1、国际数学家大会的会徽国际数学家大会的会徽这个图形里这个图形里 到到底蕴涵了什么样博底蕴涵了什么样博大精深的知识呢？大精深的知识呢？它标志着我国古它标志着我国古代数学的成就！代数学的成就！B BA AC C4 44 48 8S SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲1.1.观察图甲，小方格观察图甲，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？实践出真知实践出真知探究活动一探究活动一A AB B图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.正方
2、形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC C正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲C CA AB B图乙图乙2.2.观察图乙，小方格的边长为观察图乙，小方格的边长为1.1.9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC C4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲a ab bc ca ab bc cC C3.3.猜想猜想a a、b b、c c 之
3、间的关系？之间的关系？a2+b2=c2勾股定理勾股定理(毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理)如果如果直角三角形直角三角形两直角边分别为两直角边分别为a a，b b，斜边为，斜边为c c，那么，那么 即直角三角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方.acacbbBCA前提条件前提条件几何语言：几何语言：在在RtRtA ACBCB中，中，C=90C=90 a a2 2+b b2 2 =c c2 2 a2+b2=c2 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 勾勾，下半部分称，下半部分称为为 股股。我国古代学者把
4、直角三角形较短的直角边称为。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾勾”，较长的直，较长的直角边称为角边称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”.勾股 我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形的直角三角形如下拼成一个中空的正方形.赵爽弦图赵爽弦图cba 黄黄 实实朱实朱实赵爽赵爽探究活动二：拼图求证拼图求证温馨提示：温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用上述这种验证勾股定理的方法是用面积法面积法 “赵爽弦图赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数
5、学的骄傲。因为，这个图案被选为数学的骄傲。因为，这个图案被选为20022002年在北京召开的国际数学大会的会徽年在北京召开的国际数学大会的会徽.a ab bc cS大正方形大正方形c2S小正方形小正方形（b-a）S大正方形大正方形4S三角形三角形S小正方形小正方形赵爽弦图赵爽弦图证明：证明：b-ab-a赵爽弦图证明赵爽弦图证明走进走进数学史数学史cb a赵爽赵爽三国时期吴国的数学家。三国时期吴国的数学家。“弦图证明弦图证明”是他在为周髀算经作注时给出的。是他在为周髀算经作注时给出的。这个证明比毕达哥拉斯关于勾股定理这个证明比毕达哥拉斯关于勾股定理的证明还要的证明还要早早。赵爽用几何图形的截、赵
6、爽用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，简明扼要且别具匠心，其中体关系，简明扼要且别具匠心，其中体现出来的现出来的“形数统一形数统一”的思想方法，的思想方法，更具有科学创新的重大意义更具有科学创新的重大意义。应用勾股定理应用勾股定理abc确定斜边c？acb确定斜边b？bca确定斜边a？勾股定理：勾股定理：反映了反映了直角三角形直角三角形三边三边之间的数量关之间的数量关系系，是直角三角形的重要性质之一，是直角三角形的重要性质之一.abc灵活运用灵活运用公式的几种变形：公式的几种变形：应用勾股定理应用勾股定理1.1.下列说法中下列说法中,正确的是正确
7、的是 （）A.A.已知已知a,b,ca,b,c是三角形的三边，则是三角形的三边，则a a2 2+b b2 2=c c2 2B.B.在直角三角形中两边平方的和等于第三边的平方在直角三角形中两边平方的和等于第三边的平方C.C.在在RtRtABCABC中，中，C C=90=90,所以所以a a2 2+b b2 2=c c2 2D.D.在在RtRtABCABC中，中，B B=90=90,所以所以a a2 2+b b2 2=c c2 2C C概念辨析概念辨析:例例1 1 如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，=90=90.(1)(1)已知：已知：a=6a=6，=8=8，求，求c c；(2)(2)已
8、知：已知：c=13c=13，b=5b=5，求，求a a；解解(1(1）在在RtRtACBACB中，中，=90=90，a=6a=6，=8=8，10862222bac如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为斜边长为c c,那么那么a2+b2=c2.类型一：直接利用勾股定理求长度类型一：直接利用勾股定理求长度应用例析应用例析a ab bc cCAB基础巩固基础巩固:171.在在ABC中，中，C=90.（1）若）若a=15，b=8，则，则c=.（2）若）若c=13，b=12，则，则a=.52.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为图中阴影部分是一个正方形，
9、则此正方形的面积为 .8 cm10 cm36 cm【变式题1】在在RtABC中，中，AB4，AC3，求，求BC的长的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：解：本题斜边不确定，需分类讨论：当当AB为斜边时，如图为斜边时，如图，当当BC为斜边时，如图为斜边时，如图，43ACB43CAB22437;B C 22435.B C 图图 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.归纳类型二：分类讨论思想在勾股定理中的应用：（1）若）若a：b=1：2，c=5,求求a;【变式题【变式题2】在在RtABC中，中，C=90
10、.解：解：(1)a：b=1：2 设设a=x(x0),则则b=2x x2+(2x)2=52解得解得1255xx，舍 去5.a 在在RtACB中，中，C=90 a2+b2=c2能力提升能力提升:a ab bc cC CAB 【变式题【变式题2】在在RtABC中，中，C=90.（2）若）若b=15，A=30,求求 a,c.9030,15RtACBCAb解：在中，2ca设设a=x(x0),则则c=2x 152=(2x)2-x2b2=c2-a253103.ac，归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方
11、程求解运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.125353xx 解 得，（舍 去）a ab bc cC CAB欣赏欣赏勾股树勾股树如图是一株美丽的勾股树，其中所有如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是的边长分别是3,5,2,3，则最大正方形，则最大正方形E的面积是的面积是 ()A.13 B.26 C.47 D.94C类型四：利用勾股定理求面积类型四：利用勾股定理求面积12分析：S1=SA+SB=32+52=34S2=SC+SD=22+32=13S2=S1+S
12、2=47是不是所有的三角形三边关系都满足勾股定理？是不是所有的三角形三边关系都满足勾股定理？在发现勾股定理的过程中，我们用了什么方法？在发现勾股定理的过程中，我们用了什么方法？据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400400多种，今天我们用了什么方法？多种，今天我们用了什么方法？4.4.运用勾股定理应注意哪些事项？运用勾股定理应注意哪些事项？不是不是由特殊到一般由特殊到一般面积法面积法（1 1）前提条件是在直角三角形中；）前提条件是在直角三角形中；（2 2）弄清哪个角是直角；）弄清哪个角是直角；（3 3）已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨
13、论；）已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论；课堂小结课堂小结作业：作业：1 1、同步学习同步学习第第40-4140-41页第一课时页第一课时 2 2、收集勾股定理的证明方法、收集勾股定理的证明方法.例2 已知ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4.求CD的长.CDAB ACBC=ABCD 34=5CD CD=答：CD的长为ADBC3412121 25由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用归纳903,4RtACBACBACBCQ 在中，解：2222345ABACBC1 25类型三：利用勾股定理求三角形的相关元素类型三：利用勾
14、股定理求三角形的相关元素BCDA1、蚂蚁沿图中、蚂蚁沿图中的折线从的折线从A点爬点爬到到D点，一共爬点，一共爬了了 厘米？厘米？（小方格的边长（小方格的边长为为1厘米）厘米）GFE能力提升能力提升:28 【方法点拨】【方法点拨】构造直角三角构造直角三角形求解形求解变式：变式：如图如图,折叠长方形的一边，使点折叠长方形的一边，使点D落在落在BC边上的点边上的点F处，处，若若AB=8，AD=10.则则EC的长为的长为 .3 AEFDCB【方法点拨】【方法点拨】在直角三角形中在直角三角形中利利用勾股定理来建立方程求解用勾股定理来建立方程求解.分析：设EC长为 x,则EF=DE=DC-EC=8-xAF
15、=AD=10BF=CF=BC-BF=10-6=4 在RtECF中,EF2=EC2+CF2(8-x)2=x2+42x=3 22221086A FA B类型五：利用勾股定理解决折叠中的有关计算类型五：利用勾股定理解决折叠中的有关计算 1、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的来的2倍，那么斜边扩大到原来的倍，那么斜边扩大到原来的 ()A.1倍倍 B.2倍倍 C.3倍倍 D.4倍倍B拓展训练拓展训练:2.若直角三角形中，有两边长是6和8，则第三边长的平方为_.28或1001.如图，在ABC中，ADBC，B=45，C=30，AD=1，求ABC的周长解：ADBCADB=ADC=90在RtADB中,B=45,ADB=90,AD=1AD=BD=1AB=在RtADC中,C=30,ADB=90AC=2AD=21=2CD=BC=BD+CD=1+CABC=AB+AC+BC=22133能力提升能力提升:22112A DB D222213A CA D323
