1、2022-11-30 不等式是中学数学的重要内容，它渗透到了中不等式是中学数学的重要内容，它渗透到了中学数学课本的很多章节，在实际问题中被广泛应用，学数学课本的很多章节，在实际问题中被广泛应用，可以说是解决其它数学问题的一种有利工具可以说是解决其它数学问题的一种有利工具 不不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想讨论等数学思想 通过对近几年的考题分析，以小巧而灵活多变通过对近几年的考题分析，以小巧而灵活多变的选择题及综合题的面貌出现的选择题及综合题的面貌出现.一般是一道小题为选一般是一道小题为选择或填空，难度属中等，小题主要考查不
2、等式的性择或填空，难度属中等，小题主要考查不等式的性质、各种不等式的解法、不等式解法的简单应用质、各种不等式的解法、不等式解法的简单应用（一般与函数的性质进行综合）大题一般难度很（一般与函数的性质进行综合）大题一般难度很高解答题则出现不等式的证明、含参不等式或方高解答题则出现不等式的证明、含参不等式或方程解情况的讨论等一些问题，这些问题往往与函数、程解情况的讨论等一些问题，这些问题往往与函数、数列、解析几何以及实际应用问题进行综合数列、解析几何以及实际应用问题进行综合1实数的大小顺序与运算性质之间的关系：实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0baba0baba0baba 判断两个实数判断两个实
3、数a a与与b b的大小，归结为判断它的大小，归结为判断它们的差们的差a-b a-b 的符号，从而归结为实数运算的的符号，从而归结为实数运算的符号法则，分三步进行：符号法则，分三步进行：作差；变形；定号作差；变形；定号.如果如果,ab那么那么;ba如果如果,ba那么那么ab 如果如果,abbcac且那么 如果如果ba，那么那么 cbca ;,0,bcaccba那么且如果;,0,bcaccba那么且如果 乘法法则乘法法则0,0.a bc dac bd 且 乘方法则乘方法则0,(,1)nnabab nNN且)1,(,0NNnbabann且那么如果2不等式的性质不等式的性质不等式的性质是解、证不等式
4、的不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。行条件的放宽和加强。例例1（2009安徽卷）安徽卷）“a+cb+d”是是“ab且且cd”的的 A.必要不充分条件必要不充分条件 B.充分不必要条件充分不必要条件 C.充分必要条件充分必要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件2不等式的性质不等式的性质条件：条件：“a+cb+d”结论：结论：“ab且且cd”9+13+693且且16A 2不等式的性质不等式的性质例例2（2
5、009四川卷）已知四川卷）已知a、b、c、d为实数，为实数，cd,则则“ab”是是“acbd”的的 A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.必要而不充分条件必要而不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件前提条件：前提条件：a、b、c、d为实数，为实数，cd,命题条件：命题条件：“ab”命题结论：命题结论：“acbd”cdcd,B2不等式的性质不等式的性质例例3（2007上海卷）已知上海卷）已知a,b为非零实数，且为非零实数，且ab，则，则下列命题成立的是下列命题成立的是22.Aab22.B aba b2211.Caba b.baDab ab22.Aaba
6、b.Bbbaaab22221.1Caabba baba0或或ax2+bx+c0)说明：如果二次项系数小于零，两边乘以说明：如果二次项系数小于零，两边乘以-1-1，并，并把不等号改变方向即可把不等号改变方向即可.xyox1x2解一元二次不等式的步骤：解一元二次不等式的步骤：把二次项系数化为正数；把二次项系数化为正数；解对应的一元二次方程；解对应的一元二次方程；根据方程的根，结合不等号方向及二次函数根据方程的根，结合不等号方向及二次函数图象；图象；得出不等式的解集得出不等式的解集4.解一元二次不等式解一元二次不等式例例4(2009北京卷北京卷)设集合设集合 则则 21|2,12AxxBx xAB
7、1|12xx12xx|2x x|12xxA.D.C.B.1|2,2Axx21|11Bx xxx 12ABxx A4.解一元二次不等式解一元二次不等式例例5（2009江西卷）函数江西卷）函数的定义域为的定义域为 xxxy432 14，)04，10(，)04，10(，A B C D20340 xxx40 x 01x或或 234041xxx D4.解一元二次不等式解一元二次不等式例例6（2009陕西卷）设不等式陕西卷）设不等式 的解集为的解集为M，函数函数 的定义域为的定义域为N，则，则 为为 20 xx()ln(1|)f xxMNA.0，1）B.（0，1）C.0，1 D.（-1，0 20 xx01
8、xM=()ln(1|)f xxN=11x MN=0，1）0-114.解一元二次不等式解一元二次不等式例例7（2009四川卷）设集合四川卷）设集合2|5,|4210,Sx xTx xx则则ST.|75A xx .|35B xx.|53C xx.|75D xx(5,5),S C 555xx 2421073xxx T(7,3)(5,3)ST 3-55-75.含绝对值的不等式含绝对值的不等式|()|()()()()()f xg xf xg xf xg x 或或|()|()()()()f xg xg xf xg x 解含有（或多个）绝对值符号不等式的方法之一解含有（或多个）绝对值符号不等式的方法之一:分
9、段讨论（分段讨论（零点分段法：零点分段法：分别令每个绝对值符号内的分别令每个绝对值符号内的项为零，得到的项为零，得到的x值就叫做值就叫做“零点零点”）,将各段的解集将各段的解集并起来作为最后结果并起来作为最后结果.例例8(2009山东卷山东卷)不等式不等式的解集为的解集为_ 0212xx5.含绝对值的不等式含绝对值的不等式221(2)0 xxx 0212xx20.512221(2)0 xxx 12(21)(2)0 xxx或或或或无解无解 21xx 122330 xx 1210 xx 112x112x -11|11xx 例例9（2009全国全国1）不等式）不等式 的解集为的解集为 5.含绝对值的
10、不等式含绝对值的不等式111 xx011xxx x01xx 10 xx0 x x A.B.C.D.0040)1()1(|1|1|11122 xxxxxxxxD.例例10（2009广东卷）不等式广东卷）不等式 的实数解为的实数解为 5.含绝对值的不等式含绝对值的不等式112xx112xx5.含绝对值的不等式含绝对值的不等式例例11（2009辽宁卷）已知偶函数辽宁卷）已知偶函数f(x)在区间在区间0,+)单调单调增加，则满足增加，则满足f(2x-1)1时时,(2)当当0a0标准式，若系数含参数标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正时，须判断或讨论系数的符号，化负为正;判断或比较根
11、的大小判断或比较根的大小.8.零点分段法零点分段法 例例16（2009全国全国2）设集合设集合 1|3,|04xAx xBxx则则 =AB1|0|(1)(4)0|144xBxxxxxxx14+-(3,4)AB3B 8.零点分段法零点分段法 例例17(2009湖北卷湖北卷)已知关于已知关于x的不等式的不等式 0的解集是的解集是 11axx1(,1)(,)2.则则a_ 根据零点分段法，不等式解集的根据零点分段法，不等式解集的端点是零点，显然端点是零点，显然-1是分母的零点，是分母的零点，这样只有这样只有 1()102a 2a-28.零点分段法零点分段法 例例18（2007全国全国2）不等式）不等式
12、:0的解集为的解集为 412xxA.(-2,1)B.(2,+)C.(-2,1)(2,+)D.(-,-2)(1,+)2104xx10(2)(2)xxx2-21+-原不等式的解集为原不等式的解集为(-2,1)(2,+).C 22()221a,b,2ababababa+Rb调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数()的大小则关系：均方根(2)极值定理的应用条件极值定理的应用条件:一正二定三相等一正二定三相等极值定理的应用规则极值定理的应用规则:和定积最和定积最大大,积定和最积定和最小小.正：正：条件（或目标）式中条件（或目标）式中项必须都是正数；项必须都是正数；定：定：目标式中含变数的各项的和
13、或积必须是定值（常数）；目标式中含变数的各项的和或积必须是定值（常数）；等等：等号成立的条件必须存在等号成立的条件必须存在.12ab11a+b+ab2调和平均数：9最值定理最值定理 9最值定理最值定理 例例19（2009湖南卷文若湖南卷文若x0，则，则 的最小值为的最小值为_ 2xx0 x 22 2xx2 29最值定理最值定理 例例20（2009天津卷天津卷)设设,1,1,x yR ab3,2 3,xyaba b 若11xy则的最大值为的最大值为 3log 3,log 3xyababxy1111log 3log 3abxy233loglog()12abab33loglogabC 作差比较法的步
14、骤：作差比较法的步骤：作差作差变形（化简）变形（化简）定号（定号（差值差值 的符号的符号）作商比较法的步骤：作商比较法的步骤：作商作商变形（化简）变形（化简）判断判断 （商值与实数商值与实数1的大小关系的大小关系）得出结论得出结论1.比较法比较法10.不等式的证明不等式的证明 依据题设的条件与常见的基本不等式，以及不依据题设的条件与常见的基本不等式，以及不等式的性质，运用不等式的变换，从已知条件推出等式的性质，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的不等式，这种证明方法叫做所要证明的不等式，这种证明方法叫做综合法综合法.2.综合法：综合法：由因导果，即由已知条件出发，利用已知由因导果，即由已
15、知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法明方法.综合法的思维特点是：综合法的思维特点是：12nABBBB10.不等式的证明不等式的证明 证明不等式时，有时可以从求证的不等式证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做不等式成立，这种方法通常叫做分析法分析法.3.
16、分析法：分析法：用分析法证明不等式的逻辑关系是：用分析法证明不等式的逻辑关系是：12nBBBBA10.不等式的证明不等式的证明分析法的思维特点是：分析法的思维特点是：执果索因执果索因 分析法的书写格式：分析法的书写格式：要证明命题要证明命题B为真，为真，只需要证明命题只需要证明命题B1为真，从而有为真，从而有 这只需要证明命题这只需要证明命题B2为真，从而又有为真，从而又有 这只需要证明命题这只需要证明命题A为真为真 而已知而已知A为真，故命题为真，故命题B必为真必为真.10.不等式的证明不等式的证明4.换元法：换元法：引进一个或几个新变量代替原式中某些引进一个或几个新变量代替原式中某些变量，
17、使得原式化为简单明了的式子进行论证或求变量，使得原式化为简单明了的式子进行论证或求值的方法叫做换元法值的方法叫做换元法.三角代换法，如：三角代换法，如：若若x2+y2=1,可令可令x=cos，y=sin若若x2+y2R2，可令，可令x=rcos,y=rsin（rR）当当-1x1时，可令时，可令x=cos，0,若若y=21x可令可令x=cos，此时，此时y=sin，0,代数换元：代数换元：整体换元、均值换元、设差换元等方法整体换元、均值换元、设差换元等方法 10.不等式的证明不等式的证明放缩常用的技巧放缩常用的技巧：（1）拿掉（或加进去）一些项，以期达到目的）拿掉（或加进去）一些项，以期达到目的
18、（2）在分式中放大或缩小分子或分母）在分式中放大或缩小分子或分母（3）可利用基本不等式进行放缩）可利用基本不等式进行放缩 放缩时一定要适度，放缩过大或不足都将达放缩时一定要适度，放缩过大或不足都将达不到预期的目的不到预期的目的.因此要控制放缩的尺度因此要控制放缩的尺度.5.放缩法：放缩法：在证明不等式中常将一边（或其中一在证明不等式中常将一边（或其中一项）项）A放大为放大为B（或缩小为（或缩小为B），得到不等式），得到不等式AB（或（或AB），连续使用不等式链），连续使用不等式链A B M，以，以达到证明达到证明AM的方法，称为的方法，称为放缩法放缩法.其中放缩适度是其中放缩适度是解决问题的关
19、键解决问题的关键.10.不等式的证明不等式的证明6.反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：反设结论反设结论找出矛盾找出矛盾肯定结论肯定结论 在直接证明不等式有困难时，可以试用反证在直接证明不等式有困难时，可以试用反证法，在用反证法证明不等式时要严格按照步骤进法，在用反证法证明不等式时要严格按照步骤进行，尤其反设要正确，推理要严密，防止由于推行，尤其反设要正确，推理要严密，防止由于推理错误导致假证理错误导致假证.10.不等式的证明不等式的证明7.构造法：构造法：构造方程法构造方程法:对于形如对于形如af(x)b的不等式，令的不等式，令y=f(x),把它整理成关于把它整理成关于x的二次方程，利用方程
20、的二次方程，利用方程有实数解的条件有实数解的条件0，建立关于，建立关于y的不等式，求的不等式，求解出解出y的范围，达到证明不等式的目的的范围，达到证明不等式的目的.根据所给不等式的特征，利用函数根据所给不等式的特征，利用函数的性质及函数图象来证明不等式成立的方法，称的性质及函数图象来证明不等式成立的方法，称之为函数法之为函数法.构造函数法构造函数法几何构造法几何构造法(构造图形法构造图形法):将不等式中的项赋予将不等式中的项赋予一定的几何意义一定的几何意义,然后根据几何关系达到证明不然后根据几何关系达到证明不等式的目的等式的目的.10.不等式的证明不等式的证明a2aoyx21oyx 函数函数
21、在在 0 x1,x1时的单调性时的单调性.xxy1函数函数 ,(a0)在在 时的单调性时的单调性.xaxyaxax,08.对勾函数：对勾函数：例例21 求函数求函数 的最小值的最小值.4522xxy分析分析：请思考下面解法对否：请思考下面解法对否？41441445222222xxxxxxy2414222xx函数的最小值是函数的最小值是2.上面的解上面的解 法是错误的法是错误的,此时此时“=”不能达到，因为不能达到，因为当当.3414222xxx故取等号时的故取等号时的 x 值不存在值不存在.10.不等式的证明不等式的证明例例22.已知已知m正整数正整数.【思路点拨思路点拨】不等式的证明方法一般
22、有作差比较法、】不等式的证明方法一般有作差比较法、作商比较法、综合法、分析法、三角换元、代数换作商比较法、综合法、分析法、三角换元、代数换元、放缩法、反证法、元、放缩法、反证法、单调性及数学归纳法单调性及数学归纳法.用数学归纳法证明：当用数学归纳法证明：当x-1时，时，(1+x)m1+mx；用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)验证：当验证：当n取第一个值取第一个值n0结论正确；结论正确；(2)假设当假设当n=k(kN*，且，且kn0)时结论正确，时结论正确，证明当证明当n=k+1时结论也正确时结论也正确.由由(1)，(2)可知，命题
23、对于从可知，命题对于从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都都正确正确.10.不等式的证明不等式的证明用数学归纳法证明：当用数学归纳法证明：当x-1时，时，(1+x)m1+mx；【证明证明】当当x=0或或m=1时，原不等式中等号显然成立；时，原不等式中等号显然成立；下用数学归纳法证明：下用数学归纳法证明：当当x-1，且，且x0时，时，m2,(1+x)m1+mx.用数学归纳法证明本不等式的步骤：用数学归纳法证明本不等式的步骤：(1)验证：当验证：当m=2结论正确；结论正确；(2)假设当假设当m=k(kN*,且且k2)时结论时结论(1+x)k1+kx 正确，正确，推导当推导当m=k+1时结论时结
24、论(1+x)k+11+(k+1)x也正确也正确.由由(1)，(2)可知，命题对于从可知，命题对于从2开始的所有正整数开始的所有正整数m都有都有(1+x)m1+mx正确正确.例例21.已知已知m正整数正整数.10.不等式的证明不等式的证明用数学归纳法证明：当用数学归纳法证明：当x-1时，时，(1+x)m1+mx；证明：证明：当当x-1，且，且x0时，时，m2,(1+x)m1+mx.(i)当当m=2时，时，左边左边1+2x+x21+2x=右边右边即即 左边左边右边，不等式成立；右边，不等式成立；验证正确验证正确（ii）假设当）假设当m=k(k2)时，不等式成立，时，不等式成立，即即 (1+x)k1
25、+kx,假设正确假设正确则当则当m=k+1时，时，由由条件知条件知 1+x0，kx20.左边左边=(1+x)k+1=1+(k+1)x+kx2=(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)1+(k+1)x=右边右边所以所以(1+x)k+11+(k+1)x,即当即当mk+1时，不等式也成立时，不等式也成立.推理准备推理准备利用假设利用假设转化变形转化变形推出正确推出正确二步小结二步小结由由(i)(ii)知，当知，当m2时所证不等式成立时所证不等式成立.肯定结论肯定结论(1+x)k+11+(k+1)x例例21.已知已知m正整数正整数.10.不等式的证明不等式的证明寄语寄语 以上通过例题的形式，介绍了不等式的性以上通过例题的形式，介绍了不等式的性质和基本不等式问题的分析和处理方法质和基本不等式问题的分析和处理方法.仅仅仅仅是起到一个抛砖引玉的作用是起到一个抛砖引玉的作用.希望能使所有听希望能使所有听课同学的思维得到升华课同学的思维得到升华.再见！谢谢大家！谢谢大家！点滴积累点滴积累 丰富人生丰富人生世间无所谓天才，它仅是刻苦加勤奋世间无所谓天才，它仅是刻苦加勤奋.知识是宝库，而实践是开启宝库的钥匙知识是宝库，而实践是开启宝库的钥匙.
