1、第三章第三章 导数的应用导数的应用 第一节第一节 微分中值定理微分中值定理 第二节第二节 函数的性质函数的性质 第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 第一节第一节 微分中值定理微分中值定理 本节主要内容本节主要内容:一一.罗尔中值定理罗尔中值定理二二.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理三三.柯西中值定理柯西中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理 费马（费马（FermatFermat）引理）引理函数函数y=f(x)在在N(x0,)有定义，有定义，y=f (x0)存在，存在，f(x)f(x0)(f(x)f(x0)0()0 fx 定义定义3.1.1 3.1.1 导数等于零的点称为函数的驻点导数等于零的
2、点称为函数的驻点（或稳定点、临界点（或稳定点、临界点)引理的直观意义引理的直观意义:可导函可导函数极值点处的切线平行于数极值点处的切线平行于x轴轴.定理定理3.1.1 3.1.1（罗尔中值定理）（罗尔中值定理）设函数设函数y y=f f(x x)在区间在区间 a a,b b 上有定义，如果上有定义，如果 （1 1）函数）函数 f f(x x)在闭区间在闭区间 a a，b b 上连续；上连续；（2 2）函数）函数 f f(x x)在开区间（在开区间（a a，b b）内可导；）内可导；（3 3）函数）函数 f f(x x)在区间两端点处的函数值相等，即在区间两端点处的函数值相等，即f(a)=f(b
3、)f(a)=f(b)；则在（；则在（a a，b b）内至少存在一个点）内至少存在一个点 a a bb，使得使得f f ()=0.)=0.例如例如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(上可导上可导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf 因为函数 f(x)在区间 a,b 上连续，函数 f(x)在闭区间 a,b 上必能取到最大值 M 和最小值 m,考虑两种可能的情况：(1)若 m=M,则 f(x)在 a,b 上恒等于常数 M(或 m),因而在(a,b)内处处有f (x)=0，因此可取(a,b)内任意一点作为而使得f
4、 ()=0成立。定理的证明定理的证明 (2)若 mM，因为 f(a)=f(b)，因此m、M 不可能同时是两端点的函数值，即最小值 m 和最大值 M至少有一个在开区间(a,b)内部取得，不妨设 f()=M，(a,b).由条件(2)和费马定理推知 f ()=0.罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直于端点外处处有不垂直于x x轴的切线，并且两端点处纵轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点坐标相等，那么在曲线上至少存在一点 ，在该点，在该点处的切线平行于处的切线平行于x x 轴轴(如下图）。如下图）。1.1.罗尔定理中的罗尔
5、定理中的是是(a a,b b)内的某一点，定理仅内的某一点，定理仅从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值；值；2.2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件条件均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件不全满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看不全满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下例子：如下例子：两点说明：两点说明：()0101xxf xx时例时10 xy.0)(,f使使不不例例;1,1,)(xxxf.0)(,f使使不不10 xy1).
6、1()0()3(ff(1)()0,1f x 在在上上连续连续(2)()(0,1)f x 在在内可导内可导(3)(1)(1).ff(1)()1,1f x 在在上上连续连续(2)()(1,1)f x 在在内可导内可导例例10 xy;1,0,)(xxxf.0)(,f使使不不(3)(0)(1).ff(1)()0,1f x 在在上上连续连续(2)()(0,1)f x 在在内可导内可导例例1 1 验证罗尔中值定理对函数验证罗尔中值定理对函数f f(x x)=)=x x3 3+4+4x x2 2-7-7x x-10-10 在区间在区间-1,2-1,2上的正确性，并求出上的正确性，并求出 解得解得令令f f
7、(x x)=)=3x x2 2+8+8x x-7=0-7=0 x4373 （1 1）f f(x x)=)=x x3 3+4+4x x2 2-7-7x x-10-10在区间在区间-1,2 上连续；上连续；（2 2）f f (x x)=)=3x x2 2+8+8x x-7-7在（在（-1,2）内存）内存在；在；（3 3）f f(-1)=f f(2)=0；所以所以 f f(x x)满足定理的三个条件满足定理的三个条件.374(1,2)3 则则就是要找的点，显然有就是要找的点，显然有f ()=0.解解例例2 2 证明方程证明方程x x5 5-5-5x x+1=0+1=0有且仅有一个小于有且仅有一个小于
8、1 1的正的正实根实根存在性：令存在性：令 f f(x x)=)=x x5 5-5-5x x+1+1，则则f f(x x)在在0,10,1上上连续连续f f(0)=1(0)=1，f f(1)=-3(1)=-3，由介值定理：至少存在一点，由介值定理：至少存在一点x x0 0(0,1),(0,1),使使f f(x x0 0)=0)=0，x x0 0即为方程的小于即为方程的小于1 1的正实的正实根根.唯一性：设另有唯一性：设另有x x1 1(0,1),(0,1),x x1 1 x x0 0,使使f f(x x1 1)=0)=0因为因为f f(x x)在在x x1 1，x x0 0之间满足罗尔定理的条
9、件之间满足罗尔定理的条件所以至少存在一点所以至少存在一点(在在x x1 1，x x0 0之间之间),),使得使得f f ()=0)=0但但f f (x x)=5)=5x x4 4-50,-50,x x(0,1),(0,1),矛盾矛盾,所以为唯一实根所以为唯一实根.证明证明例例3 3 不求函数不求函数f f(x x)=()=(x x-1)(-1)(x x-2)(-2)(x x-3)-3)的导数，说的导数，说明方程明方程 f f (x x)=0)=0有几个实根有几个实根 函数函数f f(x x)在在R R上可导上可导,所以在区间所以在区间1,2,2,31,2,2,3上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定
10、理的条件,所以在区间（所以在区间（1,2)1,2)（2,3)2,3)内内分别至少有一实根；分别至少有一实根；又又 f f (x x)=0)=0是二次方程是二次方程,至多有二个实根；至多有二个实根；所以方程所以方程f f (x x)=0)=0 有且仅有两个实根有且仅有两个实根,它们分别落在它们分别落在区间（区间（1,2)1,2)（2,3)2,3)内内解解定理定理3.1.2（拉格朗日中值定理）（拉格朗日中值定理）设函数设函数y=f(x)满足满足（1）在闭区间）在闭区间a，b上连续上连续；（2）在开区间）在开区间（a，b）内可导）内可导；那么在那么在(a，b)内内至少存在一点至少存在一点(a b)，
11、使得，使得 f(b)-f(a)=f ()(b-a)或或)()()(fabafbf二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理注意到注意到,Rolle,Rolle定理是定理是LagrangeLagrange定理的特殊情况。定理的特殊情况。证明思想证明思想构造辅助函数法构造辅助函数法 由于证明这个定理，目前只有由于证明这个定理，目前只有RolleRolle定理可定理可用，因此想若能构造一个辅助函数用，因此想若能构造一个辅助函数 (x x),),使其满足使其满足RolleRolle定理的条件，同时想办法接近要证明的结论定理的条件，同时想办法接近要证明的结论.则函数则函数j j(x x)在区间在区间 a
12、a b b 上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件(1)(1)(2)(2)又又作辅助函数作辅助函数f bf axf xxba()()()().a()b(),b f aa f bba()()所以，由罗尔中值定理，在所以，由罗尔中值定理，在(a a,b b)内至少存在一点内至少存在一点 ,使使f bf afba()()()()0 即即 f f(a a)-)-f f(b b)=)=f f ()()(b b-a a)定理的证明定理的证明拉格朗日中值公式又称有限增量公式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.1.1.拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充分不必要条件
13、；的充分不必要条件；2.2.当当f f(a a)=)=f f(b b)时，拉格朗日中值定理即为罗时，拉格朗日中值定理即为罗尔中值尔中值 定理；定理；00()()()f xxf xfx 3.设设f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导内可导,x0,x0+x(a,b)则有则有()yfx 即即几点说明：几点说明：拉格朗日定理的几何意义拉格朗日定理的几何意义：当曲线方程满足拉格：当曲线方程满足拉格朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点，使得该，使得该点的切线平行于曲线两端点点的切线平行于曲线两端点(a,f(a)与与(b,f(b)的连的连线，其斜率为线
14、，其斜率为f bf akfba()()()推论推论1 1设设y=f(x)在在a,b上连续，若在上连续，若在(a,b)内内的导数恒为零，则在的导数恒为零，则在a,b上上f(x)为常数为常数.fxf xC()0()推论推论2 2 如果函数如果函数y y=f f(x x)与与y y=g g(x x)在区间在区间(a a,b b)内的导数处处相等，即内的导数处处相等，即f f (x x)=)=g g(x x)，则这两个，则这两个函数在函数在(a a,b b)内只相差一个常数，即内只相差一个常数，即f f(x x)-)-g g(x x)=)=C C 设设f f(x x)=arcsin)=arcsinx
15、x+arccos+arccosx x,由推论由推论1 1知知 f f(x x)=C)=C所以所以xxxarcsinarccos(11)2例例4 4证明：证明：fxxx2211()011 又因为又因为f(0)arcsin0arccos0022C2 即即xxxarcsinarccos(11)2证明证明则则f(x)f(x)在在0,10,1上连续，又上连续，又 设设f f(x x)=ln(1+)=ln(1+x x),),则则f f(x x)在在0,0,x x 上上满足拉格朗日中值定理的条件，满足拉格朗日中值定理的条件，即即由由于于因为因为00 0时，时，xxxxln(1)1 f xffxx()(0)(
16、)(0),(0)所以上式变为所以上式变为ffxx1(0)0,()1 xxxx11 xxln(1)1 即即xxxxln(1)1 证明证明定理定理3.1.3（柯西中值定理）（柯西中值定理）设函数设函数y=f(x)与与y=g(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导，且内可导，且g(x)在在(a,b)内恒不为零，则至少存在内恒不为零，则至少存在一点一点(a,b)，使得，使得 f bf afg bg ag()()()()()()注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g g(x x)=)=x x时时的一种特例。的一种特例。三、柯西中
17、值定理三、柯西中值定理()()()()0()()f bf agfg bg a ()分析分析:()()g bg a()()gba ab 0 问题转化为证问题转化为证()()()()()()()f bf axg xf xg bg a 构造辅助函数构造辅助函数证证:作辅助函数作辅助函数()()()()()()()f bf axg xf xg bg a ()()()()()()()()f b g af a g babg bg a ,),(,)(内可导在上连续在则babax且且,),(ba使使,0)(即即由罗尔定理知由罗尔定理知,至少存在一至少存在一点点()()().()()()f bf afg bg
18、ag 思考思考:柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗?()()()(),(,)f bf afbaa b()()()(),(,)g bg agbaa b 两个两个 不不一定相同一定相同错错!上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论.()()()()()()f bf afg bg ag ()g()g a()()xg tyf t )(af()g b)(bf()()dyftdxg t 弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率xyO几何意义：几何意义：注意：注意：1.1.微分中值定理的条件、结论及关微分中值定理的条件、结论及关系系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理()()f bf a()g xx()()f bf a()g xx 2.2.微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1)(1)证明恒等式证明恒等式(2)(2)证明不等式证明不等式(3)(3)证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数费马引理费马引理内容小结内容小结感谢下感谢下载载
