1、baxxfd)(iniixf10)(lim 一般地一般地,f(x)在在a,b上上的定的定积分表示介于积分表示介于x轴、曲轴、曲线线y f(x)及直线及直线x a、x b之之间的各部分间的各部分面积的代数和面积的代数和.v2.定积分的几何意义定积分的几何意义v1.定积分的定义定积分的定义u复习复习3、定积分的性质、定积分的性质1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(.性质性质1 1 性质性质2 2 2 babadxxfkdxxkf)()(.性质性质3 3 性质性质4 4 4 abdxdxbaba1.3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.badxxf0)(ab)
2、.如果在区间如果在区间a,b上上 f(x)0,则则 性质性质5 5 性质性质6 6 baabMdxxfabm)()()(ab).性质性质7(7(定积分中值定理定积分中值定理)baabfdxxf)()(.二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第二节微积分的基本公式 第五五章 一、引例一、引例 在变速直线运动中在变速直线运动中,已知位置函数已知位置函数)(ts与速度函数与速度函数)(tv之间有关系之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔物体在时间间隔,21TT内经过的路程为内经过的路程为)()(d)(1221TsTst
3、tvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.)()(的原函数是这里tvts)(xfy xbaoy)(xxhx二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数,)(baCxf则变上限函数则变上限函数xattfxd)()(证证:,bahxx则有则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理定理1.若若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf说明说明:1)定理定理 1 证明了证明了连续函数的原函数是存在连续函数的原函数是存在
4、的的.2)变限积分求导变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为同时为通过原函数计算定积分开辟了道路通过原函数计算定积分开辟了道路.)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx xxbabadxxfdxddxxfdcddxxfdadsin2)(.3)(.2)(.1：求求下下列列导导数数练练习习)(af 0 xxfcos)(sin)(22xxf x06dttxfxF x05dtttfxF x07dttftxxF xxfdttfxFx06 x0 x0 x0/7dttfdtttfdttfxxF
5、 xxfxF5例例1.求求0limxtextd1cos22x解解:原式原式0limx 00P240-8)sin(2cosxex0limxx2e2121cosdxtet 2x例例2.确定常数确定常数 a,b,c 的值的值,使使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c.0 b00原式原式=)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0,故故.1a又由又由221cos1xx,得得.21c ttf txfxd)()(0例例3.,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在在),0
6、(内为单调递增函数内为单调递增函数.证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证只要证0)(xF 20d)(ttfxxfx)()()(xf)0(xP239-7证证,1)(2)(0 dttfxxFx,01)0(F 10)(1)1(dttfF 10)(1 dttf,0 令令F(x)在在 0,1 上连续，且上连续，且,0)(2)(xfxF又),1)(xf)(xF在在1,0上上为为单单调调增增加加函函数数.所所以以0)(xF即即原原方方程程在在1,0上上只只有有一一个个解解.三、牛顿三、牛顿 莱布
7、尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)证证:根据定理根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故故CxxfxFxad)()(,ax 令,)(aFC 得因此因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得得)()(d)(aFbFxxfba记作记作)(xFab)(xFab定理定理2.函数函数,则则例例5.计算计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213)1arctan(3arctan3127例例6.计算正弦曲线计算正弦曲线轴所围成上与在xxy,0sin的面积的面积.解解:0
8、dsinxxAxcos0112)4(yoxxysinP238-4例例7 设设 ,求求 .215102)(xxxxf 20)(dxxf解解:102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2,1上上规规定定当当1 x时时，5)(xf,102152dxxdx原式原式.6 xyo12例例8 求求 .,max222 dxxx解解:由图形可知由图形可知,max)(2xxxf,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122.)()(,00)(912 xxdttfxFxxxexf计计算算设设例例时时，当当0 x xdttfxFx1)()(0
9、时时，当当 xdttfxF1)()(xtdte1;1 eex.31131310301xetext 解解:xtdttdte0201例例10.汽车以每小时 36 km 的速度行驶,速停车,2sm5a解解:设开始刹车时刻为,0t则此时刻汽车速度0v)(10sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶,其速度为tavtv0)(t510当汽车停住时,0)(tv即,0510 t得(s)2t故在这段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt(m)1002)(36hmk刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离?.2sin120 dxx计算计算练习练
10、习1._cos12cos1cos11lim nnnnnn 练习练习2.2sin120 dxx计算计算解解 20220cossin2sin1 dxxxdxx 20cossin dxxx 20sincos xx .0?20cossin dxxx原式原式 2440cossinsincos dxxxdxxx 244sincoscossin0 xxxx .122 练习练习1._cos12cos1cos11lim nnnnnn nnnnn cos12cos1cos11和和式式dxx 10cos1 原原式式.22 上上的的积积分分和和，在在可可看看成成函函数数1,0cos1)(xxf nnini1cos11
11、 1022cos2dxx 102cos2dxx 解解(2019)练习练习2上上的的积积分分和和，在在可可看看成成函函数数,0cos1)(xxf nnnnn cos12cos1cos11和和式式nnini1cos11 解二解二nnini 1cos11 22cos110 dxx原原式式内容小结内容小结,)()(,)(xfxFbaCxf且设则有则有1.微积分基本公式微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理微分中值定理)(abf牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式2.积分上限函数积分上限函数积分求导公式积分求导公式)()()(xfdttfdxdxxa
12、作业作业P243 3;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);123234)(2xxxf备用题备用题解解：1.设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数定积分为常数,d)(10axxf设bxxf20d)(abxxxf2)(2,则10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故应用积分法定此常数故应用积分法定此常数.2.求解解：20dsin2sinxxnxIn的递推公式(n为正整数).由于,dsin)1(2sin201xxxnIn因此1nnII20d)12cos(2xxn20dsinsin)12cos(2xxxxn12)1(21nn1nnII12)1(21nn所以),3,2(n2dcos2201xxI其中
