1、1.1.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切、正弦、余弦、正切、余切的诱导公式余切的诱导公式.2.2.两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、半角两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、半角 的三角函数公式的三角函数公式.3.3.通过简单的三角恒等变换解决三角函数问题的化通过简单的三角恒等变换解决三角函数问题的化 简、求值与证明简、求值与证明.4.4.掌握正弦定理、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三并能解决一些简单的三 角形度量问题角形度量问题.5.5.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一 些与
2、测量和几何计算有关的实际问题些与测量和几何计算有关的实际问题.学案学案11 11 三角变换与解三角形三角变换与解三角形 1.(20091.(2009江西江西)若函数若函数 则则f f(x x)的最大值为的最大值为 ()()A.1 B.2 A.1 B.2 C.D.C.D.解析解析 当当x x=时时,函数取得最大值为函数取得最大值为2.2.,20,cos)tan31()(xxxxfxxxfcos)tan31()()3cos(2sin3cosxxx13 23 B B32.(20092.(2009广东广东)已知已知ABCABC中中,A A,B B,C C的对边分的对边分 别为别为a a,b b,c c
3、,若若a a=c c=且且A A=75=75,则则b b等于等于()()A.2 B.A.2 B.C.D.C.D.解析解析 因因sin sin A A=sin 75=sin 75=sin(30=sin(30+45+45)=sin 30=sin 30cos 45cos 45+sin 45+sin 45cos 30cos 30=由由a a=c c=可知可知,C C=75=75,所以所以B B=30=30,sin,sin B B=.=.由正弦定理得由正弦定理得26 26 32432426,426 21.22146262sinsinBAabA A3.(20093.(2009全国全国)已知已知ABCABC
4、中中,tan,tan A A=,=,则则 cos cos A A等于等于 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析12513513121312135.1312)125(11tan11cos.),2(,125tan,22AAAAABC中已知D D4.(20094.(2009全国全国)若若 则函数则函数y y=tan 2=tan 2x xtantan3 3x x 的最大值为的最大值为_._.解析解析,24 x-8-8.841241)211(211212tan1tan2tan2tan,1,24,tan222424243tttttxxxxytxtx令题型一题型一 已知三角函数求值已知三角函数求
5、值【例【例1 1】(2009(2009广东广东)已知向量已知向量a a=(,-2)=(,-2)与与b b=(1,=(1,)互相垂直互相垂直,其中其中(1)(1)求求 的值；的值；解解 (1)(1)a a与与b b互相垂直互相垂直,a ab b=sincoscossin 和.cos,20,1010)sin()2(的值求若.)2,0(,0cos2sin.55cos,552sin,)2,0(,55cos,552sin,1cossin,cos2sin22又得代入即【探究拓展探究拓展】在解有关根据条件求三角函数值问题】在解有关根据条件求三角函数值问题 时，首先根据条件限定某些角的取值范围时，首先根据条件
6、限定某些角的取值范围,由范围进由范围进 而确定出三角函数值的符号而确定出三角函数值的符号,还应注意公式的正用与还应注意公式的正用与 逆用及变形应用逆用及变形应用,根据条件还要注意适当拆分角、拼根据条件还要注意适当拆分角、拼 角等技巧的应用角等技巧的应用.22)sin(sin)cos(cos)(coscos,10103)(sin1)cos(,22,20,20)2(2则变式训练变式训练1 1 已知已知(1)(1)求求sin sin x x的值；的值；解解 .)43,2(,102)4cos(xx.)32sin()2(的值求x4)4sin(sin.1027)4(cos1)4sin(,)2,4(4,)4
7、3,2()1(2xxxxxx于是所以因为.54221022210274sin)4cos(4cos)4sin(xx.5037243sin2cos3cos2sin)32sin(.2571cos22cos,2524cossin22sin.53)54(1sin1cos),43,2()2(222xxxxxxxxxxx所以所以因为题型二题型二 三角函数与解三角形三角函数与解三角形【例【例2 2】(2009(2009四川四川)在在ABCABC中中,A A,B B为锐角为锐角,角角A A,B B,C C所对应的边分别为所对应的边分别为a a,b b,c c,且且cos2cos2A A=sin=sinB B=(
8、1)(1)求求A A+B B的值；的值；(2)(2)若若a a-b b=求求a a,b b,c c的值的值.解解 (1)(1)A A、B B为锐角为锐角,sin,sin B B=cos cos B B=又又cos 2cos 2A A=1-2sin=1-2sin2 2A A=,53.1010,12,1010.10103sin12B,53,552sin1cos,55sin2AAAcos(cos(A A+B B)=cos)=cos A Acos cos B B-sin-sin A Asin sin B B.4,0.2210105510103552BABA.5,2,1,122,12,5,2,2105,
9、sinsinsin.22sin,43)1()2(cabbbbabcbacbaCcBbAaCC即得由正弦定理知由【探究拓展探究拓展】本小题主要考查同角三角函数间的关】本小题主要考查同角三角函数间的关 系系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等 基础知识及基本运算能力基础知识及基本运算能力.在求解三角形的面积时，在求解三角形的面积时，应注意面积的表达式有几种不同表达方式，应灵活应注意面积的表达式有几种不同表达方式，应灵活 选择选择.变式训练变式训练2 2 在在ABCABC中中,sin(,sin(C C-A A)=1,sin)=1,sin B B=(1
10、)(1)求求sin sin A A的值；的值；(2)(2)设设ACAC=,=,求求ABCABC的面积的面积.解解.316.33sin,0sin,31)sin1(21sin,)2sin2(cos22)24sin(sin,24,2)1(2AABABBBABABACAC又且由(2)(2)如图所示如图所示,由正弦定理得由正弦定理得 又又sin sin C C=sin(=sin(A A+B B)=sin)=sin A Acos cos B B+cos+cos A Asin sin B B.sinsinABCBAC,2331336sinsinBAACBC.233623621sin21,3631363223
11、3CBCACSABC题型三题型三 向量与解三角形向量与解三角形【例【例3 3】(2009(2009湖南湖南)在在ABCABC,已知已知 求角求角A A,B B,C C的大小的大小.解解设设BCBC=a a,ACAC=b b,ABAB=c c，|32ABACAB,3|2BCAC,43)65sin(sin.43sin3sinsin,33|3,6),0(,23cos,3cos2,|32222CCABCabc，BCACABAAAbcAbcACABACAB所以于是得由因此又所以得由【探究拓展探究拓展】解答这一类问题】解答这一类问题,首先要保证向量运算首先要保证向量运算 必须正确必须正确,否则否则,反被其
12、累反被其累,要很好的掌握正、余弦定要很好的掌握正、余弦定 理的应用的条件及灵活变形理的应用的条件及灵活变形,方能使问题简捷解答方能使问题简捷解答.32,6,66,32,6,326,32,032,343236506.0)32sin(,2cos32sin,3sin32cossin2,43)sin23cos21(sin2CBACBACCCCC，CACCCCCCCCC或故或即或从而所以知由即因此变式训练变式训练3 3 (2009 (2009江西江西)在在ABCABC中中,A A、B B、C C所对所对 的边分别为的边分别为a a、b b、c c，(1)(1)求求C C；(2)(2)若若 求求a a,b
13、 b,c c.解解.2)31(,6bcA,31CACB.4,1tan,232123tan21sinsin65coscos65sinsin)6sin(,sinsin2321,2)31()1(CCCCCCCCCBcbbc即得则有得由.2312,sinsin2)31(3122,3122,4.31cos,31)2(cbaCcAabcababCCabCACB解得则有即得而推出由题型四题型四 解三角形与实际问题解三角形与实际问题【例【例4 4】(2009(2009海南海南)如图如图,为了解某海域海底构造为了解某海域海底构造，对海平面内一条直线上的对海平面内一条直线上的A A、B B、C C三点进行测量三点
14、进行测量.已已 知知ABAB=50 m,=50 m,BCBC=120 m,=120 m,于于A A处测得水深处测得水深ADAD=80 m,=80 m,于于B B 处测得水深处测得水深BEBE=200 m,=200 m,于于C C处测得水深处测得水深CFCF=110 m,=110 m,求求 DEFDEF的余弦值的余弦值.解解 作作DMDMACAC交交BEBE于于N N,交交CFCF于于M M.在在DEFDEF中中,由余弦定理得由余弦定理得【探究拓展探究拓展】对几何中的计算问题】对几何中的计算问题,往往通过正、余往往通过正、余 弦定理把几何问题转化成三角函数问题弦定理把几何问题转化成三角函数问题,
15、再通过解三再通过解三 角函数达到求解三角形问题的目的角函数达到求解三角形问题的目的.,)m(15012090)()m(13012050,)m(2981017030222222222222BCFCBEEFENDNDEDMMFDF.65161501302298101501302cos222222EFDEDFEFDEDEF变式训练变式训练4 4 如图所示如图所示,扇形扇形AOBAOB,圆圆 心角心角AOBAOB=60=60,半径半径OAOA=2,=2,在弧在弧 ABAB上有一点上有一点P P,过点过点P P做平行于做平行于OBOB 的直线交的直线交OAOA于点于点C C,设设AOPAOP=求求COP
16、COP面积的最大值及此时面积的最大值及此时 的值的值.解解 因为因为AOBAOB=60=60且且CPCPOBOB,所以所以OCPOCP=120=120,则在则在OCPOCP中中，OPOP2 2=OCOC2 2+CPCP2 2-2-2OCOCCPCPcos 120cos 120=OCOC2 2+CPCP2 2+OCOCCPCP，又因又因OCOC2 2+CPCP2 222OCOCCPCP,所以所以OPOP2 233OCOCCPCP,又又OPOP=OAOA=2,=2,即即OCOCCPCP 所以所以S SCOPCOP=OCOCCPCPsin 120sin 120=OCOCCPCP 即即(S SCOPC
17、OP)maxmax=此时此时OCOC=CPCP，又又OCPOCP=120=120,所以所以 =AOPAOP=30=30.,342143,33,33【考题再现】【考题再现】(2009(2009山东山东)设函数设函数f f(x x)=cos(2)=cos(2x x+)+sin+)+sin2 2x x.(1)(1)求函数求函数f f(x x)的最大值和最小正周期；的最大值和最小正周期；(2)(2)设设A A,B B,C C为为ABCABC的三个内角的三个内角,若若 且且C C为锐角为锐角,求求sin sin A A.3)2(,31cosCfB,41【解题示范解题示范】f f(x x)取得最大值取得最
18、大值,f f(x x)最大值最大值=f f(x x)的最小正周期的最小正周期 故函数故函数f f(x x)的最大值为的最大值为 最小正周期为最小正周期为 6 6分分,)Z(4,222.2sin23212cos21212sin232cos2122cos13sin2sin3cos2cos)()1(时即所以当解xkxkxxxxxxxxxf,231,22T,231.因此因此sin sin A A=sin-(=sin-(B B+C C)=sin()=sin(B B+C C)=sin=sin B Bcos cos C C+cos+cos B Bsin sin C C分求得由分所以为锐角又解得即由10.32
19、2sin31cos8.3,.23sin,41sin2321,41)2()2(BBCCCCCf分1263222331213221.1.解三角形常见类型及解法解三角形常见类型及解法:(1):(1)已知一边和两角，用已知一边和两角，用 正弦定理求解正弦定理求解,在有解时只有一解在有解时只有一解;(2);(2)已知两边和夹已知两边和夹 角角,用余弦定理或正弦定理求解用余弦定理或正弦定理求解,在有解时只有一解在有解时只有一解;(3)(3)已知三边已知三边,用余弦定理求解，在有解时只有一解用余弦定理求解，在有解时只有一解;(4)(4)已知两边和其中一边的对角，用余弦定理或正弦已知两边和其中一边的对角，用余
20、弦定理或正弦 定理求解定理求解,可有两解、一解或无解可有两解、一解或无解.2.2.应用正、余弦定理解斜三角形应用问题的方法步应用正、余弦定理解斜三角形应用问题的方法步 骤骤:(1):(1)分析分析:理解题意理解题意,分清已知与待求分清已知与待求,并画出示意并画出示意 简图简图;(2);(2)建模：根据条件与所求的目标建模：根据条件与所求的目标,把已知量与把已知量与 待求量尽量集中在有关三角形中待求量尽量集中在有关三角形中,建立解斜三角形的建立解斜三角形的 数学模型数学模型;(3);(3)求解求解:利用余弦定理或正弦定理有序的利用余弦定理或正弦定理有序的 解三角形解三角形,求得数学模型的解；求得
21、数学模型的解；(4)(4)检验检验:检验上述所检验上述所 求解是否有实际意义，进而得出实际问题的解求解是否有实际意义，进而得出实际问题的解.3.3.在在ABCABC中常用关系：中常用关系：(1)(1)a ab bc c A AB BC C sin sin A Asin sin B Bsin sin C C;(2);(2)A A、B B、C C成等差数列成等差数列 B B=60=60;(3);(3)2b2b=a a+c c或或b b2 2=a ac c 0 0B B6060.一、选择题一、选择题1.1.函数函数f f(x x)=sin)=sin2 2x x+sin+sin x xcos cos
22、x x在区间在区间 上的最上的最 大值是大值是 ()()A.1 B.A.1 B.C.D.C.D.解析解析32,4.23211)(.1)62sin(21.65623,24.21)62sin(2sin2322cos1cossin3sin)(max2xfxxxxxxxxxxf2313123C C2.(20092.(2009辽宁辽宁)已知已知 等于等于 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析22cos2cossinsin,2tan则43544534.541tan2tantancossincos2cossinsin222222原式D D3.3.已知锐角三角形的边长分别是已知锐角三角形的边长分别
23、是2,3,2,3,x x,则则x x的取值范的取值范 围是围是 ()()A.1 A.1x x5 5B.B.C.C.D.D.解析解析若若3 3是最大边是最大边,则则3 32 2x x2 2+2+22 2,即即x x3,3,若若x x是最大边是最大边,则则x x2 2332 2+2+22 2,即即33x x.由上可知由上可知135 x513 x50 x513.135 xB B4.4.已知已知a a、b b、c c是是ABCABC的三条对应边的三条对应边,若满足若满足(a a+b b+c c)(a a+b b-c c)=3)=3abab,且且sin sin A A=2sin=2sin B Bcos
24、cos C C,那么那么ABCABC 是是 ()()A.A.直角三角形直角三角形 B.B.等腰直角三角形等腰直角三角形 C.C.等腰三角形等腰三角形 D.D.等边三角形等边三角形解析解析 因为因为(a a+b b+c c)()(a a+b b-c c)=)=a a2 2+b b2 2-c c2 2+2+2abab=3=3abab,则则 所以所以C C=60=60,又又sinsinA A=2sin=2sin B Bcos cos C C,则则sin sin A A=sin=sin B B,即即A A=B B.ABCABC为等边三角形为等边三角形.,212cos222abcbaCD D5.5.在在
25、ABCABC中中,若若(sin(sin A A+sin+sin B B):):(sin sin B B+sin+sin C C):):(sin (sin C C+sin+sin A A)=4:5:6,)=4:5:6,则则C C的值为的值为 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 由题意可知由题意可知:(:(a a+b b):():(b b+c c):():(c c+a a)=4:5:6,)=4:5:6,则则a a:b b:c c=5:3:7,=5:3:7,令令a a=5=5k k,b b=3=3k k,c c=7=7k k(k k0),0),443323.32.2135249925c
26、os222CkkkkkC所以C C6.6.在在ABCABC中中,若有一个内角不小于若有一个内角不小于120120,则最长边则最长边 与最短边之比的最小值是与最短边之比的最小值是 ()()A.B.C.2 D.A.B.C.2 D.解析解析 设设C C120120,则则c c为最大边为最大边,设设a a为最小边，为最小边，则则A AB B,所以所以A A+B B=180=180-C C,A A(0,(0,6.3cos2sin2sinsin)sin(sinsinAAAABAACac所以B B253二、填空题二、填空题7.(20097.(2009湖南湖南)在锐角在锐角ABCABC中中,BCBC=1,=1
27、,B B=2=2A A,则则 的值等于的值等于_,_,ACAC的取值范围为的取值范围为_._.解析解析 由正弦定理由正弦定理:AACcos,sinsinBACABC,230,220,20,3,3,AAAACCACBA.22cos,cossin22sinsinBCAACAAACAACABC答案答案 2 28.8.在在ABCABC中中,C C=60=60,a a、b b、c c分别为分别为A A、B B、C C的对的对 边，则边，则 =_.=_.解析解析 由余弦定理可知由余弦定理可知:a a2 2+b b2 2=c c2 2+abab,.32,cos2,23cos22,46ACAACAA又)3,2
28、(cabcba.122222bcacabcbcacabcbcacabcbcacbacabcba又1 19.9.如果函数如果函数f f(x x)在区间在区间D D上是凸函数上是凸函数,则对于区间则对于区间D D上上 任意的任意的x x1 1,x x2 2,x xn n,都有都有:现已知现已知y y=sin=sin x x在在0,0,上是凸上是凸 函数函数,则在则在ABCABC中中,sin,sin A A+sin+sin B B+sin+sin C C的最大值的最大值 是是_._.解析解析 由题意可知：由题意可知：所以所以sin sin A A+sin+sin B B+sin+sin C C的最大
29、值是的最大值是nxfxfxfn)()()(21);(21nxxxfn.233sin)3sin(3sinsinsinCBACBA.23323310.10.在在ABCABC中，中，ACAC=2=2BCBC,若若ABAB=3,=3,则则ABCABC的最大面的最大面 积为积为_._.解析解析 如图如图,作作CDCDABAB或其延长线于或其延长线于D D，设设BCBC=m m,CDCD=h h,BDBD=t t,则则4 4m m2 2-(3+-(3+t t)2 2=m m2 2-t t2 2=h h2 2,m m2 2=2=2t t+3,+3,当且仅当当且仅当t t=1=1时时,(,(S SABCABC
30、)maxmax=3.=3.3 3,3321,24)1(3222hSttthABC三、解答题三、解答题11.(200911.(2009全国全国)设设ABCABC的内角的内角A A、B B、C C的对边长的对边长 分别为分别为a a、b b、c c,cos(,cos(A A-C C)+cos)+cos B B=b b2 2=ac,ac,求求B B.解解 由由cos(cos(A A-C C)+cos)+cos B B=得得cos(cos(A A-C C)-cos()-cos(A A+C C)=)=cos cos A Acos cos C C+sin+sin A Asin sin C C-(cos-(
31、cos A Acos cos C C-sin sin A Asin sin C C)=sin)=sin A Asin sin C C=又由又由b b2 2=acac及正弦定理得及正弦定理得sinsin2 2B B=sin=sin A Asin sin C C,故故sinsin2 2B B=sin=sin B B=或或sin sin B B=(=(舍去舍去),),于是于是B B=或或B B=又由又由b b2 2=acac知知b ba a或或b bc c,所以所以B B=,23,23)(23CAB及,23,43,4323233.32.312.(200912.(2009江西江西)在在ABCABC中中
32、,角角A A、B B、C C所对的边分所对的边分 别为别为a a,b b,c c.且且 sin(sin(B B-A A)=cos)=cos C C.(1)(1)求求A A,C C；(2)(2)若若S SABCABC=求求a a,c c.解解 (1)(1)因为因为 所以所以sin sin C Ccos cos A A+sin+sin C Ccos cos B B=cos=cos C Csin sin A A+cos+cos C C sin sin B B,即即sin sin C Ccos cos A A-cos-cos C Csin sin A A=cos=cos C Csin sin B B-sin sin C Ccos cos B B,得得sin(sin(C C-A A)=sin()=sin(B B-C C).).所以所以C C-A A=B B-C C或或C C-A A=-(=-(B B-C C)()(不成立不成立)，,coscossinsintanBABAC,33,coscossinsintanBABAC,coscossinsincossinBABACC即.125,4),(656,21cos)sin(.32,3,2BAABABCABABCBAC得舍去或则又因为所以得即.32,22,2322,sinsin,33826sin21)2(cacaCcAaacBacSABC得即又返回
