1、第七章第七章 应力状态分析应力状态分析 强度理论强度理论第七章第七章 应力状态分析应力状态分析 强度理论强度理论 应力状态的概念应力状态的概念 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法 三向应力状态三向应力状态 广义胡克定律广义胡克定律 复杂复杂应力状态下的应变能密度应力状态下的应变能密度 强度理论概述强度理论概述 四种常见的强度理论及强度条件四种常见的强度理论及强度条件 目目录录低碳钢低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铸 铁铁71 应力状态的概念应力状态的概念脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什
2、么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁71 应力状态的概念应力状态的概念F laS1t tW WT Tz zz zW WM M3t tW WT Tz zz zW WM MzMzT4321yxM FlT Fa目录71 应力状态的概念应力状态的概念123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且该单元体称为该单元体称为主单元体。主单元体。321,321 71 应力状态的概念应力状态的概念123空间（空间（三向
3、）应力状态：三个主应力均不为零三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零71 应力状态的概念应力状态的概念x xy yx y yx xy 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 y a a xyd dA Axyx72 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAd
4、Ayyxxxy y a a xyd dA Axyx72 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx72 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法x xy yx y yx xya a使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。角：角：由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。y
5、 a a xyntxyxx72 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值确定正应力极值2cos22sin)(xyyxdd设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即02cos22sin)(00 xyyx2.正正应力极值和方向应力极值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2)(2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零72 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法yxxy 22tan0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定出两个相
6、互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。为最大正应力和最小正应力所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为：22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主应力按代数值排序：主应力按代数值排序：1 1 2 2 3 372 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法试求试求（1 1）斜面上的应力；斜面上的应力；（2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面；（3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。40 6030。30MPa60 xMPa,30 xy,MPa40
7、y已知已知72 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法解：解：（1 1）斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02.92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3.58y x xy 72 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3.682yxxyyx22)2(minMPa3.48MPa3.48,0MPa,3.68321y x xy 72 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法主平面的方位：主平面的
8、方位：yxxytg2206.0406060,5.1505.105905.150y x xy 代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向：15.150主应力主应力 方向：方向：3 5.105072 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法（3 3）主单元体：）主单元体：y x xy 5.151372 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2(这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析
9、图解法图解法xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2(2yx 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法1.1.应力圆的画法应力圆的画法D(x,xy)D/(y,yx)c xy 2RxyyxR22)2(y yx xyADx 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法oB1 BA1A2.2.应力圆上某一点的坐标值与单元体某一截面应力圆上某一点的坐标值与单元体某一截面上的正应力和切应力一一对应上的正应力和切应力一一对应D(x,xy)D/(y,yx)c xy 2 y yx xyxH 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法D(x,x
10、y)D/(y,yx)c xy 2oB1 BA A1 2),(aaH02 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法例题例题2：分别用解析法和图解法求图示单元体分别用解析法和图解法求图示单元体(1)指定斜截面上的正应力和剪应力指定斜截面上的正应力和剪应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上。主应力值及主方向，并画在单元体上。单位：MPaxyxxyxyxxyx 8040602222102222220MPa,MPa MPa,=30MPaMPacossinsincos.解：解：(一一)使用解析法求解使用解析法求解xyxxyxyxxyx 8040602222102222220MPa
11、,MPa MPa,=30MPaMPacossinsincos.7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法maxmintan.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,MPa123或min 65maxmintan.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,MPa123或maxmintan.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,MPa123或maxmintan.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,MPa1
12、23或max 1050225.7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法(二二)使用图解法求解使用图解法求解 作应力圆，从应力圆上可量出：作应力圆，从应力圆上可量出：102221056522585MPaMPaMPaMPaMPa0maxminmax.231三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 7-4 7-4 三向应力状态三向应力状态123123123 7-4 7-4 三向应力状态三向应力状态1.任意斜截面的应力任意斜截面的应力已知：斜截面法向的方向余弦为已知：斜截面法向的方向余弦为nmln,nn、应用截面法可以求出应用截面法可以求出 满足以下方程组满足以下方
13、程组)()2()2()()2()2()()2()2(231322212221123222132213312122322232nmlnnnnnn由三向应力圆可以看出：由三向应力圆可以看出：231max 结论：结论：代表单元体任意斜代表单元体任意斜截面上应力的点，截面上应力的点，必定在三个应力圆必定在三个应力圆圆周上或阴影内。圆周上或阴影内。323 12 1 7-4 7-4 三向应力状态三向应力状态1.1.基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE Exxy xyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 7-5 7-5 广义胡克定律
14、广义胡克定律2 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法23132111E1231E1E2E3 7-5 7-5 广义胡克定律广义胡克定律23132111E13221E21331E 7-5 7-5 广义胡克定律广义胡克定律)(1zyxxE Gxyxy 3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz 7-5 7-5 广义胡克定律广义胡克定律123单元体体积变化：4.abccbaVVabc1123111()()()abc()1123单位体积的体积改变为:VV
15、V 1也称为。体体积积应应变变12312312123E()3 123123()EmK式中：体积弹性模量KEm3 123123()12321能密度：单向应力状态下的应变332211212121能密度：三向应力状态下的应变 7-67-6 复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度332211212121122122232122331E ()7-67-6 复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度13mm2m1m2m3m应变能密度=体积改变能密度+畸变能密度m1233dvl由前面的讨论知由前面的讨论知mmmmmmmmv23212121由广义虎克定律由广义虎克定律mmmmmEEEE
16、21v3 1222()Em1261232E()(221133221232221Ev3 1222()Em1261232E()vd16122232312E()()()123mmm1m3m强度理论：强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。在一定范围与实际相符合，上升为理论。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的
17、关于材料破坏原因的假设及计算方法。的关于材料破坏原因的假设及计算方法。7-7 强度理论概述强度理论概述 材料之所以按某种方式破坏，是应力、应变或应材料之所以按某种方式破坏，是应力、应变或应变能密度等因素中某一因素引起的。即无论是简单或复变能密度等因素中某一因素引起的。即无论是简单或复杂应力状态，引起破坏的原因是相同的，与应力状态无杂应力状态，引起破坏的原因是相同的，与应力状态无关。关。构件由于强度不足将引发两种失效形式构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，
18、断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和最大畸变能密度理论最大切应力理论和最大畸变能密度理论(2)(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论7-7 强度理论概述强度理论
19、概述1.1.最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）最大拉应力是引起材料断裂的主要因素最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达只要最大拉应力达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。01 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力1 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得b 00 7-8 四种常见四种常见强度理论及强度条件强度理论及强度条件b1 断裂条件断裂条件 nb1强度条件强度条件1.1.最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（
20、第一强度理论）铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转7-8 四种常见四种常见强度理论及强度条件强度理论及强度条件2.2.最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论（第二强度理论）（第二强度理论）最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线只要最大伸长线应变达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性应变达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。断裂。01 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0 E/)(3211 Eb
21、/0 7-8 四种常见四种常见强度理论及强度条件强度理论及强度条件实验表明：实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。更接近实际情况。强度条件强度条件)(321nb2.2.最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论（第二强度理论）（第二强度理论）断裂条件断裂条件EEb)(1321b)(321即即7-8 四种常见四种常见强度理论及强度条件强度理论及强度条件 最大切应力是引起材料屈服的主要因素。最大切应力是引起材料屈服的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状
22、态即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大切应力只要最大切应力达到了简单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈达到了简单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈服。服。0max3.3.最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力max 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得0 2/0s 2/)(31max7-8 四种常见四种常见强度理论及强度条件强度理论及强度条件s31 屈服条件屈服条件 ss31n强度条件强度条件3.3.最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭转低碳钢扭转7
23、-8 四种常见四种常见强度理论及强度条件强度理论及强度条件实验表明：实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。)0(max局限性：局限性：2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%。23.3.最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）7-8 四种常见四种常见强度理论及强度条
24、件强度理论及强度条件 最大畸变能密度是引起材料屈服的主要因素。最大畸变能密度是引起材料屈服的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大畸变能密只要最大畸变能密度达到简单拉伸屈服时的极限值度达到简单拉伸屈服时的极限值,材料就会发生屈服。材料就会发生屈服。0ddvv4.4.最大畸变最大畸变能密度理论能密度理论（第四强度理论）（第四强度理论）213232221d)()()(61Ev 构件危险点的形状改变比能构件危险点的形状改变比能d20261sdEv 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得0d7-8 四种常见四种常见强度理论及强
25、度条件强度理论及强度条件屈服条件屈服条件22132322212)()()(s 强度条件强度条件 ss213232221)()()(21n4.4.最大畸变最大畸变能密度理论能密度理论（第四强度理论）（第四强度理论）实验表明：实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。7-8 四种常见四种常见强度理论及强度条件强度理论及强度条件11,r)(3212,r )()()(212132322214,r强度理论的统一表达式：强度理论的统一表达式：r相当应力相当应力313,r7-8 四种常见四种常见强度理论及强度条件强度理论及强度条件
