1、史话史话勾股定理勾股定理 勾股定理是一个基本的几何定理，它在许多勾股定理是一个基本的几何定理，它在许多领域都有着广泛的应用，国内外都有很多科学领域都有着广泛的应用，国内外都有很多科学家、知名人士对此都有过研究，至今已有家、知名人士对此都有过研究，至今已有500多种证明方法。多种证明方法。国内：国内：公元十一世纪周朝数学家就提出公元十一世纪周朝数学家就提出“勾三勾三股四弦五股四弦五”，在，在周髀算经周髀算经中有所记载。中有所记载。公元公元3世纪三国时代的赵爽对世纪三国时代的赵爽对周髀算经周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，创制了一幅内的勾股定理作出了详细注释，创制了一幅“勾股圆方图勾股圆方图”，
2、把勾股定理叙述成：勾股各，把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。自乘，并之为弦实，开方除之即弦。国外：国外：公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)证明了勾股定理，因而西方人都证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。公元前公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在巨著世纪，希腊数学家欧几里得在巨著几何原本几何原本（第（第卷，命题卷，命题47）中给出一个）中给出一个很好的证明。很好的证明。1876年年4月月1日，加菲乐德在日，加菲乐德在新英格兰教育新英格兰教育日志日志上发表了他对
3、勾股定理的一个证法上发表了他对勾股定理的一个证法。在行距、列距都是在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，并以并以S1，S2 与与S3分别表示几个正方形的面积分别表示几个正方形的面积探究：探究：abc观察图观察图(1)，并填写：，并填写：S1个单位面积；个单位面积；S2个单位面积；个单位面积；S3个单位面积个单位面积观察图观察图(2)，并填写：，并填写：S1个单位面积；个单位面积；S2个单位面积；个单位面积
4、；S3 个单位面积个单位面积图图(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，是：系，用它们的边长表示，是：918991625a2+b2=c2abc新知导入新知导入定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.由上面的例子，我们猜想：abc勾股定理勾股定理结论：结论：直角三角形两条直角边的平方和等于斜直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方边的平方.说一说：说一说：我国古代把直角三角形我国古代把直角三角形中较短的直角边称为中较短的直角边称为勾勾，较长的，较长的直角
5、边称为直角边称为股股，斜边称为，斜边称为弦弦，因，因此，我们称上述定理为此，我们称上述定理为勾股定理勾股定理国外称之为毕达哥拉斯定理国外称之为毕达哥拉斯定理（Pythagoras theorem）如果直角三角形的两直角边用如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用表示，斜边用C表示，那么勾股定理可表示为：表示，那么勾股定理可表示为：a2+b2c2下面动图形象的说明的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.新知导入新知导入证明：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.abc用面积的计算来证明勾股定理用面积的计算来证明勾股定理想一想：想一想：我
6、们怎样用面积计算的方法来证我们怎样用面积计算的方法来证明勾股定理呢？明勾股定理呢？已知：如图，在已知：如图，在RtABC中，中，C90，ABc，BCa，ACb，求证：求证：a2+b2c2.ccccabababababcACBA1B1C1D1EFGH证明：由拼图可知：大正方形的边长为证明：由拼图可知：大正方形的边长为(a+b),小正方形的边长为小正方形的边长为c，大大正方形正方形EFGH的面积减去的面积减去4个个ABC的面的面积等于积等于中间的小中间的小正方形正方形A1B1C1D1的面积的面积.1114EFGHABCA B C DSSS 正正方方形形正正方方形形221 42a babc（+）+）
7、化简，得：化简，得：a2+b2c2aabbcc1()(),2Sabab梯形证明：2111,222Sababc梯形a2+b2=c2.证法2：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.u公式变形：222222-,acbbcacab,u勾股定理abc归纳总结 例1 如图，在RtABC中，C=90.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)据勾股定理得222255505
8、2.cab(2)据勾股定理得2222213.bca 利用勾股定理进行计算二CAB完成课本练习11.求下列图中字母所表示的正方形的面积求下列图中字母所表示的正方形的面积.练一练练一练225400A22581B6251442.在在ABC中，中，C90，ABc，BCa，ACb.（1）a6，b8，求，求c；（2）a8，c17，求，求b.解解：（：（1）在在RtABC中，中，C90，2222 6810010.cab a2+b2c2，（2）在在RtABC中，中，C90，2222 b17822515.ca a2+b2c2，在用勾股定理时，需要知道直角三角形在用勾股定理时，需要知道直角三角形中的中的两条边长两
9、条边长，才能求，才能求出第三边长出第三边长.想一想：想一想：3.ABC中，中，AB=10，AC=17，BC边上的高线边上的高线AD=8，求线段，求线段BC的长的长解：本题分两种情况讨论：解：本题分两种情况讨论：（1）如图）如图1，当，当AD在在ABC内时，内时，在在RtABD中，中，1017ABCD图图18BD2+AD2AB2226BDABAD在在RtADC中，中，DC2+AD2AC22215DCACADBC=BD+DC6+1521；（2）如图）如图2，当，当AD在在ABC外外时时，由（由（1）知：）知：BD6，DC15，BC=BDDC1569，综合上述，综合上述，BC的长为的长为9或或21.ABC8D1710图图2(2)勾股定理及证明方法；勾股定理及证明方法；小结与反思小结与反思(1)勾股定理的由来勾股定理的由来；1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟谈谈你的感悟.(3)勾股定理的简单应用勾股定理的简单应用.布置作业布置作业课本第课本第57页：习题页：习题18.1第第13题题.
