1、第二节第二节 偏导数偏导数偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系高阶偏导数高阶偏导数小结、作业小结、作业 我们已经知道一元函数的导数是一个很重我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数，同样需要讨论它的变化率问对于多元函数，同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑题常常要求在其它自变量
2、不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念。概念。00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0 hyxfhyxfyxfhy),(),(lim),(0 如如 在在 处处 ),(zyxfu),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxf
3、zyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地一般地 设设),(21nxxxfw ininiixixxxxfxxxxfxwi ),(),(lim110 ),2,1(ni 下面讨论下面讨论 偏导数的计算方法偏导数的计算方法xyxfyxxfxzx),(),(lim0可以看出:定义zx时,变量 y 是不变的,实际上,是对函数),(yxf,将 y 视为常数,关于变量 x 按一元函数导数的定义进行的：xyxfyxxfxzxyx),(),(lim00000),(000d),(d0 xxxyxf求多元函数
4、的偏导数相应的一元函数的导数.实质上是求忘记了,请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数时求偏导数时,只要将只要将 n 个自变量个自变量中的某一个看成变量中的某一个看成变量,其余的其余的 n1个个自变量均视为常数自变量均视为常数,然后按一元函数然后按一元函数的求导方法进行计算即可的求导方法进行计算即可 .解法一解法一)(用用定定义义 21yxxz.8 xzxzx)2,1()2,1(lim0解法二解法二)(用用定定义义 )2,1(),(yxxz.8 1)2,(xdxxdz 12)46(xxx解法三解法三值值）先先求求偏偏导导函函数数
5、再再代代函函数数()2,1(),(yxxz)2,1(),(22)3(yxxyxyx)2,1(),()32(yxyyx为常数为常数视视.8 .arctan 的的偏偏导导数数求求yxz xyxyxxz211 ,22yxyyyxyxyz211 .22yxx将 y 看成常数y1将 x 看成常数2yx 例例解解 .)0(的偏导数的偏导数求求xxzy 1yxyxz )(1aaxax ln xxyzy ln)(aaaxx将将 y 看成常数时看成常数时,是对幂函数求导是对幂函数求导.将将 x 看成常数时看成常数时,是对指数函数求导是对指数函数求导.例例解解 .32的偏导数的偏导数求求zxyxeu ;)1(23
6、2yexuzxyx ;232yxeyuzxyx .)3(232zezuzxyx 例例解解.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的的偏偏导导（函函）数数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例 解解,)0,0(),(时时当当 yxxxyxxyyxf 22),(,)()(22222yxxyy 时时，当当)0,0(),(yx22222 )(2)(yxxyxyxyy 为为常常量量视视00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim0 xxxfxffxx ,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx，得得由由 对称性.)0,0(),(0)0,
7、0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy注注求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。证证 VRTVTpp),(;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV.1 pVRT 警告各位！偏导数的符号yx,是一个整体记号,z与yx,的商.不能像一元函数那样将yzxz,看成是xyzO1T2T.tan),(000yyxfxx平面上平面上在在 tan ),(00 0 xyxfyy上上在平面在平面),(0yxfz),(0yxfz 偏导数的几何意义偏导数的几何意义P),(yxfz 0 x0y0P ),(000上
8、的曲线上的曲线就是平面就是平面xxyyxf01 I ),(xxyyxfz .),(,000处处切切线线的的斜斜率率即即点点在在点点yxyy ),(000上上的的曲曲线线就就是是平平面面yyxyxf .),(,000处处切切线线的的斜斜率率即即点点在在点点yxxx 0 I ),(yyxyxfz 二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的,而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数的几何意义说明了一个问题偏导数的几何意义说明了一个问题:二、二、偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导
9、 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，,则则取取xky .1limlim22222002200kkxkxxkyxyxyxyx由由 k 的任意性及极限的唯一性可知的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在该极限不存在,解解 .)0 ,0(),(处处不不连连续续在在点点故故函函数数yxf但是但是 ,00lim)0,0()0,(lim00 xxxfxf ,00lim)0,0(),0(lim00yyyfyf,0)0,0(xf 0)0,0(,)0(),(2222fyxyxxyyxf.0)0,0(yf ,)0 ,0(),(且且处可偏导处可偏导在点在点即函数即函数yxf
10、反之反之若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？解答解答不能不能.例如例如,),(22yxyxf 在在)0,0(处处连连续续,但但 )0,0()0,0(yxff 不不存存在在.对多元函数来说对多元函数来说,函数的偏导数函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系存在与否与函数的连续性无必然关系.这是多元函数与一元函数的这是多元函数与一元函数的一个本质区别一个本质区别.22(,),xxzzfx yxxx22(,),yyzzfx yyyy2(,),xyzzfx yyxx y).,(2
11、yxfxyzyzxyx 三、高阶偏导数三、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.2323(,),xxxzzfx yxxx2322(,),yyxzzfx yxyyx23(,),xyyzzfx yyx yx y y .111xyzyzxnnnn 解解 xz,yyyx 32233 yz;xxyyx 2392 22xz,xy26 33xz,y26xyz 2.19622 yyx yxz2,yyx19622 xzx 22xzx xzy=问题：问题：混合偏导数一定与求导顺序无关吗？混合偏导数一定与求导顺序无关吗？.)0,0()0,
12、0(),(0)0,0(),(),(223点点处处的的二二阶阶混混合合偏偏导导数数在在求求 yxyxyxyxyxf 例例 解解,)0,0(),(时时当当 yx 223),(yxyxxyxfx,)(232224222yxyxyxyx 2223222)(2)(3yxyxxyxyx ,)0,0(),(时时当当 yx00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim0 xxxfxffxx )0,0(),(0)0,0(),()(23),(2224222yxyxyxyxyxyxyxfx )0,0()()0,0(yxxyff 0)0,0(),0(lim0yfyfxxy,0000lim0 yy.1)0,0(yx
13、f同同理理可可得得).0,0()0,0(yxxyff 显显然然定定理理（充充分分条件）若若fx y(x,y)及及 f y x(x,y)在在(x 0,y 0)连连续续，那那末末 f x y(x 0,y0)=f y x(x 0,y 0)解解.,cos)()00()(2322,x,yaxxyfxfbyex,yf 、求求设设,cos byaexfax ,cos222byeaxfax yfxxyf2223,sin2bybeaax 2223xfyyxf连连续续.0)0,0(),(23 yxxyf另解另解同同前前，得得;cos),(2byeayxfaxxx yaxybyeyxfcos),(,sin bybe
14、ax,0)0,0(yf,0)0()0,0(xyxf.0)0()0,0(xyxxf?)0,0()()0,0(xyyxff .)0,0(xyf .02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu.0 2222222222)()(yxyxyxxy 证毕证毕由对称性，有由对称性，有1、偏导数的定义、偏导数的定义2、偏导数的计算、偏导数的物理意义、偏导数的计算、偏导数的物理意义、偏导数的几何意义偏导数的几何意义4、高阶偏导数、高阶偏导数 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的（相等的充分充分条件）条件）四、小结四、小结3、偏导数存在与连续性的关系、偏导数存在与连续性的关系练习题练习题练习题答案练习题答案zzyxyxzxu21)(1)(,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()(2、作业作业P18 1（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）
