1、2.4 导数的应用 二二利用导数研究函数性态利用导数研究函数性态函数的单调性的判别函数的单调性的判别学习重点学习重点函数极值及最值的确定方法函数极值及最值的确定方法曲线凹凸性的判别及拐点的确定曲线凹凸性的判别及拐点的确定高等数学高等数学 一、函数单调性的判别定理一、函数单调性的判别定理（1）如果函数如果函数 在在 内有内有 ，则函数在，则函数在 上是单调递增的。上是单调递增的。()f x(,)a b()0fx,a b（2）如果函数如果函数 在在 内有内有 ，则函数在，则函数在 上是单调递减的。上是单调递减的。()f x(,)a b()0fx,a b设函数设函数 在在 上连续，在上连续，在 内可
2、导，则内可导，则()f x,a b(,)a b其中导数为零的点称为其中导数为零的点称为驻点驻点简证：简证：理上满足拉格朗日中值定在显然不妨设212121,)(),(,xxxfxxbaxx例例1 判别函数判别函数 的单调性。的单调性。arctanyx解解 因为因为210,(,)1yxx 所以，函数在所以，函数在 内是单调递增的。内是单调递增的。(,)1212)()()(xxxfxff使得0)(f),21xx（至少存在一点)()(21xfxf例例2 求函数求函数 的单调区间的单调区间3226187yxxx解解 因为因为261218631yxxxx 令令0y 得得驻点驻点121 3xorx 列表讨论
3、列表讨论+0_0+3-1xyy,1 1,33,所以，函数在所以，函数在 及及 内单调增加，在内单调增加，在 内单调减少。内单调减少。,1 3,1,3例例3 求函数求函数 的单调区间的单调区间32yx解解 因为因为1332233yxx 当当 时，时，不存在不存在0 xy当当 时，时，当，当 时，时，0 x 0y0 x 0y所以，函数在所以，函数在 内单调增加，在内单调增加，在 内单调减少。内单调减少。,00,小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在的点可能将单调区间分开。存在的点可能将单调区间分开。例例4：求函数：求函数 单调区间单调区间31x
4、y 解：解：3231 xy当当 时，时，不存在不存在0 x y即在即在0处不可导处不可导0)(),0(;0)()0,(xfxxfx所以，函数在定义域所以，函数在定义域R内单调增内单调增思考其图像，并与函数思考其图像，并与函数 图像作比较图像作比较3xy 例例4 求函数求函数 的单调区间的单调区间xxyln2 解：解：xy12 ,0 y令得到驻点，得到驻点，21 x注：注：0 x0),21(;0)21,0(yxyx所以，函数在所以，函数在 内单调减，在内单调减，在 内单调增。内单调增。)21,0(),21(确定函数的单调区间还应注意函数本身的定义域确定函数的单调区间还应注意函数本身的定义域小结：
5、小结：求函数的单调区间的一般方法：求函数的单调区间的一般方法：（1）求函数的一阶导数；）求函数的一阶导数；（2）找出所有的）找出所有的驻点驻点及及一阶导数不存在的点一阶导数不存在的点；（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号符号；一阶导数符号决定函数的单调性一阶导数符号决定函数的单调性二、函数的极值及判定二、函数的极值及判定极值的概念极值的概念：如果函数：如果函数 在点在点 的某邻域内有定义，对于的某邻域内有定义，对于该邻域内任意该邻域内任意异于异于 点的点的 ，都有，都有 ，则称，则称为函数的一个为函数的一个极小值极小值；如果有；如果有
6、 ，则称，则称 为函数为函数的一个的一个极大值极大值。极大值和极小值统称为函数的。极大值和极小值统称为函数的极值极值。使函数取。使函数取得极值的点称为函数的得极值的点称为函数的极值点极值点。()f x0 xx0()()f xf x0()()f xf x0 x0()f x0()f x 由于函数在不同的区间的单调性不同，由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现因而在图象上会出现“峰峰”与与“谷谷”，使函数，使函数值在局部范围内出现值在局部范围内出现“最大最大”、“最小最小”，称，称之为函数的极大、极小值。之为函数的极大、极小值。-13（1）极值一定在区间）极值一定在区间内部内部取得。取
7、得。如函数如函数Y=x 在区间在区间 1，2 内既无极大值，也无内既无极大值，也无极小值。极小值。（2）某区间内函数极值可以有多个。）某区间内函数极值可以有多个。（3）极小值可以大于极大值极小值可以大于极大值。函数的极值说明函数的极值说明函数的极值是一个函数的极值是一个局部特性局部特性，最值是最值是全局全局特性特性ABCDExy定理定理 如果函数如果函数 在点在点 处可导，且在点处可导，且在点 处有极值，处有极值，则则()yf x0 x0 x0()0.f x函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。轴。ABCDExy即可导的极值点为驻点即可导
8、的极值点为驻点究竟如何判断函数的极值？究竟如何判断函数的极值？极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件设函数设函数 在点在点 的某个空心邻域内可导的某个空心邻域内可导()yf x0 x00,xxx00,xx x()0fx则则 在点在点 处取得处取得极大值极大值；()yf x0 x()0fx1（）()0fx00,xxx()0fx00,xx x则则 在点在点 处取得处取得极小值极小值；()yf x0 x2（）0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxy判断函数单调性和极值的步骤：判断函数单调性和极值的步骤：1、求函数的一阶导数、求函数的一阶导数2、找出函数的驻点或一阶不可导点、找出函数的驻点或
9、一阶不可导点3、观察这些点左右两侧一阶导数符号的变化从、观察这些点左右两侧一阶导数符号的变化从而判定而判定例例1 求函数求函数 的单调区间及极值的单调区间及极值3226187yxxx解解 因为因为261218631yxxxx 令令0y 得驻点得驻点121 3xorx 列表讨论列表讨论+极小值极大值0_0+3-1xyy,1 1,33,所以，函数有极大值所以，函数有极大值 ，有极小值，有极小值 。(1)3f(3)61f 一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，函数过极小值。函数过极小值。例例2 求函数求函数 的单调区间和极值的单调区间和极
10、值32yx解解 因为因为1332233yxx 当当 时，时，不存在不存在0 x y当当 时，时，当，当 时，时，0 x0y0 x0y所以，函数有极小值所以，函数有极小值 。(0)0f函数单调递增函数单调递增函数是单调递减函数是单调递减0,0 xx 小结：驻点或一阶导数不存在的点小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能可能是函数的极值是函数的极值点，点，关键关键是判断这些点两侧的是判断这些点两侧的一阶一阶导数符号是否变化导数符号是否变化例例3 求函数求函数 的极值的极值3yx所以，函数无极值。（虽然有所以，函数无极值。（虽然有 ）(0)0f 为驻点为驻点解：解：032 xxy极值存在的第二充分条件极
11、值存在的第二充分条件000()0),(0(),fxfxyf xx 设函数在点 处具有二阶导数，且则001()0()()fxf xf x（）当时，为的极小值；002()0()()fxf xf x（）当时，为的极大值；例例4 求函数求函数 的极值的极值3226187yxxx解解 因为因为261218631yxxxx 1212yx 所以，函数有驻点所以，函数有驻点121 3xorx 而而所以所以(1)240,(3)240yy 所以，函数有极大值所以，函数有极大值 ，有极小值，有极小值 。(1)3f(3)61f 注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数
12、不为零时，使用第二充分条件判别极值较易；使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，而二阶导数为零的点，必须用第一充分条件判别。必须用第一充分条件判别。三、函数的最大值与最小值三、函数的最大值与最小值 已有结论：如果函数在已有结论：如果函数在 a,b上连续，则函数在上连续，则函数在该区间上一定有最大值和最小值。该区间上一定有最大值和最小值。求函数最值的一般步骤与方法求函数最值的一般步骤与方法（1）求函数的导数；）求函数的导数；（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；导数不存在的点；（3）计算函数在上述点处的函数值，以
13、及在端点处的）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。例例5 求函数求函数 在在 上的最值。上的最值。32392yxxx0,4解解 因为因为23693(1)(3)yxxxx 令令0y 得得121,3xx（舍去）而而(3)29,(0)2,(4)22fff 所以函数所以函数 在在 上的最大值是上的最大值是32392yxxx0,4(3)29f(0)2f ；最小值是最小值是生产实践和科学实验中，常会遇到生产实践和科学实验中
14、，常会遇到“最好最好”、“最省最省”、“最高最高”等这样的实际问题。例如，在一定条件下，怎等这样的实际问题。例如，在一定条件下，怎样使用材料最省、利润最大、投入最小等问题。样使用材料最省、利润最大、投入最小等问题。在医药学中也会遇到类似的问题。比如口服或肌内注射在医药学中也会遇到类似的问题。比如口服或肌内注射一定剂量的某种药物后，血药浓度何时达到最高值？一定剂量的某种药物后，血药浓度何时达到最高值？一种疾病与年龄有关，则什么年龄的发病率最高？等等一种疾病与年龄有关，则什么年龄的发病率最高？等等再转化为求某一函数的最大值或最小值问题再转化为求某一函数的最大值或最小值问题解决这些问题需借助数学模型
15、展现其函数关系式解决这些问题需借助数学模型展现其函数关系式例例6（应用题）某细菌群体的数量（应用题）某细菌群体的数量N(t)是由下列函数模型确定：是由下列函数模型确定：其中其中t是时间，以周为单位。试问细菌的群体在是时间，以周为单位。试问细菌的群体在多少周后数量最大，其最大数量的多少？多少周后数量最大，其最大数量的多少？25000()50tN tt解解 因为因为222500050()50tN tt令令()0N t得得5 2t （舍去负值）（舍去负值）由问题的实际意义由问题的实际意义，可知可知 时时，5 2t 250 2353.55其数量为其数量为细菌群体的数量最大，细菌群体的数量最大，例：某地
16、沙眼的患病率与年龄（例：某地沙眼的患病率与年龄（t）的关系为）的关系为0.0500.0722.27(0.0500.072)y0,t16.6ttyee 问：患病率最高的年龄是多少？最高患病率是多少？问：患病率最高的年龄是多少？最高患病率是多少？解：解：0.0500.0722.27()ttyee结合实际分析，结合实际分析，t=16.6时为患病率最高时为患病率最高代入函数，代入函数，min0.3028y某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为套公寓要出租，当租金定为每月每月1800元时，公寓会全部租出去当租金每月元时，公寓会全部租出去当租金每月增加增加100元时，就有一套公寓租不出去
17、，而租出元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费去的房子每月需花费200元的整修维护费元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？试问房租定为多少可获得最大收入？例例7 7每月总收入为每月总收入为)(xR(200)x180050100 x设房租为每月设房租为每月 元，元，解解租出去的房子有租出去的房子有 套，套，180050100 xx()(200)68100 xR xx1()68(200)100100 xR xx7050 x0)(xR3500 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为3500元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为3500()(3500
18、200)68100R x108900()元 例例8 某厂生产某种商品，某年销售量为某厂生产某种商品，某年销售量为100万件，每批生产需万件，每批生产需增加准备费增加准备费1000元，而每件产品的库存费为元，而每件产品的库存费为0.05元，如果年销售元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完后立即再生产下一批（此时商品库存率是均匀的，且上批销售完后立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费与库存费数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费与库存费之和最小？之和最小？解解 设总费用为设总费用为y，共分，共分x批生产，由题设可得函数关系批生产，由题设可得函数关系
19、10000002500010000.051000,02yxxxxx2250001000yx 令令0y 得唯一驻点得唯一驻点5x 由问题的实际意义，应分由问题的实际意义，应分5批生产，可使两种费用之和最小。批生产，可使两种费用之和最小。一般地，对于实际应用问题，如果可以判断目标一般地，对于实际应用问题，如果可以判断目标函数的最值存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，函数的最值存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，则该驻点即为最值点。则该驻点即为最值点。四、曲线的凹凸向及拐点四、曲线的凹凸向及拐点 yxo()yf xabyo()yf xabx 定义定义 如果曲线弧总位于它的每一点的切线的如果曲线弧总位
20、于它的每一点的切线的上方上方，则称该曲线弧是则称该曲线弧是凹的凹的；如果曲线弧总位于它的每一点如果曲线弧总位于它的每一点的切线的的切线的下方下方，则称该曲线弧是，则称该曲线弧是凸的凸的凹弧凹弧凸弧凸弧凹凸弧的判别定理凹凸弧的判别定理定理定理 设函数设函数 在区间在区间 上具有二阶导数上具有二阶导数 ，则在，则在该区间上：该区间上：（1）当）当 时，曲线弧时，曲线弧 是凹的；是凹的；（2）当）当 时，曲线弧时，曲线弧 是凸的。是凸的。()f x(,)a b()fx()0fx()0fx()yf x()yf xbaxy()0f x()0f x()0fx()0fxbaxy()0f x()0f x凹、凸
21、弧的分界点，称为曲线的拐点凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflection point)。例例1 试证明函数试证明函数 的图形是凹的。的图形是凹的。arctanyxx21arctan1yxxx 222222112201(1)(1)xxxyxxx 所以，函数的图形在所以，函数的图形在 内是凹的。内是凹的。(,)证明证明 函数的定义域为函数的定义域为 (,)判断曲线判断曲线 y=lnx 的凹凸性的凹凸性210yx 1yx 内是凸的。内是凸的。(0,)解答解答解解 函数的定义域为函数的定义域为 (,)例例2 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。211yx222(1)xyx 22
22、32(31)(1)xyx 令令0y 得得1333x 列表列表因为因为333333 (,)(,)(,)333333 0 0 0 0 0 xyy 凹拐点凸拐点凹思考其图像思考其图像例例3 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。3yx解解 因为因为 523312,39yxyx 所以，当所以，当 时，时，当，当 时，时，0 x 0y 0 x 0y所以，曲线在所以，曲线在 内是凹的，在内是凹的，在 内是凸的。内是凸的。有拐点有拐点 。(,0)(0,)(0,0)小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，可能小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，可能 对应为拐点；对应为拐点；关键分析其左右两侧曲
23、线的凹凸性是否发生变化，。关键分析其左右两侧曲线的凹凸性是否发生变化，。是二阶不可导点是二阶不可导点0 x补充补充 曲线的渐近线：曲线的渐近线：如果曲线如果曲线 上的点上的点M沿曲线离坐标原沿曲线离坐标原点无限远移时，点点无限远移时，点M与某一条直线与某一条直线L的距离趋于零，则称直线的距离趋于零，则称直线L为为曲线曲线 的一条渐近线。的一条渐近线。()yf x()yf x （1）若）若 或或 则则 为曲线的为曲线的垂直渐近线垂直渐近线。lim()xaf xlim()xaf xxa （2）若）若 或或 则则 为曲线的为曲线的水平渐近线水平渐近线。lim()xf xAlim()xf xAyA函数
24、作图的一般步骤：函数作图的一般步骤：（1）求出函数）求出函数f(x)的定义域，确定图形的范围；的定义域，确定图形的范围；（2）讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；）讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；（3）找出渐近线，确定图形的变化趋势；）找出渐近线，确定图形的变化趋势；（4）计算函数的一阶、二阶导数，并找出使一阶或二阶）计算函数的一阶、二阶导数，并找出使一阶或二阶导数为导数为 零的点，及一阶或二阶导数不存在的点；零的点，及一阶或二阶导数不存在的点；（5）将上述点插入到定义域，列表讨论函数的单调性、）将上述点插入到定义域，列表讨论函数的单调性、曲线的凹凸向，确定
25、函数的极值和曲线的拐点；曲线的凹凸向，确定函数的极值和曲线的拐点；（6）适当选取一些辅助点，一般常找出曲线和坐标轴的）适当选取一些辅助点，一般常找出曲线和坐标轴的交点；交点；例例4 分析函数分析函数 的单调、凹凸及其图像。的单调、凹凸及其图像。23xyx解解 函数的定义域为函数的定义域为 ,33,33,函数是奇函数，所以函数的图形关于原点对称。函数是奇函数，所以函数的图形关于原点对称。因为因为 33lim(),lim(),lim()0 xxxf xf xf x 所以所以 是曲线的垂直渐近线，是曲线的垂直渐近线，是曲线的是曲线的水平渐近线。水平渐近线。3x 0y 又又 22230,3xyx 232293x xyx 令令 0,y 得得 0;x 当当 时，时，不存在不存在3x y所以函数在定义域内所以函数在定义域内单调递增单调递增。列表列表 ,3 3,0 0 0,3 3,0 0 0 0 0 xyy 凹 凸 拐点 凹 凸画图画图 33oxy
