1、3.2.2 直线的两点式方程解：解：设直线方程为：设直线方程为：y=kx+by=kx+b（k0k0）一般做法：一般做法：342，kbkb 由已知得：由已知得：12kb，解方程组得：解方程组得：所以，直线方程为所以，直线方程为:y=x+2.:y=x+2.待定系数待定系数法法方程思想方程思想已知直线经过已知直线经过P P1 1(1,3)(1,3)和和P P2 2(2,4)(2,4)两点两点,求直线的方程求直线的方程还有其他的方法吗？还有其他的方法吗？还有其他做法吗？还有其他做法吗？432143312120由由斜斜率率公公式式得得到到斜斜率率再再由由直直线线的的点点斜斜式式方方程程得得，化化简简可可
2、：得得解解.().kyxxy 34 312 1，yx 即：即：得得:y=x+2.y=x+2.解：解：设设P(x,y)P(x,y)为直线上不同于为直线上不同于P P1 1,P P2 2的动点的动点,与与P P1 1(1,3)(1,3)，P P2 2(2,4)(2,4)在同一直线上在同一直线上,根据斜率相等可得：根据斜率相等可得：11 211 2PPP PPPP Pk=kk=k1.1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围.(重点重点)2.2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.3.3.掌握中点坐标公式掌握中点坐标
3、公式.(重点重点)4.4.通过四种形式方程的对比，掌握类比思想通过四种形式方程的对比，掌握类比思想.(难点难点)解：解：设点设点P(x,y)P(x,y)是直线上不同于是直线上不同于P P1 1,P P2 2的点的点211121.xyyxyyxx 可得直线的两点式方程：可得直线的两点式方程：211121,yyyyxxxx 所以所以因为因为k kPPPP1 1=k=kP P1 1P P2 2,记忆特点：记忆特点：1.1.左边全为左边全为y y，右边全为，右边全为x.x.2.2.两边的分母全为常数两边的分母全为常数.3.3.两边分子，分母中的减数分别相同两边分子，分母中的减数分别相同.已知两点已知两
4、点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)（其中（其中x x1 1xx2 2，y y1 1y y2 2）,求通过这两点的直线方程求通过这两点的直线方程是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程程 呢？呢？112121yyxxyyxx提示：提示：两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线的方程轴重合的直线的方程那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?当当x x1 1x x2 2或或y y1 1=y y2 2时时
5、,直线直线P P1 1P P2 2没有两点式方程没有两点式方程.(因为因为x x1 1x x2 2或或y y1 1=y y2 2时时,两点式方程的分母为零两点式方程的分母为零,没有没有意义意义)提示：不是提示：不是!若点若点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)中有中有x x1 1x x2 2,或或y y1 1=y y2 2,此时过这两点的直线方程是什么此时过这两点的直线方程是什么?当当x x1 1x x2 2时方程为：时方程为：x xx x1 1或或x xx x2 2当当y y1 1=y y2 2时方程为：时方程为：y=yy=y1 1或或y=
6、yy=y2 2提示：提示：x-yx+（1）1）2-3=2-3=解解：0.（0.（2）2）y=5.y=5.1212(1)P(2(1)P(2，1),P(01),P(0，-3).(2)A(0-3).(2)A(0，5),B(55),B(5，0).0).求经过下列两点的直线方程求经过下列两点的直线方程:【即时训练即时训练】y-0 x-ay-0 x-a=b-00-ab-00-a x x l B(0,b)B(0,b)A(a,0)A(a,0)O O y y解：解：将将A(aA(a，0 0），），B B（0 0，b)b)的坐标代的坐标代入两点式得：入两点式得：xyxy即即+=1.+=1.abab例例1 1 已知
7、直线已知直线l与与x x轴的交点为轴的交点为A(a,0),A(a,0),与与y y轴的交轴的交点为点为B(0,b)B(0,b)，其中，其中a0,b0,a0,b0,求直线求直线l的方程的方程.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程方程.(1)P(2(1)P(2，1)1)，Q(0Q(0，-3)-3)(2)A(0(2)A(0，5)5)，B(5B(5，0)0)(3)C(-4(3)C(-4，-5)-5)，D(0D(0，0)0)123 10 2yx 2 3yx 500550yx5yx 005040yx 54yx【变式练习变式练习】直线的截距式方程直线的
8、截距式方程1.xyab直线方程由直线在直线方程由直线在x x轴和轴和y y轴的截距确定轴的截距确定,所以叫做所以叫做直线方程的直线方程的截距式方程截距式方程.在在y轴上轴上的截距的截距在在x x轴上轴上的截距的截距截距式适用于横、纵截距都存在且都不为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0 0的直线的直线.直线直线ax+by=1(ab0)ax+by=1(ab0)与两坐标轴围成的面积是与两坐标轴围成的面积是_._.1 12 2 a ab b【即时训练即时训练】例例2 2 已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)C(0,2)
9、，求，求BCBC边所在直线的方程，以及该边上中线所边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程在直线的方程.解：解：过过B(3,-3),C(0,2)B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为：的两点式方程为：这就是这就是BCBC边所在直线的方程边所在直线的方程.，y-2x-0y-2x-0=-3-23-0-3-23-0整整理理得得，5x+3y-6=0.5x+3y-6=0.设点为 则标为3 3+0 0-3 3+2 23 31 1B BC C的的中中M M,M M的的坐坐（，），即即（，-）.2 22 22 22 2过线为这边线线31y-0 x+531y-0 x+5A(-5,0),M（A(-5,0
10、),M（，-）-）的的直直方方程程=,=,13132222-0+5-0+52222整整理理得得x+13y+5=0.x+13y+5=0.就就是是BC上BC上的的中中所所在在直直的的方方程程.11122211122212121212以以P P（x x，y),P(x,y)y),P(x,y)为为端端点点的的线线段段的的中中点点坐坐标标为为x+xy+yx+xy+y（,).,).2222中点坐标公式中点坐标公式解解:两条两条那还有一条呢？那还有一条呢？y=2x(y=2x(与与x x轴和轴和y y轴的截距都为轴的截距都为0)0)所以直线方程为：所以直线方程为：x+y-3=0 x+y-3=0a=3a=3121
11、aa把把(1,2)(1,2)代入得：代入得：1xyaa设设 直线的方程为直线的方程为:【变式练习变式练习】过过(1,2)(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条几条?例例3 3 求经过点求经过点P(-5P(-5，4)4)，且在两坐标轴上的截距相等，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程的直线方程.xy分析：分析：截距均为截距均为0 0时，时，设方程为设方程为y=kx,y=kx,截距均不为截距均不为0 0时，时，设为截距式求解设为截距式求解.O O解：解：当截距均为当截距均为0 0时，设方程为时，设方程为y=kx,y=kx,把把P(-5P(-5，4)4)
12、代入上式得代入上式得 即直线方程为即直线方程为当截距均不为当截距均不为0 0时，设直线方程为时，设直线方程为把把P(-5P(-5，4)4)代入上式得代入上式得 直线方程为直线方程为 即即 综上：直线方程为综上：直线方程为 或或4.5yx 4,5k 1,xyaa1.a 1,xy 10.xy 45yx 10.xy 截距为零截距为零不容忽视不容忽视设直线设直线l的方程为的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR).(a+1)x+y+2-a=0(aR).若直线若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程的方程.【变式练习变式练习】解：解：当直线过原点时，该直线在当直线过
13、原点时，该直线在x x轴和轴和y y轴上的截距轴上的截距为零，显然相等为零，显然相等.所以所以a=2,a=2,方程即为方程即为3x+y=0.3x+y=0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为当直线不过原点时，由截距存在且均不为0 0，得得 =a-2,=a-2,即即a+1=1,a+1=1,所以所以a=0a=0，即直线方程为，即直线方程为x+y+2=0.x+y+2=0.所以直线所以直线l的方程为的方程为3x+y=03x+y=0或或x+y+2=0.x+y+2=0.a2a11.1.若直线若直线l与直线与直线y=1,x=7y=1,x=7分别交于点分别交于点P P，Q Q，且线段，且线段PQPQ的中点坐标
14、为的中点坐标为(1(1，-1)-1)，则直线，则直线l的斜率为的斜率为()()1 11 13 32 2A A.B B.-C C.-D D.3 33 32 23 3解：解：选选B.B.依题意，设点依题意，设点P(a,1),Q(7,b),P(a,1),Q(7,b),则有则有 解得解得从而可知直线从而可知直线l的斜率为的斜率为，a a+7 7=2 2b b+1 1=-2 2-3-11-3-11=-.=-.7+537+53a5,b3,2.2.根据下列条件求直线的方程根据下列条件求直线的方程（1 1）在）在x x轴上的截距为轴上的截距为2 2，在，在y y轴上的截距是轴上的截距是3 3；（2 2）在）在
15、x x轴上的截距为轴上的截距为-5-5，在，在y y轴上的截距是轴上的截距是6 6；由截距式得：由截距式得：整理得：整理得：123xy326 0 xy 由截距式得：由截距式得：整理得：整理得：156xy6530 0 xy3.3.根据下列条件求直线的方程根据下列条件求直线的方程（1 1）过点（）过点（0,50,5），且在两坐标轴上的截距之和为），且在两坐标轴上的截距之和为2 2；（2 2）过点（）过点（5 5，0 0），且在两坐标轴上的截距之差为），且在两坐标轴上的截距之差为2 2；5x-3y+15=05x-3y+15=03x+5y-15=03x+5y-15=0或或7x+5y-35=07x+5y-35=000()yyk xx112121yyxxyyxx 1xyab 不垂直不垂直x x轴轴不垂直不垂直x x轴轴不垂直坐标轴不垂直坐标轴不垂直坐标轴且不经不垂直坐标轴且不经过原点过原点ykxb 不是真正的朋友，再重的礼品也敲不开心扉。培根
