1、2.3幂幂函函数数(1)如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么她那么她需要支付需要支付P=_w 元元(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积那么正方形的面积S=_(3)如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积V=_(5)如果某人如果某人 t s内骑车行进内骑车行进1 km,那么他骑车的平均那么他骑车的平均速度速度v=_是是_的函数的函数a a V是是a的函数的函数t km/s v是是t 的函数的函数(4)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边那么正方形的边长长_12Sa
2、是是S的函数的函数以上问题中的函数具有什么共同特征以上问题中的函数具有什么共同特征?Pwa y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1ayx_是是_的函数的函数Sa他们有以下共同特点：他们有以下共同特点：(1)都是函数；都是函数；(3)均是以自变量为底的幂；均是以自变量为底的幂；(2)指数为常数指数为常数.ayxayxxay一般地，函数一般地，函数 叫做叫做幂函数幂函数(power function)，其中其中x x为自变量为自变量为常数。为常数。你能说出幂函数与指数函数的区别吗你能说出幂函数与指数函数的区别吗?指数函数：指数函数：解析式解析式 ，底数为常数，底数为常数a，a0，a1，指数为自
3、变量，指数为自变量x；幂函数：幂函数：解析式解析式 ，底数为自变量，底数为自变量x，指数为常数指数为常数，R；判断下列函数是否为幂函数判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x4 21)2(xy(3)y=-x2 21)4(xy(5)y=2x2(6)y=x3+2 判一判下面研究幂函数下面研究幂函数.ayx在同一平面直角坐标系内作出这在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。单调性、奇偶性、过定点的情况等。y=x0研究研究 y=x2yx3yx12yx1yx x-3-2-10123-3
4、-2-101239410149-27-8-10182701-1/3-1/2-111/21/32yx3yx12yx1yxy=xy=x2yx2yx3yx12yx1yx3y=x04321-1-2-3-4-6-4-2246(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-1,-1)(1,1)x-3-2-1 0 1 2 3y=x29410 1 4 94321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-
5、1 0 1 2 3y=x3-27-8-1 0 1 8 274321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x 0 1 2 4 0 1 212yx24321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-11 23-111y x4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3
6、y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x04321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x0在第一象限内在第一象限内,函数图象的变化函数图象的变化趋势与指数有什趋势与指数有什么关系么关系?在第一象限内，在第一象限内，当当a0时，图象随时，图象随x增大而上升。增大而上升。当当a0a0时，图象
7、随时，图象随x x增大而上升。增大而上升。当当a0a0时时,图象还都过点图象还都过点(0,0)点点 y=x y=x2y=x3 y=x y=x-1定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性 公共点公共点奇奇偶偶奇奇非奇非奇非偶非偶奇奇(1,1)RRRx|x00,+）RRy|y00,+）0,+）在在R R上增上增在（在（-，0)0)上减，上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:12在在R R上上增增在在0 0，+）上增，）上增，在（在（-，00上减上减,在在0 0，+）上增，）上增，在在(0(0，+)+)上减上减(1)所有的幂函数在所有的幂函数在(0,
8、+)都有定义，并且图都有定义，并且图象都通过点象都通过点(1,1);(2)如果如果，则幂函数图象过原点，并且，则幂函数图象过原点，并且在区间在区间0,+)上是增函数；上是增函数；(3)如果如果，则幂函数图象在区间，则幂函数图象在区间(0,+)上是减函数，在第一象限内，当上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向从右边趋向于原点时，图象在于原点时，图象在y轴右方无限地逼近轴右方无限地逼近y轴，当轴，当x趋向于趋向于+时，图象在时，图象在X轴上方无限地逼近轴上方无限地逼近x轴；轴；(4)当当为奇数时，幂函数为奇函数；当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶为偶数时，幂函数为偶函数数时，幂函数为偶函数幂函数
9、的性质幂函数的性质例例1如果函数如果函数 是幂函数，是幂函数，且在区间（且在区间（0，+）内是减函数，求满足条件的）内是减函数，求满足条件的实数实数m的集合。的集合。32221mmxmmxf)()(解解:依题意依题意,得得112mm解方程解方程,得得 m=2或或m=-1检验检验:当当 m=2时时,函数为函数为3)(xxf符合题意符合题意.当当m=-1时时,函数为函数为1)(0 xxf不合题意不合题意,舍去舍去.所以所以m=2例例2.利用单调性判断下列各值的大小。利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 (3)解解:(1)y=x
10、0.8在在(0,+)内是增函数内是增函数,5.25.3 5.20.8 5.30.8(2)y=x0.3在在(0,+)内是增函数内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在在(0,+)内是减函数内是减函数2.52.7-2/5 2.5-25与 2.7-25练习练习1）0.51.30.51.525.125.092）3）141.79141.814）223(2)a232则x且xxx,),0,2121 例例3 证明幂函数证明幂函数 在在0，+）上是增函数）上是增函数.复习用定义证明函数的单调性的步骤复习用定义证明函数的单调性的步骤:(1).设设x1,x2是某个区间上任意二值，且是
11、某个区间上任意二值，且x1x2;(2).作差作差 f(x1)f(x2)，变形，变形;(3).判断判断 f(x1)f(x2)的符号；的符号；(4).下结论下结论.证明证明:任取任取xxf)(2121212121)()()(xxxxxxxxxfxf,2121xxxx).()(,0,0212121xfxfxxxx所以幂函数所以幂函数 在在0，+）上是增函数）上是增函数.xxf)(证法二证法二:任取任取x1,x2 0，+）,且且x1 x2；证明证明：幂函数：幂函数 在在0，+）上是增函数）上是增函数.1)()(212121xxxxxfxf)()(21xfxf为增函数，在0)(xxf(1)(1)作差法作
12、差法:若给出的函数是有根号的式子若给出的函数是有根号的式子,往往采用有往往采用有理化的方式。理化的方式。(2)(2)作商法作商法:证明时要注意分子和分母均为正数证明时要注意分子和分母均为正数,否则不否则不一定能推出一定能推出(x(x1 1)(x(x2 2)。()f xx即即所以所以应用举例应用举例.练习：练习：证明幂函数证明幂函数y=x3 在定义域上是增函数在定义域上是增函数.课堂小结课堂小结.1.幂函数的定义幂函数的定义2.5类典型幂函数的图像及性质类典型幂函数的图像及性质3.幂函数的幂函数的4点性质点性质4.利用幂函数图像比较数与数的大小利用幂函数图像比较数与数的大小课后作业课后作业1）当）当 取不同的有理数时，讨论取不同的有理数时，讨论幂函数幂函数 的定义域的定义域.xy 2)已知幂函数已知幂函数 ,在区间在区间(0,+)上是减函数上是减函数,求函数的解析式求函数的解析式并讨论其单调性和奇偶性并讨论其单调性和奇偶性)(322Nmxymm3）P79习题习题2.3：1
