1、4.5函数应用函数应用(二二)4.5.3函数模型的应用必备知识必备知识探新知探新知关键能力关键能力攻重难攻重难课堂检测课堂检测固双基固双基素养作业素养作业提技能提技能必备知识必备知识探新知探新知指数函数与对数函数模型 基础知识知识点1指数函数模型ybaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a0且a1)解函数应用题的基本思路与步骤 1建立函数模型解决实际问题的基本思路知识点2 2建立函数模型解决实际问题的解题步骤 某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案
2、具体解题步骤为：第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定 第二步，求解数学模型利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答 第三步，转译成实际问题的解拟合函数模型问题 定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称
3、为函数拟合(或数据拟合)知识点3 1建立拟合函数模型的步骤(1)收集数据(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型(4)选择其中的几组数据求出函数模型(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步(6)用所得函数模型解释实际问题 2建立拟合函数模型的一般流程 根据建立拟合函数模型的步骤，我们用如图来表示建立拟合函数模型的一般流程 1某厂2008年的产值为a万元，预计产值每年以n%的速度递增，则该厂到2020年的产值(单位：万元)是()Aa(1n%)13
4、Ba(1n%)12 Ca(1n%)11Da(1n%)12 解析2008年的产值为a万元，2009年的产值为aan%a(1n%)，2010年的产值为a(1n%)a(1n%)n%a(1n%)2，2020年的产值为a(1n%)12.B 基础自测 2某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为yekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k_，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为_.2ln 2 1 024 3某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog2(x1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到_只 解析由题意，繁殖数量y(只)与时
5、间x(年)的关系为yalog2(x1)，这种动物第1年有100只，所以100alog2(11)，所以a100，所以y100log2(x1)，所以当x7时y100log2(71)1003300.300 4某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_(填序号)x 1.99345.18y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 解析画出散点图如图所示：由图可知上述散点大致在函数ylog2x上，故函数ylog2x可以近似地反映这些数据的规律关键能力关键能力攻重难攻重难题型一指数函数模型的应用2011年10月31日世
6、界人口达到70亿，假设世界人口年增长率为2.1，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：yy0ert预测什么时候世界人口会翻一番？分析解指数方程，要进行指对式互化题型探究 例 1 归纳提升指数型函数问题的类型及解法(1)指数型函数模型：ymax(a0且a1，m0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示(2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：依题意，找出或建立数学模型，依实际情况确立解析式中的参数，依题设数据解决数学问题，得出结论【对点练习】目前某县有100万人经过x年后为y万人如果年平均增长率是1.2%.请回答下列问题：(1)写出y
7、关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)解析(1)当x1时，y1001001.2%100(11.2%)当x2时，y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2；当x3时，y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3；故y关于x的函数解析式为y100(11.2%)x(xN*)题型二对数函数模型的应用例 2 (1)当x02，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min?(2)当x05，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量
8、为多少单位？(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？分析(1)将x0，x代入解析式求速度(2)利用候鸟休息的速度为0解题(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商 归纳提升对数型函数问题的类型及解法(1)对数型函数模型：ymlogaxc(m0，a0且a1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解(2)对数型函数应用题的解题思路：依题意，找出或建立数学模型，依实际情况确立解析式中的参数，依题设数据解决数学问题，得出结论 忽视实际问题对定义域的限制致误生产一定数量的商品的全部费用
9、称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y102x2x2(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？错解设该企业所能获取的最大利润为z万元，则 z20 x(102x2x2)，即z2x218x102(x4.5)230.5，故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元例 3 误区警示 错因分析题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是在x4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的 正解设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z20 x(102x2x2)(xN)，即z2x218x102(x4.5)230.5，故当x4或5时，z取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元 二分法的数学思想方法是将方程的根看作函数的零点，利用连续函数的性质，将求方程根的问题转化为计算函数值，逐步逼近零点，体现了函数与方程的思想，转化思想，数形结合思想及数学推理学科素养例 4
