1、基本不等式2abab 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。风车，代表中国人民热情好客。20022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标三国时期三国时期吴国的数学家赵爽吴国的数学家赵爽思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个思考：你能否在这个图案中找出一些相等图案中找出一些相等关系或不等关系？关系或不等关系？问问2 2：RtRtA
2、BF,RtABF,RtBCG,RtBCG,RtCDH,RtCDH,RtADEADE是全等三是全等三角形，它们的面积总和是角形，它们的面积总和是S S=问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中,设设AF=a,BF=b,AF=a,BF=b,则则AB=AB=则正方形的面积为则正方形的面积为S=S=。问问3 3：观察图形：观察图形S S与与S S有什么样的大小有什么样的大小关系？关系？22ab2ab222abab易得，易得，s ss s,即即ADCBc22abHGFEab问问4 4：那么它们有相等的情况吗？那么它们有相等的情况吗？何时相等？何时相等？22ba 问题问题4 4：s,s,S有相等的
3、情况吗？何时相等？有相等的情况吗？何时相等？图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一缩为一个点，这时有个点，这时有 22=2ababu形的角度形的角度u数的角度数的角度 当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=0结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立222aba b问问5 5：当当a,ba,b为任意实数时，为任意实数时，还成立吗？还成立吗？此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式222ab
4、a b0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到：即：即：)0,0(ba2abab 即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？2abab证明：要证证明：要证 只要证只要证_ab 要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证要证，只要证2(_)0显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.分析法分析法22(0,0,(),()abaabb2abab)0,0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab2 abba特别地，若特别地，若a0，b0，则，则_2a
5、bab通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数，叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；2abab文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围：a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以ABC
6、DEabO如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_2ababOD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样?OD_CD如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过
7、点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.2abab几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式 重要变形：重要变形：2220,0,22ababababababab若则，当且仅当时取等号。（由小到大）（由小到大）1
8、.重要不等式222(,)abab aR bRab当且仅当时等号成立2.基本不等式(0,0)2abababab当且仅当时等号成立两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数均值不等式2.典例分析：典例分析：题型一题型一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值题型二题型二 利用基本不等式利用基本不等式证明不等式与比较大小证明不等式与比较大小题型三题型三 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用110,;xxx例.已知求的最值10,;xxx变式1.已知求的最值13,3xyxxx变式2.若函数当 为何值时，函数有最值，并求其最值。2254xx变式3.求函数y=的最值。结论结论1 1：两个正数积为定值，
9、则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值利用基本不等式求最值的三个关键点：10,0ab（）(2)定值(3)取等条件一正二定三相等5331)3(233-x1)3-x(31y3x:3 xxxx、解解。最最大大值值为为时时，函函数数有有最最大大值值，即即当当且且仅仅当当54,313 xxx.21xx1x2)1()(2)x1()x(1:2 时时有有最最大大值值即即当当且且仅仅当当、解解xxxx2.01,(1-)xyxx例 已知求的最大值。结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值配凑系数配凑系数分析分析:x+(1-2x)不是不是 常数常数.2=1为为 解解:0 x0
10、.12y=x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21218=.当且仅当当且仅当 时时,取取“=”号号.2x=(1-2x),即即 x=14当当 x=时时,函数函数 y=x(1-2x)的最大值是的最大值是 .1418变变2.若若 0 x0，0，若，若 是是 与与 的等比中项，则的等比中项，则ab3a3b3ba11得最小值为（得最小值为（）A.8 B.4 C.1 D.41（2009年天津理年天津理6）B因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、
11、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2四、当堂训练，针对点评a2.（2009山东理山东理12T)设设 满足约束条件满足约束条件 若目标函数若目标函数yx,0y,0 x,02yx,06yx3byaxz （0，0）的最大值为的最大值为12，则，则 的最小值为（的最小值为（）bb3a2 A.B.C.D.4 62538311略解略解：xy02-2202yx063 yxbyaxz(4,6)点选把把（4 4，6 6）代代入入z z=a ax x+b by y得得4 4a a+6 6b b=1 12 2,2 23 32 23 3 2 2a a+3 3b b即即2 2a a+
12、3 3b b=6 6,而而+=+a ab ba ab b6 61 13 3b ba a1 13 32 25 5=+(+)+2 2=,故故A A6 6a ab b6 66 6A2.如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？园的面积最大，最大面积是多少？四、当堂训练，针对点评2.如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花
13、园的面积最大，最大面积是多少？园的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x，BC=242x，矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(242x)m2(242)yxx令因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2当当x=6时，函数时，函数y取得最小值为取得最小值为72222422(6)72yxxx 则(012)x五、课堂总结，布置作业1课堂总结：课堂总结：（1）涉及知识点：）涉及知识点：基本不等式及其应用。基本不等式及其应用。（2）涉及数学思想方法：）涉及数学思想方法：转化与回归思想；数形结合思想；分类与整合转化与
14、回归思想；数形结合思想；分类与整合思想。思想。221R,2(),a bababab那那么么当当且且仅仅当当时时,等等号号成成立立(2)(0,0)2abababab，当且仅当时，等号成立。求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).142.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式两个重要的不等式三、新知建构，典例分析五、课堂总结，布置作业2.作业设计：作业设计：P93习题习题3.3A组组1-23.预习任务：必修预习任务：必修5教材教材87-913.3.2简单的线性规划问题简单的线性规划问题
