1、第四章第四章 弯曲内力弯曲内力目录1第四章第四章 弯曲内力弯曲内力v4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例v4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化v4-3 4-3 剪力和弯矩剪力和弯矩v4-4 4-4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图v4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系v4-6 4-6 平面曲杆的弯曲内力平面曲杆的弯曲内力目录24-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例起重机大梁起重机大梁目录3车削工件车削工件目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例4火车轮轴火车轮轴目录4-1 4-1 弯
2、曲的概念和实例弯曲的概念和实例5弯曲特点弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例6平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲:弯曲变形后的轴线为平面曲线弯曲变形后的轴线为平面曲线,且该且该 平面曲线仍与外力共面平面曲线仍与外力共面。目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例对称弯曲对称弯曲7常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例8梁的载荷与支座梁的载荷与支座集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端4-2 4-2
3、 受弯杆件的简化受弯杆件的简化目录9目录4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化10火车轮轴简化火车轮轴简化目录4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化11目录4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化12吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称简称均布载荷均布载荷目录4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化13非均匀分布载荷非均匀分布载荷目录4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化14简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁F FAxAxF FAyAyF FByByF FAxAxF FAyAyF FByByF FAxAxF FAyAyMMA A静定梁的基本形式静定梁
4、的基本形式目录4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化15FNFSM 0 xF0N F 0yF1ASFFFy 0cM)(1axFxFMAy F FS S剪力剪力，平行于，平行于横截面的内力合力横截面的内力合力 MM 弯矩弯矩，垂直于，垂直于横截面的内力系的横截面的内力系的合力偶矩合力偶矩FByFNFSM4-3 剪力和弯矩目录FAy16FAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力对所选梁截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为段上任意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为为负。负。+_ _ 截面上的弯矩截面上的弯矩使得梁呈使得梁呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负
5、。为负。4-3 剪力和弯矩 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负目录+_17解：解：1 1.确定支反力确定支反力FAyFBy 0yFFFFByAy2 0AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2 2.用截面法研究内力用截面法研究内力FAyFSEME 0yF352FFFSE0OM233522aFMaFE3FFSE23FaME目录例题例题4-4-1 1FAy4-3 剪力和弯矩18FByFByFAyFSEMEO3FFBy35FFAy分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO 0yF0BySEFF3FFFBySE 0oMFaaFMByE2323
6、FaME目录4-3 剪力和弯矩19FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。目录FAyFSE35FFSE2FFSEF23F4-3 剪力和弯矩20FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的弯矩等于截面截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的任一侧外力对截面形心力矩的代数和。代数和。目录MEFAy2335aFME22aF Fa232FME4-3 剪力和弯矩21 8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。画出剪力图和弯矩图。解：解：任选一
7、截面任选一截面x x，写出，写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出剪力图和弯矩图依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxql2/2qll由剪力图、弯矩图可见。最由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为qlFSmax2/2maxqlM目录例题例题4-4-2 2qx xM xFS4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图22 BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMF
8、FAyAyFb/l FFb/l FByByFa/lFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1AC axlFbxFS110/axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/lxalxlFaxM222/3.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab目录例题例题4-4-3 34-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图23 BAl图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BA
9、MMF FAyAyM/l FM/l FByBy -M/l-M/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxFS110/axlMxxM1110/CBbxlMxFS220/bxlMxxM2220/3.3.依方程画出依方程画出剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。lM/lMb/CMab目录例题例题4-4-4 44-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图24 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMF FAy
10、Ay F FByBy qlql/2/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/lxqxqlxxM02/2/23.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 目录例题例题4-4-5 54-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图25Bql22qlyq 已知平面刚架上的均布载荷集度已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度长度l。试：画出刚架的内力图。试：画出刚架的内力图。例题例题4-4-6 6解：解：1 1、确定约束力、确定约束力2 2、写出各段的内力方程、写出各段的内力方程竖杆竖杆ABAB：A A点向上为点向上为y
11、y lyqyqlyFqlqyyFFSSx000 lyqlyFqlyFFNNy02/02/0 lyqyqlyyMqlyyqyyMyM02/02/02Bql22ql22qlyFN(y)FS(y)M(y)平面刚架的内力平面刚架的内力目录26横杆横杆CBCB：C C点向左为点向左为x x lxqlxFqlxFFSSy02/02/0 lxxFFNx000 lxqlxxMqlxxMxM02/02/0Bql22ql22qlyB22q lFN(x)M(x)xFS(x)x平面刚架的内力平面刚架的内力目录27竖杆竖杆ABAB：qyqlyFS 2/qlyFN 2/2qyqlyyMBql22ql22qly根据各段的内
12、力方程画内力图根据各段的内力方程画内力图横杆横杆CBCB：2/qlxFS 0 xFN 2/qlxxMMFNFSql22ql2ql2ql2ql2ql平面刚架的内力平面刚架的内力目录284-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds目录29载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.1.q q0 0，F Fs s=常数，常数，剪力图为水平直线；剪力图为水平直线；MM(x)(x)为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函
13、数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s(x x)为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线；MM(x)(x)为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形；分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 l/h 5 5 （细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲近似成立。横力弯曲横力弯曲57横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式ZIMymaxmaxmaxmaxZZMyMIW横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力目
14、录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲横截面惯性积横截面惯性积 I IYZ YZ=0=0弹性变形阶段弹性变形阶段公式适用范围公式适用范围58弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 ZWmaxmaxmaxmaxzMyMI1.1.等截面梁弯矩最大的截面上等截面梁弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑ttmax,ccmax,3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与MzI目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力
15、59BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.1.C C 截面上截面上K K点正应力点正应力2.2.C C 截面上最大正应力截面上最大正应力3.3.全梁上最大正应力全梁上最大正应力4.4.已知已知E E=200GPa=200GPa，C C 截面的曲率半径截面的曲率半径 FSx90kN90kNmkN605.0160190CM1.1.求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832.51218.012.012bhIMPa7.61Pa107.6110832.510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：
16、解：例题5-1目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力60BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN2.2.C C 截面最大正应力截面最大正应力C C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC C 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832.5IMPa55.92Pa1055.9210832.510218010606533ZmaxmaxIyMCC目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力61BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN3.3.
17、全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5.67maxM截面惯性矩截面惯性矩45m10832.5zIMPa17.104Pa1017.10410832.5102180105.676533ZmaxmaxmaxIyM目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力62BAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN4.4.C C 截面曲率半径截面曲率半径 C C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC C 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832.5Im4.194106010832.510200359CZCMEIEIM1目录5
18、-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力63 zIyMmaxmaxmax分析（分析（1 1）（2 2）弯矩）弯矩 最大的截面最大的截面M（3 3）抗弯截面系数）抗弯截面系数 最最 小的截面小的截面zW 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知,kN5.62,m16.0,m267.0,1302Fbammd材料的许用应力材料的许用应力.MPa60mm1601d zWMmaxmax例题5-2目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力64（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）强度校核）强度校核B B截面：
19、截面：MPa5.41Pa105.4116.0322675.62326331maxdFaWMzBBMPa4.46Pa104.4613.0321605.62326332maxdFbWMzCCC C截面：截面：（5 5）结论）结论 轴满足强度要求轴满足强度要求（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图F Fa aF Fb b解：解：目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力65分析分析（1 1）确定危险截面）确定危险截面（3 3）计算）计算maxM（4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号zW 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重某车间欲安装
20、简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重材料的许用应力材料的许用应力MPa,140kN,7.61F,kN502F起重量起重量跨度跨度m,5.9l试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。zWMmaxmax（2 2）例题5-3目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力66（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（5 5）讨论）讨论（3 3）根据）根据 zWMmaxmax计算计算 33663maxcm962m109621014045.910)507.6(MWz （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：36c36c工字钢工字钢3cm962zWkg/m6.67q目录
21、5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力67作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面 ccttmax,max,要同时满足要同时满足分析：分析：非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。MPa,60,MPa30ct例题5-4目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力68mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩462323m1064.72812020121202042
22、2080122080zI （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力69（4 4）B B截面校核截面校核 ttMPa2.27Pa102.271064.710521046633max,ccMPa1.46Pa101.461064.710881046633max,（3 3）作弯矩图）作弯矩图目录kN.m5.2kN.m45-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力70（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ttMPa8.28Pa108.281064.71088105.26633max,（4 4）B B截面校核截面校核（3
23、 3）作弯矩图）作弯矩图 ttMPa2.27max,ccMPa1.46max,目录kN.m5.2kN.m45-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力梁满足强度要求梁满足强度要求715-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录xdxxyPmq(x)ABmnm1n1分几种截面形状讨论弯曲切应力分几种截面形状讨论弯曲切应力一、矩形截面梁一、矩形截面梁(/)sF1 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力、横截面上各点的切应力方向平行于剪力2 2、切应力沿截面宽度均匀分布、切应力沿截面宽度均匀分布关于切应力的分布作两点假设：关于切应力的分布作两点假设：Fsbhymnm1n1Op1q1pdxxyz7
24、25-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录dxm1n1nmMM+dMypp1m1n1mndxpp1q1qydAFN1FN2zyy1AyIMAyIMANpnAzzAAddd:111111AyIMMNnpAzdd:12111xbQppdd:1讨论部分梁的平衡讨论部分梁的平衡735-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力0dddd ,01111xbAyIMAyIMMXAzAzAybIxMAzd)1(dd11m1n1mndxpp1q1qydAFN1FN2zyy1*szzF SI bd,dsMFx,d*11zASAy74AFS23 5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录75横力弯曲截面发生翘曲横力弯曲截面发
25、生翘曲切应变切应变22()24szFhyGI GPP5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力 若各截面若各截面 Fs Fs 相等，则翘曲程度相同，纵向纤维长度不变，对相等，则翘曲程度相同，纵向纤维长度不变，对 计算计算无影响。无影响。若各截面若各截面FsFs不等（如有不等（如有q q作用），则翘曲程度不同，各纵向纤维长度发作用），则翘曲程度不同，各纵向纤维长度发生变化，对生变化，对 计算有影响。但这种影响对计算有影响。但这种影响对 梁常可忽略。梁常可忽略。hl765-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力二、圆形截面梁二、圆形截面梁Fsmax243sFR775-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录00s
26、Fb hFs三、工字型截面梁三、工字型截面梁Bb0hh0zyy78实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较对于直径为对于直径为 d d 的圆截面的圆截面maxmax =6(l/d)5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录（l l 为梁的跨度）为梁的跨度）79实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较对于宽为对于宽为b b、高为高为h h的矩形截面的矩形截面maxmax =4(l/h)5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录（l l 为梁的跨度）为梁的跨度）80l 梁的跨度较短（梁的跨度较短（l/h l/h 5 5）；）；l 在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；
27、在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；l 铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、胶合面或铆钉等）胶合面或铆钉等）qBACDElPPa5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力有些情况必须考虑弯曲切应力有些情况必须考虑弯曲切应力81 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为为1 1mm。胶合面的许可切应力为胶合面的许可切应力为0.340.34MPaMPa，木材的木材的=10 MPa=10 MPa，=1MPa=1MPa，求许可载荷。求许可载荷。21maxmax6bhlFWMz1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.
28、2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 SF FM Fl 3.75kNN375061015010010692721 lbhF bhFAFS2/32/32max3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl100505050z解：解：例题5-5目录5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力82 gZZSbhFbbhhbFbISF 341233323*g4.4.按胶合面强度条件计算许可按胶合面强度条件计算许可载荷载荷 3.825kNN382541034.010150100343663 gbh
29、F 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 3.75kNkN825.3kN10kN75.3minmin iFFFl100505050M FlzSF F目录5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力835-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施ZmaxmaxWM目录1.1.降低降低 MMmaxmax 合理安排支座合理安排支座合理布置载荷合理布置载荷84合理布置支座合理布置支座目录FFF5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施85合理布置支座合理布置支座目录5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施86目录合理布置载荷合理布置载荷F5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲
30、强度的措施87ZmaxmaxWM2.2.增大增大 WWZ Z 合理设计截面合理设计截面合理放置截面合理放置截面目录5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施88目录合理设计截面合理设计截面5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施89目录合理设计截面合理设计截面5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施222()66Zbhb dbW222()bhd2hb221(3)06ZdWdbdb令令22222,33ddbh9062bhWZ左62hbWZ右目录合理放置截面合理放置截面5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施913 3、等强度梁、等强度梁 目录5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施92目录5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施93小结小结1 1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法导方法2 2、熟练掌握弯曲正应力的计算、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用弯曲正应力强度条件及其应用3 3、了解提高梁强度的主要措施、了解提高梁强度的主要措施目录94
