？（2）求第）求第2.5秒时小球的速度秒时小球的速度.解解:(1)由已知得由已知得,函数关系式为函数关系式为v=2t是一次函数是一次函数,(2)当当t=2.5秒时秒时,v=5米米/秒秒8.思考思考 小明根据某个一次函数关系式填写小明根据某个一次函数关系式填写了下表了下表:x-2-101y310其中有一格不慎被墨汁遮住了其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，
9、该想想看，该空格里原来填的数是多少？解释你的理由。空格里原来填的数是多少？解释你的理由。作出一次函数作出一次函数y=2x和和Y=2X+1的图象的图象1、列表、列表:分别选取若干对自变量与函数的对应分别选取若干对自变量与函数的对应值值,列成下表列成下表.2、描点、描点:分别以表中的分别以表中的X作为横坐标作为横坐标,Y作为纵坐作为纵坐标标,得到两组点得到两组点,写出这些点写出这些点(用坐标表示用坐标表示).再画再画一个平面直角坐标系一个平面直角坐标系,并在坐标系中画出这些点并在坐标系中画出这些点.X.-2-1012.Y=2X.Y=2X+1.-4-3-2-1012345B组组8642-2-4-6-
10、8-10-5510YXOY=2XY=2X+1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1-2-3-4-5-612345612 3 45678-7-8这两个函数的图象形状都是 ,并且倾斜程度 .函数y=2x的图象经过原点,函数y=2x+1的图象与y轴交于点 ,即它可以看作直线y=2x向 平移 个单位长度而得到直线相同(0,1)上1xy20.请比较请比较下列函数下列函数y=y=x,y=,y=x+2,y=+2,y=x-2-2的图的图象有什么异同点？象有什么异同点？.y=y=x.y=y=x+2+2y=y=x-2-2 直线直线相同相同（0，2）上上2（0，-2）下下2 直线直线yk
11、x+b可以看作可以看作直线直线ykx向向上上（或向或向下下）平移平移|b|个单位长度得到个单位长度得到的的当当b b0 0时，向时，向下下平移平移当当b b0 0时，向时，向上上平移平移y -4 -2-3 -1321-1 0-2-3 1 2 3 4 5x 6 7 -5y=2xy=2x+3y=2x2xyoy=y=xy=y=x+2+2y=y=x-2-2y30 x2（当（当b0时，向上平移；当时，向上平移；当b0时，向上平移；当时，向上平移；当 b0，向下平移），向下平移）猜想：考虑一次函数考虑一次函数y=kx+b的图像是什么形状？的图像是什么形状？它与直线它与直线y=kx有什么关系？有什么关系？一
12、次函数一次函数 y=k x+b(k0)(1)当当 x=0 时时,y=0 k+b=b,所以一次函数所以一次函数 y=k x+b 经过经过(0,b)点点.(2)当当 y=0 时时,k x+b=0,x=-bkbk所以一次函数所以一次函数 y=k x+b 经过经过(-,0)点点.一次函数一次函数 y=k x+b(k0)是是 经过经过(0,b)和和(-,0)的一条直线的一条直线.bk你会画出函数你会画出函数y=2xy=2x-1-1与与 y=-0.5x+1 的图象吗？的图象吗？yxo11y=2x-1y=2x-1 y=-0.5xy=-0.5x+1+1 x01y=2x-1y=-0.5x+1-1110.5方法方
13、法1、平移法、平移法方法方法2、描点法、描点法（1）先画y=2x，再向下平移1 1个单位（2 2）先画）先画 ，再向，再向 平移平移 个个 单位单位I I I I II I I I I1-1.y=2xy=2x-11x xy-1y=-0.5x上上12(1)直线直线y=3x-2可由直线可由直线y=3x向向 平平移移 单位得到。单位得到。(2)直线直线y=x+2可由直线可由直线y=x-1向向 平平移移 单位得到。单位得到。下下2上上3 4、直线直线 y=-3x 1 过点（过点（_,0）和（）和（0，_ ）.练习一练习一3、直线直线y4x+2 过点（过点（0，_）和（）和（_，0）.2-12-13-1
14、6、一次函数一次函数y=2x-1的图象是一条经过点的图象是一条经过点(0，_)和和(_，0)且平行于直线且平行于直线_的直线。的直线。-121y=2x 7、一次函数、一次函数y=kx+b的图象是一条经过点的图象是一条经过点(0，_)和和(_，0)且平行于直线且平行于直线_的直线。的直线。bkby=kx5、把直线、把直线 向上平移向上平移3个单位长度所个单位长度所 得到的解析式为得到的解析式为132xy432xyyxo11y=2x-1y=-2x+l探究：探究：画出函数画出函数y=x+1y=x+1，y=y=2 2x-1x-1及及y=y=-x-1 y=x-1 y=-2 2x+lx+l的图象的图象 y
15、=x+1y=-x-1并思考并思考：一次函数解析式一次函数解析式y=kx+by=kx+b(k,b(k,b是常是常数，数，k0)k0)中，中，k k、b b的的正负正负对函数图对函数图象有什么影响？象有什么影响？(经过哪几个象限经过哪几个象限)-1-1C组组yxo o1234-1-2-3-4-1-2-3-41234y=2xy=2x+3y=2x-4当当k0，图象经过一、图象经过一、三象限；三象限；一次函数一次函数y=k x+b（k0）的图象的图象b0二、二、当当 k0,b0图象经过一、三、图象经过一、三、四四象限；象限；当当k0时，函数时，函数的图象从左到右的图象从左到右上升，上升，y随随x的增的增
16、大而增大大而增大xyoy=k x（k0)当当 k 0,b 0图象经过图象经过一、一、二、四二、四象限；象限；当当 k 0,b 0图象经过二、图象经过二、三、三、四四象限；象限；一次函数一次函数y=k x+b（k0）的图象的图象y=kx+by=kx+b当当ko,b=oK0,bo,b0yxoK0,b=0yxoK0,b0yxoK0yx0看图象，确定一次函数y=kx+b(k0)中k,b的符号。oxyoxyoxyk0b0b0k0,b0 k0,试作草图。oyxoyx例例2：在同一坐标系作出下列函数的图象：在同一坐标系作出下列函数的图象(1)y=2x+1 (2)y=-2x+1根据图象回答，当自变量根据图象回
17、答，当自变量x逐渐增大时，函数逐渐增大时，函数y的值怎样变化？的值怎样变化？ox1234-1-2-3-411234-1-2y解：y=-2x+1y=2x+1 x 0-1/2y=2x+1 1 0 x01/2y=-2x+1 1 0(0,1)(-1/2,0)(1/2,0)一次函数一次函数y=kx+b（k0）的性质：）的性质：当当k0时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；yx一次函数一次函数y=kx+b（k0）的性质：）的性质：当当k 0 时，y 随 x 的增大而 。v（2）当 k 0b0k0b0k0k0b0例例、已知一次函数、已知一次函数y=(m-1)x+2m+1。（4）若图象经过一、二、四象限
18、，）若图象经过一、二、四象限，求求m的取值范围。的取值范围。解：由题意可知解：由题意可知 k0,b0m-102m+1 0m1m-1/2 所以所以 -1/2 m1.知识应用知识应用练习:已知函数y=(m-2)x+n的图象经过一、二、三象限求:m、n的取值范围.练一练练一练X+1X+1的图象不经过（的图象不经过（）1 1、函数、函数y=-y=-32A A：第四象限：第四象限 B B：第三象限：第三象限C C：第二象限：第二象限 D D：第一象限：第一象限 B、说出下列函数的图象所经过的象限、说出下列函数的图象所经过的象限 y=2x-3 y=2x-3 y=-x-2 y=-x-2 y=-x+1 y=-
19、x+1直线直线y=kx+by=kx+b经过一、二、四经过一、二、四象限，那么直线象限，那么直线y=bx+ky=bx+k经过哪些经过哪些象限？象限？思维拓展3 3、直线、直线y=y=x x3 3经过经过_象限象限 二、三、四二、三、四4 4、已知函数、已知函数y=kxy=kx2 2，且，且y y随随x x的增大而增大，的增大而增大，则它的图象则它的图象不经过不经过第第_象限象限 四四考考你考考你5 5、一次函数、一次函数y=kxy=kxb b，kbkb0 0，且，且y y随随x x的增大的增大 而减小而减小，则它的图象可能是，则它的图象可能是()()C C考考你考考你6 6、已知一次函数、已知一
20、次函数y=(ay=(a1)x1)xb b的图象如图所示，的图象如图所示，那么那么a a、b b的取值范围是的取值范围是()()A Aa a1 1，b b0 0 B Ba a1 1，b b0 0 C Ca a1 1，b b0 0 D Da a1 1，b b0 0A A考考你考考你yx0(D)yx0(A)yx0(C)yx0(B)小试牛刀7、已知函数已知函数 y=kx的图象在二、四象限，那的图象在二、四象限，那么函数么函数y=kx-k的图象可能是（的图象可能是（）B2-10,那么该直线不经过第那么该直线不经过第 象限象限四四12、直线直线y=kx+b的图象如图所示，确定的图象如图所示，确定k、b符号
21、：符号：oyxoyxK0，b0k0，b013、下图中哪一个是 y=x-1y=x-1的大致图像？ABCD14、一次函数、一次函数y=kxk的图象可能是（）的图象可能是（）ABCDC15、已知一次函数、已知一次函数y=(m-1)x+2m+1。若图象平行于直线若图象平行于直线y=2x，求，求m的值的值解：由题意可得解：由题意可得 m 1=2 所以所以 m =3，即即y=(m-1)x+2m+1=2x+16、已知一次函数、已知一次函数y=(m-1)x+2m+1。若图象交若图象交y轴于正半轴，求轴于正半轴，求m的取值范围的取值范围解：解：若图象交若图象交 y 轴于正半轴，轴于正半轴，b0,2m+10m-1
22、0m-1/2m1所以所以 m-1/2 且且 m1。把把k=1，b=2代入代入y=kx+b中，得一次函数解析式中，得一次函数解析式为为_.把点把点_,_ 代入所设解析式得代入所设解析式得设一次函数的解析式为设一次函数的解析式为_ 例例1 已知已知:一次函数的图象经过点一次函数的图象经过点(2，5)和点和点(1，3),求出一次函数的解析式求出一次函数的解析式.解：解：ykx+b(k0)(2,5)(1，3)解解得得,k_b_2513E组组1.设设一次函数的一般形式一次函数的一般形式y=kx+b(k0);y=kx+b(k0);2.根据已知条件根据已知条件列列出关于出关于k,b k,b 的二元一次方的二
23、元一次方程组程组3.3.解这个方程组解这个方程组,解解出出k,b ;k,b ;4.4.将已经求出的将已经求出的 k,b k,b的值代入所设解析式的值代入所设解析式.写写出这个解析式出这个解析式解题的步骤解题的步骤:待定系数法：像刚才这样先像刚才这样先设设待求的函数关系式待求的函数关系式(其其中含有未知的系数中含有未知的系数)再根据条件再根据条件列列出方程或出方程或方程组方程组,解解出未知系数出未知系数,从而得到所求结果的从而得到所求结果的方法方法,叫做叫做待定系数法待定系数法.1.1.已知一次函数的图象如图所示，求该函已知一次函数的图象如图所示，求该函数的解析式。数的解析式。0 1 2 3 4
24、 5 xy54321 解：设这个一次函数的解析式为解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b。b=3 3k+b=0 解方程组得解方程组得 k=1 b=3 这个一次函数的解析式这个一次函数的解析式 为为y=x+3。(k (k0)从图中可以看出从图中可以看出 图象过点图象过点（0，3）与与（3，0）。）。0 1 2 3 4 5 xy54321函数解函数解析式析式y=kx+by=kx+b(k0)(k0)选取选取解出解出满足条件满足条件的两点的两点(x1,y1)与与(x2,y2)一次函数一次函数的图象的图象直线直线画出画出选取选取从数到形从数到形从形到数从形到数数学的思想方法：数形结合数学的思想方法：数
25、形结合x0y94BA35由于两点确定了一条直线，即由于两点确定了一条直线，即这个图象是一次函数这个图象是一次函数y=kxby=kxb（，），（，），（，）（，）解：因为图象是一次函数，所以设函数的解析式解：因为图象是一次函数，所以设函数的解析式 为为y=kxb且图象过点（，）和点（，），所以且图象过点（，）和点（，），所以b5k3k4b9由得由得这个函数的解析式为这个函数的解析式为y=2x19543kk147 k2k得代入把k21b523byx53490ABb5x3x4b9b5k3k4b9b5k3k4b9ABC2.2.如图，一次函数的图象过点如图，一次函数的图象过点A A且且与正比例函数与正比
26、例函数y=-xy=-x的图象交于点的图象交于点B B。那么该一次函数的表达式为那么该一次函数的表达式为 -1 0 xy=-x2AByy yx+2x+2 若直线若直线l与直线与直线y=x-1关于关于x轴对称，则直线轴对称，则直线l的解析式为的解析式为_。12y=-x+112 0 1 2 xy1-1A(2,0)B(0,-1)B1(0,1)y=x-112y=-x+112 总结：总结：若若l直线与直线直线与直线y=kx+b关于关于（1）x轴对称轴对称，则直线，则直线l的解析式为的解析式为 y=-kx-b,即将即将 y 换成换成 y。（2）y轴对称轴对称，则直线，则直线l的解析式为的解析式为 y=-kx
27、+b,即将即将 x 换成换成-x。(3)(3)原点对称原点对称，则直线，则直线l的解析式为的解析式为 y=kx-b,y=kx-b,即将即将y换成换成-y,x换成换成-x。若直线若直线l与直线与直线y=x-1关于关于y轴对称，轴对称，则直线则直线l的解析式为的解析式为_。想一想想一想若直线若直线l与直线与直线y=x-1关于原点对称，关于原点对称，则直线则直线l的解析式为的解析式为_。1212y=-x-112 y=x+112例例2 2 已知直线已知直线y=kx+b与直线与直线y=2x平行且过点平行且过点（-1,4），则则k=_，b=_。3.3.已知一次函数已知一次函数y=kx+b的图象与的图象与y
28、=-3x+4的图象的图象平行且与平行且与y y轴相交于点轴相交于点(0,3)。则这则这个函数的解析式为个函数的解析式为_。y=-3x+326 4.4.直线直线y=kx+b经过点经过点A(-3,0)且与且与y轴交于轴交于点点B，如果，如果AOB的（的（0为坐标原点）为坐标原点）面积面积为为4.5，则这条直线的解析式为，则这条直线的解析式为()()。A.y=x+3 B.y=-x-3 C.y=x+3或或y=-x-3 D.y=x+3或或y=x-3（-3,0）xyoc5、已知函数、已知函数y=kxb的图象经过点的图象经过点A(4，0)，且，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为与两坐标轴所围成的三角形的面积
29、为6，则此函数，则此函数的解析式为的解析式为_.(4，0)(0，3)(0，3)334334yxyx ABB一次函数的图象与坐标一次函数的图象与坐标轴所围成的面积问题，轴所围成的面积问题，我们往往要进行分类讨我们往往要进行分类讨论！论！某车油箱现有汽油某车油箱现有汽油50升，行驶时，油箱中的余油量升，行驶时，油箱中的余油量y（升）（升）是行驶路程是行驶路程x（km）的一次函数，其图象如图所示）的一次函数，其图象如图所示求求y与与x的函数关系式，并写出自变量的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。的取值范围。605030 x/kmy/升升解：设函数解析式为解：设函数解析式为y=kxb，且图象过，且
30、图象过点（点（60，30）和点（，）和点（，50），所以），所以k60b300b50解得解得31k50b的函数关系式为与xy5031xy1500 x1.已知直线已知直线y(2m1)xm与直线与直线yx2平行，且与直线平行，且与直线y x2n3 交交 y 轴于同一轴于同一点，则点，则m=_,n=_.2.如果要通过平移直线如果要通过平移直线 得到得到 的图象，那么直线的图象，那么直线 必须向必须向_平平移移_个个 单位单位.35 xyxy31 xy31 3.如果直线如果直线y kxb平行于直线平行于直线y2x4,且与两坐标轴围成的三角形的面积为且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求求直线直线y k
31、xb 的解析式的解析式.1 1、用待定系数法求一次函数的解析式。、用待定系数法求一次函数的解析式。2 2、数与形的关系、数与形的关系-数形结合的思想。数形结合的思想。课堂小结课堂小结3 3、对有些题目要分情况进行讨论、对有些题目要分情况进行讨论分类讨论的思想分类讨论的思想。1、怎样的函数是一次函数？、怎样的函数是一次函数？一般地，形如一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，是常数，k0)的函数，叫做一次函数。的函数，叫做一次函数。2、会区分一次函数与正比例函数、会区分一次函数与正比例函数 当当b=0时，时，y=kx+b就变成了就变成了y=kx,所以所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。说正比例函数是一种特殊的一次函数。3、怎么画一次函数图像？、怎么画一次函数图像？一次函数一次函数y=kx+b的图象是一条的图象是一条_,我们称我们称它为直线它为直线y=kx+b，它可以看作由，它可以看作由_平移平移_个单位长度而得到个单位长度而得到直线直线直线直线y=kx|b|（当当b0时，向上平移；当时，向上平移；当b0，向下平移），向下平移）平移法、描点法平移法、描点法
