1、北师大版九年级数学下册2用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式一、一、一般式：一般式：y=ax+bx+c(a,b,c为常数为常数,a 0)l 求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。的值。l由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解就可以写出二次函数的解析式。析式。例例1 1 已知已知:抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c过点（过点（2 2，1 1）、
2、（）、（1 1，-2-2）（0 0，5 5）三点，求抛物线的解析式）三点，求抛物线的解析式解：由题意可得：解：由题意可得：4a+2b+c=1 a+b+c=-2 c=5 解之得：解之得：a=5b=-12c=5所以抛物线的解析式是：所以抛物线的解析式是：y=5x2-12x+5.练已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1,101,10）、）、（1,41,4）、（）、（2,72,7）三点，求这个函数的表达式？）三点，求这个函数的表达式？oxy解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解
3、方程得：a=2,b=-3,c=5所以所求二次函数是：所以所求二次函数是：y=2x2-3x+5二、顶点式二、顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数为常数a0).l 1.若已知抛物线的若已知抛物线的顶点坐标顶点坐标和抛物线上的另和抛物线上的另一个点一个点的的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k.2.特别地，当抛物线的顶点为原点是，特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设可设函数的解析式为函数的解析式为y=ax2.3.当抛物线的对称轴为当抛物线的对称轴为y轴时，轴时，h=0,可设函数的解析式可设函数的解析式为为y=ax2+k.
4、4.当抛物线的顶点在当抛物线的顶点在x轴上时，轴上时，k=0，可设函数的解析，可设函数的解析式为式为y=a(x-h)2.解：解：1.1.已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1 1，3 3），与），与y y轴交点为（轴交点为（0 0，5 5）,求该抛物线的解析式？求该抛物线的解析式？yox所以设所求的二次函数解析式为：所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x1)2-3因为已知抛物线的顶点为（因为已知抛物线的顶点为（1 1，3 3）又点又点(0,-5)在抛物线上在抛物线上a-3=-5,解得解得a=-2故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3即：即：y=2x2-4x5
5、2.已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且，并且当当x=3时有最大值时有最大值4，试确定这个二次函数的，试确定这个二次函数的解析式。解析式。解法1：（利用一般式利用一般式）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c(a0)由题意知 16a+4b+c=-3 -b/2a=3 (4ac-b2)/4a=4解方程组得：a=-7 b=42 c=-59 二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59 解法解法2：（利用顶点式）（利用顶点式）当当x=3时，有最大值时，有最大值4 顶点坐标为顶点坐标为(3,4)设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=a(x-3)2+4 函数
6、图象过点（函数图象过点（4，-3）a(4-3)2+4=-3 a=-7 二次函数的解析式为：二次函数的解析式为：y=-7(x-3)2+4北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件3.二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象过点的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数，求这个二次函数的解析式。的解析式。解:二次函数的对称轴为直线x=3 设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点 5=a(0-3)2+
7、k 0=a(5-3)2+k 解得：a=1 k=-4 二次函数的表达式:y=(x-3)2-4 即 y =x2-6x+5小结:已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时优先选用顶点式。北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件三、三、交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数为常数a0）当抛物线与当抛物线与x轴有两个交点为（轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，时，二次函数二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛
8、物线与因此当抛物线与x轴有两个交点为轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另，在把另一个点一个点的坐标代入其中，即可解得的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式。求出抛物线的解析式。l 交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2).x1和和x2分别是抛物线与分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线的对称轴对称，则直线 就是抛物线的就是抛物线的对称轴对称轴.221xxx北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优
9、秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件1：已知二次函数与已知二次函数与x 轴的交点坐标为（轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（），点（0，1）在图像上，求其解析式。）在图像上，求其解析式。解：设所求的解析式为抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）又点（0，1）在图像上，a=-1即：北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件解：（解：（交点式交点式）二次函数图象经过点二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0)设二次函数表达式为设二次函数表达式
10、为：y=a(x-3)(x+1)函数图象过点函数图象过点(1,4)4=a(1-3)(1+1)得得 a=-1 函数的表达式为：函数的表达式为：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+32：已知二次函数图象经过点已知二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和和(3,0)三三点，求二次函数的表达式。点，求二次函数的表达式。知道抛物线与知道抛物线与x轴的两个交点的坐轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便标，选用交点式比较简便北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件其它解法其它解法：（：（一般式一般式）
11、设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=ax2+bx+c 二次函数图象过点二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和和(3,0)a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 解得：解得：a=-1 b=2 c=3 函数的解析式为：函数的解析式为：y=-x2+2x+3北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件（顶点式）（顶点式）解：解：抛物线与抛物线与x轴相交两点轴相交两点(-1,0)和和(3,0)，(-1+3)/2=1 点点(1,4)为抛物线的顶点为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为：可设二次
12、函数解析式为：y=a(x-1)2+4 抛物线过点抛物线过点(-1,0)0=a(-1-1)2+4 得得 a=-1 函数的解析式为：函数的解析式为：y=-(x-1)2+4 北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件3 已知二次函数的图象在已知二次函数的图象在x轴上截得的线段长轴上截得的线段长是是4，且当，且当x1，函数有最小值，函数有最小值-4，求这个二，求这个二次函数的解析式次函数的解析式(-1,0)(3,0)X=1由题意由题意,得得:解解:设图象与设图象与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(,0),(
13、,0),4121221xxxx3121xx)1)(3(xxay设把把(1,-4)代入上式得代入上式得:-4=a(1-3)(1+1)解得解得:a=1 y=x2-2x-31x2x北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件四、用平移式求二次函数的解析式、四、用平移式求二次函数的解析式、1.将抛物线将抛物线 向左平移向左平移4个单位，再向个单位，再向下平移下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。个单位，求平移后所得抛物线的解析式。解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得：(1)、由 向左平移4个单位得
14、：（左加右减）（2）、再将 向下平移3个单位得 （上加下减）即：所求的解析式为北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件一、一、求二次函数的解析式的一般步骤：求二次函数的解析式的一般步骤：一设、二列、三解、四还原一设、二列、三解、四还原.二、二次函数常用的几种解析式的确定1、一般式、一般式已知抛物线上三点的坐标三点的坐标，通常选择一般式。通常选择一般式。北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件已知抛
15、物线上顶点坐标（对称轴或最值），顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。通常选择顶点式。已知抛物线与与x轴的交点坐标轴的交点坐标，选择交点式选择交点式。2、顶点式、顶点式3、交点式、交点式4、平移式 将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐顶点坐标标，可将原函数先化为顶点式顶点式，再根据“左加右减，左加右减，上加下减上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件l二次函数关系二次函数关系:y=ax2(a0)y=ax2+k (a0)y=a(x-h)2
16、+k(a0)y=ax 2+bx+c (a0)y=a(x-h)2 (a0)顶点式顶点式一般式一般式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)交点式交点式)0,)(0,212xxXcbxaxy轴交于两点（与条件：若抛物线北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件三、求二次函数解析式的思想方法 1、求二次函数解析式的常用方法：求二次函数解析式的常用方法：2、求二次函数解析式的、求二次函数解析式的 常用思想：常用思想：3、二次函数解析式的最终形式：、二次函数解析式的最终形式：待定系数法、配方法、数形结合等。转
17、化思想转化思想:解方程或方程组解方程或方程组 无论采用哪一种解析式求解，无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。最后结果最好化为一般式。北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件活学活用活学活用 加深理解加深理解1.某抛物线是将抛物线某抛物线是将抛物线y=ax2 向右平移一个单位长度，向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度再向上平移一个单位长度得到的，且抛物线过点（得到的，且抛物线过点（3,-3），求该抛物线表达式。），求该抛物线表达式。顶点坐标（顶点坐标（1 ，1）设）设 y=a
18、(x-1)2+1 2.已知二次函数的已知二次函数的对称轴是直线对称轴是直线x=1，图像上最低点，图像上最低点P的的纵坐标为纵坐标为-8，图像还过点图像还过点(-2,10)，求此函数的表达式。，求此函数的表达式。顶点坐标（顶点坐标（1，-8）设）设y=a(x-1)2-83.已知二次函数的图象与已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为轴两交点间的距离为4，且当，且当x=1时，函数有最小值时，函数有最小值-4，求此表达式。求此表达式。顶点坐标（顶点坐标（1 ，-4）设）设y=a(x-1)2-44.某抛物线与某抛物线与x轴两交点的横坐标为轴两交点的横坐标为2，6，且函数的最，且函数的最大值为大值为2，
19、求函数的表达式。求函数的表达式。顶点坐标（顶点坐标（4，2）设）设y=a(x-4)2+2北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件2、已知二次函数的图像过原点，当、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，时，y有最小值为有最小值为-1，求其解析式。，求其解析式。解：设二次函数的解析式为 x=1,y=-1,顶点（1，-1）。又（0，0）在抛物线上，a =1 即：北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件解
20、：设y=a(x1)2-31.已知抛物线的顶点为（1 1，3 3），与x轴交点为（0，5）求抛物线的解析式？yox(0,-5)-5=a-3 a=-2y=2(x1)2-3即：y=-2x24x5练习练习y=-2（x2 2x 1）-3北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件所以设所求的二次函数为所以设所求的二次函数为y=a(x1)(x1)3.已知抛物线与已知抛物线与X轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0）并经过点并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？又又 点点M(0,1)在抛
21、物线上在抛物线上 a(0+1)(0-1)=1解得：解得：a=-1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=-(x1)(x-1)即：即：y=x2+1解：因为抛物线与解：因为抛物线与x轴的交点为轴的交点为A(1，0)，B(1，0)，北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件 选择最优解法，求下列二次函数解析式选择最优解法，求下列二次函数解析式：1 1、已知抛物线的图象经过点、已知抛物线的图象经过点(1,4)(1,4)、(-1,-1)(-1,-1)、(2,-2)(2,-2)，设抛，设抛物线解析式
22、为物线解析式为_._.2 2、已知抛物线的顶点坐标、已知抛物线的顶点坐标(-2,3)(-2,3)，且经过点，且经过点(1,4),(1,4),设抛物设抛物线解析式为线解析式为_._.3 3、已知二次函数有最大值、已知二次函数有最大值6 6，且经过点，且经过点(2,3)(2,3)，(-4,5)(-4,5)，设抛，设抛物线解析式为物线解析式为_._.4 4、已知抛物线的对称轴是直线、已知抛物线的对称轴是直线x=-2x=-2，且经过点，且经过点(1,3)(1,3)，(5,6)(5,6)，设抛物线解析式为设抛物线解析式为_._.5 5、已知抛物线与、已知抛物线与x x轴交于点轴交于点A(A(1 1，0)
23、0)、B(1B(1，0)0)，且经过点，且经过点(2,-3),(2,-3),设抛物线解析式为设抛物线解析式为_._.做一做做一做北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件1 1、已知二次函数的最大值是已知二次函数的最大值是2 2，图象顶点，图象顶点在直线在直线y=x+1y=x+1上，并且图象经过点（上，并且图象经过点（3 3，-6 6），求二次函数的解析式），求二次函数的解析式.2 2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。求这条抛物线的解析
24、式。3 3、已知抛物线过已知抛物线过A A（2 2，0 0）、）、B B（1 1，0 0）、）、C C（0 0，2 2）三点。求这条抛物线的解析式。）三点。求这条抛物线的解析式。北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件4、根据下列条件，求二次函数的解析式。、根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；三点；(2)、图象的顶点、图象的顶点(2，3)，且经过点且经过点(3，1)；(3)、图象经过、图象经过(-1，0)，(3，0)，（，（0,3
25、）。）。北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件议一议议一议 通过上述问题的解决通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么用的一般方法是什么?（待定系数法）（待定系数法）你能否总结出上述解题的一般步骤你能否总结出上述解题的一般步骤?1.若无坐标系若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系首先应建立适当的直角坐标系;2.设抛物线的表达式设抛物线的表达式;3.写出相关点的坐标写出相关点的坐标;4.列方程列方程(或方程组或方程组);5.解方程或方程组解方
26、程或方程组,求待定系数求待定系数;6.写出函数的表达式写出函数的表达式;北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件1.善良、淳朴、真诚。三婶买了老宅并把钥匙交给了我们，体现了她的善良;三婶一直保存着自己老宅家的钥匙，写出了她的淳朴。三婶对母亲一直真诚相待，体现了她的真诚。2文章详细描写了林海音对台湾本土作家钟理和的着意栽培和慷慨相助，不仅能够表现传主的精神品质，而且有力证明了传主是台湾文学的一道阳光。3文章中引用了传主自己的一些语言，为作者的观点和看法提供有力的论据，增强了说服力，具有画龙点睛之效
27、，能够升华主题，增强作品语言感染力。4抽象的内容能加以阐发。所谓“抽象”，是与“具体”相对而言，抽象的也就是概括的。所谓“阐发”就是化抽象、概括为具体。阐发常见的有两种形式：一是举出实例，一是分析因果。5含蓄的内容能加以解说。语句的含蓄，一是作者为了表达的需要或某种目的，故意不直接表达想表达的内容，而把它隐含在字里行间；一是运用了象征、双关等修辞格，采用婉曲的手法来表达自己的思想、观点、看法。对此类材料，不仅要理解它字面的含意，而且要深入挖掘其所隐含的信息，即能用简洁明白的语言解说材料深层的内涵。6.对于那些认为现实走在小说家想象力前面的作家而言，困难在于如何把握生活的复杂结构和本质内容。7.
28、对艺术家而言，日新月异的变革时代，既意味着巨大挑战，也能激发创作热情，促使他们投身沸腾的生活。1.8.博物馆是一个城市的历史见证。在博物馆里，处处是珍品，步步是文化，那些流逝着历史智慧的文物，让人惊叹不已。2.9.家风是一个家族代代沿袭能够体现家族成员精神风貌、道德品质、审美格调的家族文化。美好家风的形成是漫长的，不可能一气呵成。3.10.劳动可以促进学生形成基本的生活生产劳动技能、初步的职业意识、创新创业意识和动手实践的能力。劳动技育婴在增长青少年的知识见识上下功夫，引导青少年在做中学，学中做，在社会劳动实践中增长见识，丰富学识、求真理、悟道理，明事理北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式(1)PPT优秀课件
