1、n一、定积分的微元法n二、用定积分求平面图形的面积n、在直角坐标系中求平面图形的面积 n、在极坐标系下求平面图形的面积 n三、用定积分求体积n、旋转体的体积n四、平面曲线的弧长第一节第一节 定积分的几何应用定积分的几何应用 微元法是运用定积分解决实际问题的常用方法.定积分所要解决的问题是求非均匀分布的整体量（如:曲边梯形面积).采用“分割取近似,求和取极限”的四个步骤,通过 分割将整体问题化为局部问题,以均匀代替非均匀（或以直代曲)求得近似值,再通过求和取极限得到精确值.其中第二步是关键.下面先回顾求曲边梯形面积的四个步骤 一、定积分的微元法 确定各部分量的近似值确定各部分量的近似值(小矩形面
2、积小矩形面积););iiixfA)(分割区间分割区间a,b,a,b,将所求量将所求量(曲边梯形面积曲边梯形面积 )分为部分量分为部分量(小曲边梯形面积小曲边梯形面积 ）之和）之和;AiA 求曲边梯形面积的四个步骤求曲边梯形面积的四个步骤:niiixfA1)(求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和););niiixfA10)(lim 对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.于是面积就是将这些微元在区间上的于是面积就是将这些微元在区间上的“无限累无限累加加”,即从即从 到到 的定积分的定积分.这个方法通常称为这
3、个方法通常称为 微元分析法微元分析法,简称简称微元法微元法.abx其中形式其中形式 与积分式中的被积式与积分式中的被积式 具有相同的形式具有相同的形式.如果把如果把 用用 替代替代,用用 替代替代,这这样上述四个步骤简化为两步：样上述四个步骤简化为两步：xxfd)(ixiixf)(ixd 第二步找到面积微元第二步找到面积微元 求定积分求定积分.xxfd)(第一步选取积分变量第一步选取积分变量 并确定其范围并确定其范围 ；x,a bn概括可得：凡是具有可加性连续分布的非均匀量的求和问题,一般可通过微元法得到解决n操作步骤：建立坐标系,选取积分变量并确定积分区间；找到相应的微元；以此微元作积分表达
4、式,在积分区间上求定积分.微元法在自然科学研究和生产实践中有着广泛的应用 由微元法分析：由微元法分析：其中面积微元为其中面积微元为 ，它表示高为它表示高为 、底为底为 的一个矩形面积的一个矩形面积.xxfd)()(xfxd 、在直角坐标系中求平面图形的面积、在直角坐标系中求平面图形的面积 由定积分几何意义可知由定积分几何意义可知,当当 时时,由曲线由曲线 ，直线，直线 与与 轴所围成轴所围成的曲边梯形的面积的曲边梯形的面积 为定积分为定积分即即0)(xf)(xfy()dbaAf xxbxax ,)(ba xA二、用定积分求平面图形的面积二、用定积分求平面图形的面积 由定积分几何意义可知由定积分
5、几何意义可知,当当 时时,由曲由曲线线 ，直线，直线 与与 轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积A A为为 .()0f x)(xfy()dbaAf xx bxax ,)(ba x)(xf 当当 在区间在区间 上的值有正有负时，则曲上的值有正有负时，则曲线线 ，直线，直线 与与 轴围成的面积是在轴围成的面积是在 轴上方和下方曲边梯形面轴上方和下方曲边梯形面积的差积的差.同样可由微元法分析同样可由微元法分析x,ba)(xfy bxax ,x)(ba 其中面积微元为其中面积微元为.xxgxfAd)()(d bxax ,)()(xgxf),(),(xgyxfy baxxgxfAd)()(一
6、般地，根据微元法由曲线一般地，根据微元法由曲线 及直线及直线 所围的图形（如所围的图形（如图所示）的面积为图所示）的面积为 注意注意：曲线曲线 的上下位置的上下位置(),()yf xyg x 由微元法分析由微元法分析：(1)(1)在区间在区间 上任取小区间上任取小区间 ,在此小区间在此小区间上的图形面积近似于高为上的图形面积近似于高为 ,底为底为 的小矩的小矩形面积形面积,从而得面积微元为从而得面积微元为,a bd,xxx dxxxgxfAd)()(d ()()f xg x(2)(2)以以 为被积表达式为被积表达式,在区间在区间 作定作定积分就是所求图形的面积积分就是所求图形的面积.()()f
7、 xg x,a b baxxgxfAd)()(类似地类似地,由曲线由曲线 及直线及直线 所围成的平面图形所围成的平面图形(如图所示如图所示)的面积的面积为为 ),(),(yxyx )()(yy dycy ,dcyyyAd)()(d()()dAyyy其中面积微元其中面积微元 注意注意：曲线曲线 的左右位置的左右位置.(),()xyxy 利用微元法求面积利用微元法求面积：例例1 1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线 所围成图形的所围成图形的面积面积yxxy22,解解:作出图形，确定积分变量作出图形，确定积分变量 ，解方程组解方程组 得两条抛物线的交点为得两条抛物线的交点为 (0,0)(0,0)和和
8、(1,1)(1,1)，则积分区间为则积分区间为0,10,1 （如右图所示）（如右图所示）22xyxyx 在积分区间在积分区间0,10,1上任取一小区间上任取一小区间 ，与之相应的窄条的面积近似地等于高为与之相应的窄条的面积近似地等于高为 、底为底为 的矩形面积（如上页图中阴影部分的面积）的矩形面积（如上页图中阴影部分的面积）,从而得面积微元从而得面积微元d,xxx 2xx xdxxxAd)(d2 xxxAAd)(d10210 31013132323xx 求定积分得所求图形面积为求定积分得所求图形面积为 解解:(:(方法一方法一)(1)(1)作图，选定作图，选定 为积分变量，为积分变量，解方程组
9、解方程组 得两曲线的交点为得两曲线的交点为(1,1)(1,1)，可知积分区间为可知积分区间为0,1.0,1.（如右图所示）（如右图所示）22)2(xyxyy 例例:求曲线求曲线 与与 轴围成平面图轴围成平面图形的面积形的面积x22)2(,xyxy (2)(2)在区间在区间0,10,1上任取小区间上任取小区间 ，对应的，对应的 窄条面积近似于高为窄条面积近似于高为 底为底为 的矩形面积，从而面积微元为的矩形面积，从而面积微元为 yy)2(yyyAd)2(d yy d)1(2 ,dyy y dy3201)342(d)1(22310 yyyyA（3 3）所求图形的面积为）所求图形的面积为 在在0,1
10、0,1上的微元为上的微元为 在在1,21,2上的微元为上的微元为 xxAdd21 xxAd)2(d22 解解:(:(方法二方法二)若选取若选取 作为积分变量，容易得出积作为积分变量，容易得出积分区间为分区间为0,20,2，但要注意，面积微元在，但要注意，面积微元在0,10,1和和1,21,2两部分区间上的表达式不同（如下图所示）两部分区间上的表达式不同（如下图所示）x故所求面积为故所求面积为 102121ddAAA122201d(2)d23xxxx 这种解法比较繁琐，因此，选取适当的积分变量，这种解法比较繁琐，因此，选取适当的积分变量，可使问题简化可使问题简化 另外，还应注意利用图形的特点（如
11、对称性），以简另外，还应注意利用图形的特点（如对称性），以简化分析、运算化分析、运算 解解 由右图所示由右图所示 选取选取 为积分变量，为积分变量，记第一象限内阴影记第一象限内阴影 部分的面积为部分的面积为 ，利用函数图形的对称性，利用函数图形的对称性，1Ay 例例3 3 求求 与半圆与半圆 所围图形的所围图形的面积面积)0(222 xyxxy 2 10221d)2(22yyyAA3212(2arcsin)0232123yyyy可得图形的面积为可得图形的面积为:n步骤：n作草图，确定积分变量和积分限；n求出面积微元；n计算定积分n注意：n积分变量选取要适当；n合理利用图形的特点（如对称性）.)
12、(即曲边扇形的面积微元为即曲边扇形的面积微元为 曲边扇形的面积为曲边扇形的面积为 d)(212rA d)(21d2rA 、在极坐标系下求平面图形的面积、在极坐标系下求平面图形的面积 计算由曲线计算由曲线 及射线及射线 围成的围成的曲边扇形的面积（如下图所示）曲边扇形的面积（如下图所示）,)(rr 利用微元法，取极角利用微元法，取极角 为积分变量，它的变化区间为积分变量，它的变化区间为为 .在任意小区间在任意小区间 上相应的小曲边上相应的小曲边扇形的面积可用半径为扇形的面积可用半径为 中心角为中心角为 的圆扇的圆扇形的面积近似代替，形的面积近似代替，,d,)(rr d 解解:取取 为积分变量为积
13、分变量,面积微元为面积微元为 于是于是 21d()d2Aa3222220340232d)(21 aaaA 例例 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线 上对应上对应 于于 从变到从变到 的一段的一段 曲线与极轴所围成图形的曲线与极轴所围成图形的 面积面积.（右图所示）（右图所示）a)0(a 2 例例5 5 计算双纽线计算双纽线 所围成的平面图形的面积（下图所示）所围成的平面图形的面积（下图所示）2cos22ar)0(a 解解因因 ,故故 的变化范围是的变化范围是 ,图形关于极点和极轴均对称图形关于极点和极轴均对称 面积微元为面积微元为21dcos2 d2Aa02 r 45,43 24024021co
14、s 2d4214sin 222aAaa故所求面积为故所求面积为 设一立体介于过点设一立体介于过点 且垂直于且垂直于 轴的轴的两平面之间，如果立体过两平面之间，如果立体过 且垂直于且垂直于 轴的轴的截面面积截面面积 为为 的已知的已知 连续函数，则称此立体为连续函数，则称此立体为 平行截面面积已知的立体，平行截面面积已知的立体，如右图所示如右图所示,xa xbxx,xa b()A xx、平行截面面积已知的立体体积、平行截面面积已知的立体体积下面利用微元法计算它的体积下面利用微元法计算它的体积三、用定积分求体积三、用定积分求体积()dbaVA xx于是所求立体的体积为于是所求立体的体积为 d()d
15、VA xx即体积微元为即体积微元为 ,a b 取取 为积分变量为积分变量,它的变化区间为它的变化区间为 ,立体中立体中相应于相应于 上任一小区间上任一小区间 的薄片的体的薄片的体积近似等于底面积为积近似等于底面积为 ,高为高为 的扁柱体的体积的扁柱体的体积(右图所示右图所示)，()A xd xx,a b,dx xx 解：解：(法一法一)取平面与圆柱体底面的交线为取平面与圆柱体底面的交线为 轴轴,底底 面上过圆中心且垂直于面上过圆中心且垂直于 轴的直线为轴的直线为 轴轴,建立建立 坐标系坐标系.如右图所示如右图所示 此时此时,底圆的方程为底圆的方程为 立体中过点立体中过点 且且 垂直于垂直于 轴
16、的截面轴的截面 是一个直角三角形是一个直角三角形.xxxy222xyRx 例例6 6 一平面经过半径为一平面经过半径为 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心,并与底并与底面交成角面交成角 (如下图如下图)，计算这个平面截圆柱所得立体的体，计算这个平面截圆柱所得立体的体积积.R它的两条直角边的长度分别是它的两条直角边的长度分别是 及及即即 及及 于是于是截面面积为截面面积为y22Rxtany22tanRx221()()tan2A xRx故所求立体的体积为223231()t and212t ant an233RRVRxxxRRxRR(法二法二)取坐标系同上（下图所示），过取坐标系同上（下图所示），
17、过 轴上点轴上点 作垂直于作垂直于 轴的截面轴的截面,则截得矩形则截得矩形,其高为其高为 、底为、底为 ,yyytany222 Ry22()2tanA yyRy从而截面面积为从而截面面积为 于是所求立体的体积为02202222032223()d2tandtand().2tan()032tan3RRRVA yyyRyyRyRyRRyR 从而从而,所求的体积为所求的体积为 、旋转体的体积、旋转体的体积 应用定积分计算由曲线应用定积分计算由曲线 直线直线 及及 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而形成的轴旋转一周而形成的 立体体积（下图所示）立体体积（下图所示）,xa xb()yf
18、 xxxx 取取 为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为 ,由于过点由于过点 且且垂直于垂直于 轴的平面截得旋转体的截面是半径为轴的平面截得旋转体的截面是半径为 的的圆圆,其面积为其面积为xx,a b()f x2()()A xf x2()d()dbbaaVA xxf xx该旋转体的体积为类似地类似地,若旋转体是由连续曲线若旋转体是由连续曲线 ,直线直线 及及 轴所围成的图形轴所围成的图形,绕绕 轴旋转轴旋转一周而成一周而成(下图所示下图所示),),()xy,yc ydyy 2ddcVyy 解：解：如右图所示如右图所示,所求体积所求体积 例例 求由曲线求由曲线 与直线与直线 及及 轴所围
19、成的图形绕轴所围成的图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体的轴旋转一周所形成的旋转体的体积体积.(0)xya a,2xa xaxx22222dd1212aaaaVyxaxxaaaxa例例8 8 求底圆半径为求底圆半径为 高为高为 的圆锥体的体积的圆锥体的体积hr 解解 以圆锥体的轴线为以圆锥体的轴线为 轴，顶点为原点建立直角轴，顶点为原点建立直角坐标系（下图所示）坐标系（下图所示）过原点及点过原点及点 的直线方程为的直线方程为 此圆锥此圆锥 可看成由直线可看成由直线 及及 轴所围成的轴所围成的 三角形绕三角形绕 轴旋转而成，轴旋转而成，(,)P h rryxhxhryxhxxx故其体积为 22002
20、3220dd133hhhrVyxxxhrxr hh 设有一条光滑曲线弧设有一条光滑曲线弧 ,现在现在计算它的长度（称为弧长）计算它的长度（称为弧长）()()yf x axbs所谓光滑曲线是指曲线所谓光滑曲线是指曲线 在在 上连续，在上连续，在 内各点存在不垂直于内各点存在不垂直于 轴的切线，轴的切线，并且切线随切点的移动并且切线随切点的移动 而连续转动；而连续转动；即即 在在 上连续，上连续，在在 内连续内连续()yf x,a b(,)a bx,a b()f x()fx(,)a b四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长 以以 为积分变量，相应于为积分变量，相应于 上任一小区间上任一小区间 的一段
21、弧长的一段弧长 可用曲线在可用曲线在 点点 处切线上相应小段直线处切线上相应小段直线 的长度来近的长度来近似代替（如上图所示）似代替（如上图所示）x,a b,x xdxsMN MT(,()x f x切线上小段直线的长度为切线上小段直线的长度为 因而弧长微元（也称为弧微分）为因而弧长微元（也称为弧微分）为 从从 到到 积分得积分得222(d)d1()dxyyx2d1()dsyx221()d1()dbbaasyxf xxab 例例9 9 求曲线求曲线 的长的长233dxytt 解解 函数的定义域为函数的定义域为 ，故故 于是于是 23,3,3yx且22d1()d4dsyxxx3322304d24d
22、sxxxx233002sin22cos2cos d8cosdxtttttt30144(sin 2)3.23tt()t 若曲线弧若曲线弧 由参数方程由参数方程 给给出，其中出，其中 在在 上具有连续导数，上具有连续导数，则弧微元为则弧微元为从而，所求弧长为从而，所求弧长为 ()()xtyt(),()tt,a22d()()dsttt 22()dastttAB 例例1010 求曲线求曲线 上相应于从上相应于从 到到 一段的弧长（其中一段的弧长（其中 ）(cossin),(sincos)xatttyattt0t t0a datt 解解 因为因为 ，所以所以 从而从而()cos,()sinx tatty
23、 tatt2222d()()dcossindsx ty ttattattt2200d22tasatta一、变力作功二、液体的压力第二节第二节 定积分在的物理学中的应用定积分在的物理学中的应用 设一物体受连续变力设一物体受连续变力 的作用的作用,沿力沿力的方向作直线运动的方向作直线运动,求物体从求物体从 移动到移动到 ,变力变力 所作的功（如下图所示）所作的功（如下图所示）.()F xab()F x 由于由于 是变力是变力,因此这是一个非均匀变因此这是一个非均匀变化的问题化的问题.所求的功为一个整体量所求的功为一个整体量,在在 上具有可加性上具有可加性,可用定积分的微元法求解可用定积分的微元法求
24、解.()F x,a b一、变力作功变力作功 在在 上任一小区间上任一小区间 .由于由于 是连续变化的是连续变化的,当当 很小时很小时 变化不大可近变化不大可近似看作常力似看作常力,因而在此小段上所作的功近似为在因而在此小段上所作的功近似为在 上的功微元上的功微元 .因此因此,从从 到到 变力所作的功为变力所作的功为 ()F x,a bd()dWF xxab()dbaWF xx,a b,d x xxdx()F x 析析：这个电场对周围的电荷有作用力，由这个电场对周围的电荷有作用力，由库仑定律知，位于库仑定律知，位于 轴上距原点轴上距原点 米处的米处的单位正电荷受到的电场力大小为单位正电荷受到的电
25、场力大小为 （牛顿），其中（牛顿），其中 为常数为常数xx2()qF xkxk例例1 1 把电量为把电量为+（库仑）的点电荷放在（库仑）的点电荷放在 轴原点处轴原点处,形成一个电场形成一个电场,当这个单位正电当这个单位正电荷在电场中从荷在电场中从 处沿处沿 轴至轴至 处时处时,求电场力对它所作的功（下图所求电场力对它所作的功（下图所示）示）qxxa()xb abxv解解取取 为积分变量，为积分变量，其变化区间为其变化区间为 ，功微元为功微元为 于是功为于是功为x,a b2d()ddqWF xxkxx211d()bbaaqkqWkxkqxabx v 解解建立坐标系，建立坐标系，如右图所示如右图所
26、示.取深度取深度 为积分变量，为积分变量，其变化区间为其变化区间为0,50,5，xv 例例2 2一圆柱形的贮水桶高为米，底一圆柱形的贮水桶高为米，底圆半径为米，桶内盛满了水试问要把圆半径为米，桶内盛满了水试问要把桶内的水全部吸出，需作多少功？桶内的水全部吸出，需作多少功？功微元功微元 所求的功为所求的功为d9800 9d88200 dWxxxx5025088200d8820023462000Wxxx二、液体的压力 由物理学可知由物理学可知,在深为在深为 处液体的压处液体的压强为强为 ,其中其中 是液体的是液体的密度，密度，（牛顿千克）（牛顿千克）.如果有一面积为如果有一面积为 的平板，水平地放
27、的平板，水平地放置在液体中深为置在液体中深为 处，则平板一侧所受的处，则平板一侧所受的压力为压力为hpg hhAF P Ag h A 9.8g n如果平板垂直放在液体中，那么由于液体的深度不同，就不能用上式计算平板一侧所受到的压力，须用定积分求解下面举例说明v例3一个横放的半径为一个横放的半径为 的圆柱形的圆柱形油桶盛有半桶油，油的密度为油桶盛有半桶油，油的密度为 计计算桶的圆形一侧所受的压力算桶的圆形一侧所受的压力R解解建立坐标系，建立坐标系，如右图所示如右图所示 取取 为积分变量，为积分变量，它的变化区间为它的变化区间为则压力微元为则压力微元为x0,R22d2dFg x Rxx得所求压力2201222220322232dd()20323RRFgx RxxgRxRxRgRxgR
