1、高等数学(下)第七七章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C.xzy1oC2又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.022222xayxyxazyxzaozyxo二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程称它为空间曲线的 参数方程.
2、)(txx 例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度,称为螺距螺距.)(tyy)(tzz M将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:例例1.将下列曲线化为参数方程表示:6321)1(22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解:(1)根据第一方程引入参数,txcostysin)cos26(31tz(2)将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为得所求为)20(ttxaacos22tyasin2tazcos2121)20(t例例2.求空间曲线:)(tx)(ty)(tz)(t绕 z 轴旋转时的
3、旋转曲面方程.解解:,)(,)(,)(1tttM任取点点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,),(zyxM则cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t这就是旋转曲面满足的参数方程.例如例如,直线1xty tz2绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 ,得旋转曲面方程为4)(4222zyxxzoy如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线
4、C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC例例3 3 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.222112xyzz解解（1）消去变量）消去变量z后得后得223,4xy在在 面上的投影为面上的投影为xoy223,40 xyz所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz13,|;220zxy（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz13,|.220zyx（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，
5、12z 补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体空间立体曲面曲面zxyo1C如如:所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0,122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域.作业作业习题册习题册 第七章第六节第七章第六节推广推广第八章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 多元函数微分学 第九章 第一节第一节一、平面点集与一、平面点集与 n 维空间维空间二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多
6、元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一、平面点集与一、平面点集与n维空间维空间如数轴上，点P与数x之间的关系。xxP1R当平面引进了一个直角坐标系后，平面上的点P与有序实数组),(yx之间就建立了一一对应的关系。P),(yx2Rxy0二维空间中对应的点P),(yx的全体构成了坐标平面。记为：RyRxyxRRR,21、平面点集、平面点集若平面点的集合E由具有某种性质的点P 的元素),(yx的全体组成记为：PyxyxE具有的性质,如：2OPPE4,22yxyxE由集合的概念得：)(0oPPU00 PP2.邻域邻域点集,),(0
7、PPU称为点 P0 的 邻域邻域.例如例如,在平面上,),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中,),(),(0zyxPU(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成.)(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx邻域和区域是研究多元函数时经常要用到的两个基本概念。下面主要在平面和空间直角坐标系中引入。在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 ),(),U(0yxP。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xx0 yy3.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,
8、若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.(2)聚点聚点若对任意给定的 ,点P 的去心),(PUE邻域内总有E 中的点,则称 点P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.E 的边界点)D(3)开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,
9、则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;例如，例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyo21xyoxyo21xyo 整个平面 点集 1),(xyx是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.11oxy 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无4.n 维空间维空间n 元有序数组),(
10、21nxxx),(21nxxx的全体称为 n 维空间维空间,Rnn 维空间中的每一个元素称为空间中的kx数称为该点的第 k 个坐标坐标.记作即RRRRnnkxxxxkn,2,1,R),(21一个点点,当所有坐标时，0kx称该元素为 nR中的零元,记作 O.二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式,2hrV,(为常数）RVTRp)2(cbapcba0,0),(hrhr0,0),(TTVTVcbacbacba,0,0,0),()()(cpbpappShr定义定义1.设非空点集,RnD DPPfu,)(或点集 D 称为函数的定义域定义域;
11、数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地,当 n=2 时,有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当 n=3 时,有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作),(21nxxxfu函数yxfz,f中表示对应法则，此法则也可用其他字母来表示，函数也可记成yxz,yxzz,等同样自变量yx,和因变量z也可换成其他字母。设点00,yx是yxfz,定义域内的一点，z有唯一确定的值与它对应。这个值就称为二元函数 Pfz yxfz,在点00,yx处的函数值，函数值，记着;00,0,000yxfyxfzyxyx或用点函数点函数表示：在点000
12、,yxP处的函数值：0Pfz 若函数yxfz,在点yxP,处对应有函数值存在，则称此函数在点yxP,处是有定义的，否则称此函数在点yxP,处无定义。若函数yxfz,在平面D域中点点有定义，则称yxfz,在平面D域中定义。例例1：求)arcsin(yxz的定义域，并作其图形。解解：由反三角函数的定义知：11yx其点集介于直线1 yx1 yx之间。xy0Dxzy例如,二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域图形为中心在原点的上半球面.,)sin(,yxz 又如12R),(yxxyzo二元函数 z=f(x,y),(x,y)D的图形一般为空间曲面 .说明说明:说明;会求函数的定义域xyz
13、 0 xyD:xyoyxz111:yxDxy三元函数)arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球例例2 设,),(222yxyxfxy求.),(2yxfxyuyxvxy23vuy 3vuux),(vuf32)(2vuu32)(vu,2xyu yxv),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy解解三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2.设 n 元函数,R),(nDPPf点,),(0PUDP,-)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim
14、0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有对任意正数 ,总存在正数,切例例1.设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx证法证法1:22221sin)(0yxyx故0),(lim00yxfyx022yx证法证法2:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),(yxf,022时当yx22yx 222yx,总有要证 例例2 2.设0,00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：证：0),(y
15、xf故0),(lim00yxfyx,0 20),(22yxyxfyx 222 yx,2 时，当022yxxyyx11sinsin总有 2 要证证：证：0(,)f x y故0),(lim00yxfyx0,0 xyyx xyyx11sinsin0数数.用一元函求极限的方法求二元函的极限11lim00 xyxyyxxyxyxyyx)11(lim002例例3例例4 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解:此函数定义域不包括 x,y 轴)(cos122yx 2)(222yx 222222200)(2)(limyxyxyxyx则原式)11(lim212200 xyyx求极限 .)si
16、n(lim22200yxyxyx解解22200)sin(limyxyxyx22200limxyx yxy其中222yxyxx21,00 x.0)sin(lim22200yxyxyx例例5 5),(yxP函数趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定以不同方式趋于,),(000时yxP函数极限不存在.注注 (1)二元函数求极限中，点)(),(0,00yxPyxP必须是以任何方式都有.),(Ayxf 若当点(2)有关一元函数极限的运算法则和定理,以及无穷小的概念和定理都可以直接类推到二元函数.例例6.讨论函数3.设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),222200lim),(limxkx
17、xkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.),(yxf故则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.22),(yxyxyxf解解:此函数必有00yx1.当点 P(x,y)有时轴沿0,)0,0(yx)0,(lim0 xfx000lim20 xxx2.当点P(x,y)有时轴沿0,)0,0(xy),0(lim0yfy000lim20yyy判断二元函数极限存在的五种方法判断二元函数极限存在的五种方法.0000lim(,)(,)xxyyf x yf xy1、利用函数的连续性2、利用极限的性质、四则运算法则、夹逼准则。3、消去分子和分母中极限为的零的因子。5、利用二重极限定义验
18、证。4、转化为一元函数的极限。（1 1）令),(yxP沿 kxy 趋向于),(000yxP，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；（2 2）找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在 确定极限不存在的方法：yxyxxx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,1例例8.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解：xxy取所以极限不存在.333,0,)1ln(yxyx利用yxxyxyx)1ln(lim00仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例7 知它在(0,0)点二重极限不存在.
