1、绪论绪论哈尔滨工业大学本科生课绪论绪论一一.材料力学的任务材料力学的任务 构件的设计在力学上有一定的要求（承载能力）强度：构件在载荷作用下，抵抗破坏的能力。刚度：构件在载荷作用下，抵抗变形的能力。稳定性：构件在载荷作用下，抵抗失稳的能力。合理地解决安全与经济这一矛盾，为实现既安全又经济的工程构件设计提供理论依据和计算方法。绪论绪论1.构件按几何形状分类构件杆块板壳直杆曲杆变截面直杆等截面直杆大曲率杆小曲率杆二二.材料力学的研究对象材料力学的研究对象绪论绪论FFMeMeMeMeF M（2）剪切（3）扭转（4）弯曲FF（1）轴向拉伸 或压缩2.杆件变形的四种基本形式截面图形的几何性质截面图形的几何
2、性质哈尔滨工业大学本科生课静距、惯性矩、惯性积、静距、惯性矩、惯性积、3.4.13.4.1 静矩和形心静矩和形心一、简单图形的静矩（面积矩）一、简单图形的静矩（面积矩）1、定义：dA对y轴的微静矩:AyAzzdASydASyzdAyzo2、量纲：长度3；单位：m3、cm3、mm3。dA对z轴的微静矩:ydAdSzzdAdSy3、静矩的值可以是正值、负值、或零。静距、惯性矩、惯性积、静距、惯性矩、惯性积、yzdAyzo4、静矩和形心的关系 可知AdAzzAdAyyACAC,CAyAzzdASCAzAyydAS静矩和形心的关系静矩和形心的关系由平面图形的形心公式由平面图形的形心公式结论：结论：图形
3、对过形心的轴的静矩为零。图形对过形心的轴的静矩为零。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。静距、惯性矩、惯性积、静距、惯性矩、惯性积、四、组合图形的形心四、组合图形的形心：izicASyiyicASzAyAciiAzAcii 利用基本图形利用基本图形的结果，可使组的结果，可使组合图形的形心计合图形的形心计算简单算简单静距、惯性矩、惯性积、静距、惯性矩、惯性积、212211AAzAzAAzAzccciic例例 试确定下图的形心试确定下图的形心。212211AAyAyAAyAyccciic801010c(19.7;39.7)zyC1C2解法
4、解法1 1：1)、建立坐标如图示，分割图形mmymmzmmAcc5,45,7001121mmymmzmmAcc60,5,12002222120120070012005700452)、求形心19 7(mm).)(7.3912007001200607005mm静距、惯性矩、惯性积、静距、惯性矩、惯性积、3.4.23.4.2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积1 1、惯性矩的定义、惯性矩的定义：dAdA对对z z轴的惯性距轴的惯性距:dAdA对对y y轴的惯性距轴的惯性距:2 2、量纲：、量纲：m4m4、mm4mm4。yzdAzyo,2AzdAyIAydAzI2dAydIz2dAzdIy23 3、惯性矩是
5、对轴而言（轴惯性矩）。、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。4 4、惯性矩的取值恒为正值。、惯性矩的取值恒为正值。5 5、极惯性矩：、极惯性矩：（对（对o o点而言）点而言）AodAI2pI222yz 图形对图形对z z轴的惯性矩轴的惯性矩:图形对图形对y y轴的惯性矩轴的惯性矩:静距、惯性矩、惯性积、静距、惯性矩、惯性积、6 6、惯性矩与极惯性矩的关系：、惯性矩与极惯性矩的关系：图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzII yzdAz
6、yo静距、惯性矩、惯性积、静距、惯性矩、惯性积、二、惯性半径：二、惯性半径：AIiAiIzzzz2AIiAiIyyyy2三、惯性积三、惯性积1 1、定义：、定义：2 2、量纲：长度、量纲：长度4 4，单位：，单位：m m4 4、mmmm4 4。3 3、惯性积是对轴而言。、惯性积是对轴而言。AzyzydAI4 4、惯性积的取值为正值、负值、零。、惯性积的取值为正值、负值、零。yzdAzyo5 5、规律：、规律：两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐标轴的惯性积为零。图形这一对坐标轴的惯性积为零。静距、惯性矩、惯性积、静距、惯性矩、惯性积、
7、注意：注意：ZC、YC 为形心轴为形心轴 a、b为图形形心在为图形形心在yoz坐标系的坐标值，可正可负坐标系的坐标值，可正可负abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22zyoyczcczcycdAyzab平行移轴公式平行移轴公式静距、惯性矩、惯性积、静距、惯性矩、惯性积、yzyzIIII11 上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩点的极惯性矩将前两式相加得将前两式相加得2cos2sin22sin2cos222sin2c
8、os221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIIIzyOzyzy11ABCDEdAzy11静距、惯性矩、惯性积、静距、惯性矩、惯性积、yzzyIIItg22001ddIz00222202sincoszyzyIII可求得可求得 和和 两个角度，从而确定两根轴两个角度，从而确定两根轴y0,，z0。0900000yzI且2200minmax)2(2zyyzyzyzIIIIIII由yzzyIIItg220求出 代入转轴公式可得：002cos,2sin轴向拉压轴向拉压哈尔滨工业大学本科生课轴向拉压轴向拉压2.2.变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。变形特点：杆沿轴线方
9、向伸长或缩短。1.1.受力特点：受力特点：FN1FN1FN2FN2外力合力作用线与杆轴线重合外力合力作用线与杆轴线重合。ABCF一、轴线拉压的概念一、轴线拉压的概念轴向拉压轴向拉压二、轴线拉压的内力二、轴线拉压的内力轴力轴力F FN N压缩压缩压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。拉伸拉伸拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。FNFFFN（）（）FNFFFN（）（）轴向拉压轴向拉压AFN横截面上正应力的计算公式横截面上正应力的计算公式应力的分布规律应力的分布规律内力沿横截面均匀分布内力沿横截面均匀分布F NFa2N=P
10、m单位三、轴线拉压的应力三、轴线拉压的应力横截面上任意一点属于横截面上任意一点属于单向应力状态单向应力状态符号规定符号规定同内力同内力1.1.横截面上应力横截面上应力轴向拉压轴向拉压三、轴线拉压的应力三、轴线拉压的应力2.2.斜截面上的应力斜截面上的应力FpFN2coscos p2sin2sin ppcoscoscosNFFFpAAAFFFNx轴向拉压轴向拉压n极 限（其中（其中 n 为安全系数为安全系数,值值 1 1）许用应力许用应力四、轴向拉压杆的强度计算四、轴向拉压杆的强度计算max maxmaxAFN提高拉压杆强度的措施：提高拉压杆强度的措施：1.1.选用高强度的材料选用高强度的材料
11、2.2.增大杆件的横截面积增大杆件的横截面积,sb极 限轴向拉压轴向拉压五、压杆稳定性计算五、压杆稳定性计算 bacr s P S P22Ecr欧拉公式。ilcro直线型经验公式中柔度杆短粗杆大柔度杆轴向拉压轴向拉压1.1.低碳钢的拉伸试验低碳钢的拉伸试验比例极限比例极限弹性极限弹性极限屈服极限屈服极限强度极限强度极限sepb其中其中 和和 是代表材料强度性质的重要指标是代表材料强度性质的重要指标sb1.弹性阶段弹性阶段2.屈服屈服(流动）阶段流动）阶段3.强化阶段强化阶段4.颈缩颈缩(局部变形）阶段局部变形）阶段六、轴向拉压的力学性能六、轴向拉压的力学性能轴向拉压轴向拉压例如，中碳钢、合例如
12、，中碳钢、合金钢等。金钢等。2.2.2 2.2.2 其他几种材料拉伸时的力学性质其他几种材料拉伸时的力学性质2.没有明显屈服阶段的塑性材料拉伸把产生把产生0.2%塑性应变塑性应变时所对应的应力称为时所对应的应力称为材料的屈服强度，材料的屈服强度，用用 表示表示 。0 2.0 2.%0 2.轴向拉压轴向拉压铸铁拉伸时铸铁拉伸时特点：特点：1.1.没有屈服阶段，也没有颈缩现象；没有屈服阶段，也没有颈缩现象；2.2.没有明显的直线段；没有明显的直线段；3.3.按弦线的斜率近似地确定弹性模量按弦线的斜率近似地确定弹性模量 E 2.2.2 2.2.2 其他几种材料拉伸时的力学性质其他几种材料拉伸时的力学
13、性质3.典型的脆性材料（铸铁、混凝土）拉伸轴向拉压轴向拉压低碳钢压缩时测不出强度极限低碳钢压缩时测不出强度极限 屈服阶段以后：屈服阶段以后：b1.1.低碳钢压缩低碳钢压缩1.1.试件的长度愈来愈短；试件的长度愈来愈短；2.2.直径不断增大；直径不断增大；3.3.变成鼓形；变成鼓形；4.4.最后压成薄饼，不断裂最后压成薄饼，不断裂 轴向拉压轴向拉压与拉伸时相比，铸铁压缩时与拉伸时相比，铸铁压缩时强度极限很高强度极限很高例如，例如，HT150 压缩时的强度压缩时的强度极限约为拉抻时强度极限的极限约为拉抻时强度极限的四倍。四倍。2.铸铁压缩铸铁压缩轴向拉压轴向拉压NFLLEA1 1、轴向变形、轴向变
14、形：轴向的线应变：轴向的线应变：EALFLNL1L1aa1bb EA抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度 l伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负七、轴向拉压的弹性变形七、轴向拉压的弹性变形轴向的绝对变形轴向的绝对变形2 2、横向变形：、横向变形：横向变形系数（泊松比）横向变形系数（泊松比）：aabb轴向拉压轴向拉压三）画节点位移图求节点位移三）画节点位移图求节点位移二）求各杆的变形量二）求各杆的变形量li；以垂线代替图中弧线。以垂线代替图中弧线。一）分析受力确定各杆的内力一）分析受力确定各杆的内力 FNiL2ABL1CF FF2NF1NFC1C1l2C2lC C CC 就是就是C点的近似位移。点的近似
15、位移。就是就是C点的节点位移图。点的节点位移图。八、节点位移图八、节点位移图轴向拉压轴向拉压、几何方程几何方程变形协调方程：变形协调方程：、物理物理方程变形与受力关系方程变形与受力关系解解：、平衡方程平衡方程:、联立方程联立方程(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)可得可得:)1(0sinsin021NNFFX)2(0coscos0321FFFFYNNNcos321Lll333113333331121121cos2F ;cos2cosAEAEFAEAEAEFAEFFNNN)3(cos33331111补补充充方方程程AELFAELFNNABDC132例例1 1：图示杆系结构，图示杆系结构，33
16、221121,AEAEAEll，求：各杆的内力。求：各杆的内力。FN1A FN2 2FN3 3yxFF3A1A1l2A2l3l轴向拉压轴向拉压1 1）装配应力装配应力2 2、超静定问题存在装配应力。、超静定问题存在装配应力。1 1、静定问题无装配应力、静定问题无装配应力由于构件制造尺寸产生的误差，在装配时产生变形而由于构件制造尺寸产生的误差，在装配时产生变形而引起的应力。引起的应力。三、装配应力、温度应力三、装配应力、温度应力ABllR AFR BF轴向拉压轴向拉压2 2）温度应力温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。温度引起的变形量温度引起
17、的变形量tLL1 1、静定问题无温度应力。、静定问题无温度应力。2 2、超静定问题存在温度应力。、超静定问题存在温度应力。ltltlR AFR BF轴向拉压轴向拉压BC121、平衡方程平衡方程:03,021aFaFMNNc2、几何方程几何方程：aa3 AATl解解：解除解除1 1杆约束，使其自由膨胀杆约束，使其自由膨胀；AB横梁最终位置在横梁最终位置在AB AB2l2NF1NFABCCR1lalallT321EALFlTLlNT11,22EAlFlN3、物理物理方程：方程：,1091TlEAN,1032TlEAN,56TlEARC例例2 2 已知两杆面积、长度、弹性模量相同，已知两杆面积、长度
18、、弹性模量相同，A A、L L、E E，求：当，求：当1杆温度升高杆温度升高 时，两时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数T轴向拉压轴向拉压1L2L 1.列静力平衡方程列静力平衡方程0AM2142FmFFmFFF2122.变形协调方程变形协调方程 mL21 mL42122 LL1!1111TLAELFLg 222222TLAELFLt 22222TLAELFt)(21!111TLAELFg 例例3 3 图示结构中的三角形板可视为刚性板。图示结构中的三角形板可视为刚性板。1 1杆材料为钢，杆材料为钢，2 2杆材料为铜，两杆的横截杆材料为铜，两杆的横截面面积分别
19、为面面积分别为A A钢钢=1000mm=1000mm2 2，A A铜铜=2000mm=2000mm2 2。当。当F=200kNF=200kN，且温度升高，且温度升高2020时，试求时，试求1 1、2 2杆内的应力。钢杆的弹性模量为杆内的应力。钢杆的弹性模量为E E钢钢=210GPa=210GPa，线膨胀系数，线膨胀系数l l钢钢=12.5=12.51010-6-6 -1-1；铜杆的；铜杆的弹性模量为弹性模量为E E铜铜=100GPa=100GPa，线膨胀系数，线膨胀系数l l铜铜=16.5=16.51010-6-6 -1-1；m2m211FFAm42Fm123.建立补充方程建立补充方程轴向拉压
20、轴向拉压1L2L FFF21222222TLAELFt)(21!111TLAELFg kNF52.3812119.26FkN4.4.计算计算1 1，2 2杆的正应力杆的正应力MPa5.38111AF 2310001052.38mmN222AF 2320001026.119mmNMPa6.59 例例3 3 图示结构中的三角形板可视为刚性板。图示结构中的三角形板可视为刚性板。1 1杆材料为钢，杆材料为钢，2 2杆材料为铜，两杆的横截杆材料为铜，两杆的横截面面积分别为面面积分别为A A钢钢=1000mm=1000mm2 2，A A铜铜=2000mm=2000mm2 2。当。当F=200kNF=200
21、kN，且温度升高，且温度升高2020时，试求时，试求1 1、2 2杆内的应力。钢杆的弹性模量为杆内的应力。钢杆的弹性模量为E E钢钢=210GPa=210GPa，线膨胀系数，线膨胀系数l l钢钢=12.5=12.51010-6-6 -1-1；铜杆的；铜杆的弹性模量为弹性模量为E E铜铜=100GPa=100GPa，线膨胀系数，线膨胀系数l l铜铜=16.5=16.51010-6-6 -1-1；m2m211FFAm42Fm12（压）（压）（压）（压）剪切剪切哈尔滨工业大学本科生课剪切剪切名义切应力计算公式：名义切应力计算公式：AFs3.2.2 3.2.2 剪切的实用计算剪切的实用计算剪切面上的内
22、力剪切面上的内力剪力剪力 用截面法用截面法sFFFmmFFSFmmFFSFmm剪切强剪切强度条件：度条件：AFs名义许用切应力名义许用切应力 常由实验方法确定常由实验方法确定 剪切剪切3.2.3 3.2.3 挤压的实用计算挤压的实用计算FFsF铆钉受挤压时，挤压面为半圆柱面铆钉受挤压时，挤压面为半圆柱面bsF挤压力挤压力bsFt板的厚度板的厚度tdbsAtd计算挤压面积计算挤压面积dmax0挤压力分布挤压力分布假设挤压应力在挤压面积上均匀分布假设挤压应力在挤压面积上均匀分布bsbsbs=FA剪切剪切例例2 2 已知：F=80 kN,=10 mm,b=80 mm,d=16 mm,=100 MPa
23、,bs=300 MPa,=160 MPa 试校核接头的强度搭接接头搭接接头剪切剪切解：解：1.接头受力分析接头受力分析 当各铆钉的当各铆钉的材料材料与与直径直径均相同，均相同，且且外力作用线外力作用线在在铆钉群剪切面上的投影，通过铆钉群剪切面上的投影，通过铆钉群剪切面形心铆钉群剪切面形心时时，通常即认为通常即认为各铆钉剪切面上的剪力相等若有若有n个铆钉，则每一个铆钉受力个铆钉，则每一个铆钉受力nF/nF/mm剪切剪切4SFF MPa 5.99422S dFdFbsSbbsMPa 125dFdFMPa 125)(1N11 dbFAFMPa 125)2(432N22 dbFAF2.强度校核强度校核
24、剪切强度：剪切强度：挤压强度：挤压强度：拉伸强度：拉伸强度：4/F4/F接头强度足够接头强度足够圆轴扭转圆轴扭转哈尔滨工业大学本科生课圆轴扭转圆轴扭转2.求扭转内力的方法截面法IIT3 受扭圆轴横截面上的内力、内力偶矩扭矩，圆轴扭转圆轴扭转右手定则：右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。TT扭矩符号规定：4 扭矩的符号规定右手螺旋法则IITIITIITeMIITeM圆轴扭转圆轴扭转P单位单位:kW:kWn单位单位:r/min:r/min轴传递的功率轴传递的功率轴的转速轴的转速,rpm9554ePMn圆轴扭转圆
25、轴扭转根据精确的理论分析根据精确的理论分析,当当trtr0 0/10/10时时,上式的误差不超过上式的误差不超过4.52%,4.52%,是足够精确的。是足够精确的。0dArAT002rr tT 3.3.横截面上切应力的计算公式横截面上切应力的计算公式dA0rd2000rt r dT 0dAt r d 20022TTr tA t圆轴扭转圆轴扭转pIT圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。dAT圆轴扭转圆轴扭转横截面上横截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量抗扭截面模量，整个圆轴上整个圆轴上等直杆：等直杆：PWTmaxmaxI Ip p截
26、面的极惯性矩截面的极惯性矩，单位：，单位：二、圆轴中二、圆轴中max的确定的确定44,mmm.,33mmm单位单位：maxpPIW PW圆轴扭转圆轴扭转四、圆截面的极惯性矩四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数WpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d实心圆截面：实心圆截面：Odd圆轴扭转圆轴扭转223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圆截面：空心圆截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd圆轴扭转圆轴扭转注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面33p16dDW44p32dDIDdOd圆轴扭转圆轴扭
27、转1 1、扭转变形：（相对扭转角）、扭转变形：（相对扭转角）PGITdxddxGITLP扭转角单位：弧度（扭转角单位：弧度（radrad）GIP抗扭刚度抗扭刚度。dxGITdPpGITlpiiiGIlT单位长度的扭转角单位长度的扭转角mrad二、二、扭转杆的变形计算扭转杆的变形计算扭转变形的基本公式扭转变形的基本公式扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴PGITdxd各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴圆轴扭转圆轴扭转2 2、刚度条件：、刚度条件：PGITmaxmax 0maxmax180PGITm3 3、刚度条件应用：、刚度条件应用：1)1)、校核刚度、校核刚度；max max pGT
28、I 3)3)、确定外荷载、确定外荷载:2)2)、设计截面尺寸、设计截面尺寸:maxpGITm圆轴扭转圆轴扭转1 1、强度条件、强度条件：2 2、强度条件应用、强度条件应用：1 1）校核强度）校核强度:.)1(16,16433空心空心实心实心DDWPPWTmaxmax PWmaxT2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸:3 3）确定外荷载）确定外荷载:maxTPWm一、一、扭转强度计算扭转强度计算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圆轴等截面圆轴:变截面圆轴变截面圆轴:3.3.3 3.3.3 扭转切应力强度条件扭转切应力强度条件梁的弯曲梁的弯曲哈尔滨工业大学本科生课梁的弯曲梁的弯
29、曲一、弯曲的概念一、弯曲的概念受力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线。变形特点变形特点杆轴线由杆轴线由直线直线变为变为曲线曲线。梁的弯曲梁的弯曲y纵向对称轴纵向对称轴x梁的轴线梁的轴线FqmAFBFAM梁上的外力支撑支撑支座反力（支反力）支座反力（支反力）载荷集中力分布力集中力偶1.1.平面弯曲平面弯曲梁的弯曲梁的弯曲2.2.斜弯曲斜弯曲zFyFzxy斜弯曲：斜弯曲：弯曲变形后弯曲变形后,梁的轴线将不在位于外力的作用面内梁的轴线将不在位于外力的作用面内.梁的弯曲梁的弯曲工程中，常见静定梁的计算简图有以下三种：工程中，常见静定梁的计算简图有以下三种：
30、简支梁一端是固定铰支约束另一端可动铰支约束 悬臂梁 一端为固定端 另一端自由 外伸梁 绞支座支撑梁的一端或两端伸于支座之外梁的弯曲梁的弯曲正负号规则：正负号规则：左上右下为正左上右下为正sFsF上压下拉为正上压下拉为正MMFsFMFFlsFMFFlFnn上图中的剪力和弯矩均为负值二、弯曲内力二、弯曲内力剪力剪力 Fs Fs 和弯矩和弯矩 M M梁的弯曲梁的弯曲以横坐标以横坐标 表示梁的截面位置，纵坐标表示剪力和弯矩的数值表示梁的截面位置，纵坐标表示剪力和弯矩的数值x 弯矩图：弯矩图：剪力图：正的剪力画在剪力图：正的剪力画在x x轴上方轴上方负的弯矩画在负的弯矩画在x x轴上方轴上方Mx0()M
31、 xFx()sF xF 剪力图剪力图FsFx0弯矩图弯矩图FlFFxsFM三、剪力图和弯矩图三、剪力图和弯矩图梁的弯曲梁的弯曲四、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系四、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系d()()dsFxq xxd()()dsM xFxx22d()()dM xq xx微分关系微分关系几何意义几何意义剪力图上某点处切线的斜率等于梁上该点处的分布载荷集度q弯矩图上某点处切线的斜率等于梁上该点处截面上的剪力sF弯矩图的凸向取决于分布载荷集度 的正负q梁的弯曲梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律1.1.梁段上无分布载荷：梁段上无分布载荷：0(1)sdFxq xdx()()剪力图切线斜率为
32、零弯矩为一次函数(2)sdM xFxdx()()常数弯矩图为平直线000sFx()弯矩为增函数，下斜直线弯矩为减函数，上斜直线弯矩图直线Fs为常数，剪力图为平直线梁的弯曲梁的弯曲若梁段没有分布载荷，只有集中力和集中力偶剪力图和弯矩图不可能出现曲线图形其中剪力必为常数，弯矩可能是常数或一次函数分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律1.1.梁段上无分布载荷：梁段上无分布载荷：梁的弯曲梁的弯曲2.2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数梁段上的分布载荷为不等于零的常数剪力为增函数，上斜直线剪力为减函数，下斜直线剪力为一次函数剪力图为斜直线00q x()(1)sdFxq xdx()()常数0分布载荷、剪力图和
33、弯矩图之间的规律梁的弯曲梁的弯曲(1)sdM xFxdx()()一次函数M x()为二次函数，弯矩图为二次曲线00q x()M x()应有极小值M x()应有极大值弯矩图为上凸曲线弯矩图为下凸曲线分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律2.2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数梁段上的分布载荷为不等于零的常数梁的弯曲梁的弯曲00q x()M x()应有极小值M x()应有极大值弯矩图为上凸曲线弯矩图为下凸曲线M x()极值的位置在 的截面 0sFx()2.2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数梁段上的分布载荷为不等于零的常数分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律梁的弯曲梁的弯曲 221121sss2s1sd
34、d()()()()QxQxxxFxq xxdFFq x dF xq x dxdF xq x dxx 22111221dd()()()()()ssMxsMxxsxM xFxxdM xF x dxdM xF xMMFdxxdx 梁上任意两截面的剪力差梁上任意两截面的剪力差 等于等于两截面间载荷图所包围的面积两截面间载荷图所包围的面积 梁上任意两截面的弯矩差梁上任意两截面的弯矩差 等于等于两截面间剪力图所包围的面积两截面间剪力图所包围的面积五、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系五、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系梁的弯曲梁的弯曲/2lABqC/2l3 8AqlR 8BqlR 3 8ql 8qlsFM2 1
35、6ql29 128ql梁的弯曲梁的弯曲.纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲。2.2.横力弯曲横力弯曲 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。MxFsxFaFF六、六、纯弯曲和横力弯曲的概念纯弯曲和横力弯曲的概念aaFBAF梁的弯曲梁的弯曲MZymaxmaxzM yI七、七、梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力弯曲正应力计算公式弯曲正应力计算公式梁的弯曲梁的弯曲yxMZ(1)NxAFdA（中性轴为形心轴）（中性轴为形心轴）(2)yAMz dA（y轴为对称轴，自然满足轴为对称轴，自然满足）zydA(3)zAMy dA弯曲变形计算的基本公式弯曲变形计算的基本公式Z1EIM（三）、静力学条
36、件：（三）、静力学条件：由横截面上的弯矩和正应力由横截面上的弯矩和正应力的关系的关系正应力的计算公式。正应力的计算公式。00MAyEdAAEydAzESAEyzdA2AEy dAyzEIzEI0yzIzEIM0zS 梁的弯曲梁的弯曲ZIMymaxZZyIW Wz 抗弯截面模量最大正应力的确定最大正应力的确定 截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称zctWMmaxmax矩形截面矩形截面123ZbhI 62ZbhW 圆截面圆截面644ZdI323ZdWZmaxmaxIMyzbhyzdy梁的弯曲梁的弯曲 截面关于中性轴不对称截面关于中性轴不对称zttIMymaxmaxzccIMymaxmax最大拉应力
37、和最大压应力不相等，分别计算最大拉应力和最大压应力不相等，分别计算梁的弯曲梁的弯曲梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力 max zWMmax中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁tmaxtcmaxcOzyytmaxycmaxttmaxmaxtmaxzIyMccmaxmaxcmaxzIyMctcmaxtmaxyy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为梁的弯曲梁的弯曲1 1、假设：、假设：横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。横截面上各点的切应力方向与剪力的方
38、向相同。切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。点切应力大小相等）。2 2、切应力表达式、切应力表达式zybhyFsbISFzzs七、七、梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力矩形截面矩形截面梁的弯曲梁的弯曲弯曲切应力的强度条件弯曲切应力的强度条件 bISQzzmaxmaxmax需要校核剪应力的几种特殊情况：需要校核剪应力的几种特殊情况：(2)铆接或焊接的组合截面，如工字梁，由于腹板的宽度较窄，铆接或焊接的组合截面，如工字梁，由于腹板的宽度较窄，腹板切应力可能较大腹板切应力可能较大(1)梁的跨度较小梁的跨度较小 或或 载荷作用点
39、靠近支座时载荷作用点靠近支座时 （M 较小，而较小，而 Q 较大）较大）(3)各向异性材料（如木材），其顺纹方向的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材），其顺纹方向的抗剪能力较差，梁的弯曲梁的弯曲y=y（x）挠曲线方程。挠度向下为正；向上为负。挠度向下为正；向上为负。=(x)转角方程。由变形前的横截面转到变形后，由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。顺时针为正；逆时针为负。挠度和转角的关系挠度和转角的关系挠度：挠度：横截面形心沿垂直于横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移轴线方向的位移。转角：转角：横截面绕中性轴转过横截面绕中性轴转过的角度。的角度。用用“”表示。表示。用用“y y”表
40、示表示。yxydxdytg)(ytg FCyxx 八、八、弯曲变形弯曲变形梁的弯曲梁的弯曲)()(xMxyEI 1)()(CdxxMxyEI21)()(CxCdxdxxMxEIy 积分法计算梁的变形积分法计算梁的变形1 1、根据荷载分段列出弯矩方程、根据荷载分段列出弯矩方程 M M（x x）。）。2 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。0Ay0By0Dy0 D 右右左左CC 连续条件：连续条件：右右左左CCyy 边界条件：边界条
41、件：DPPABCF梁的弯曲梁的弯曲aaF=+例例1 1：叠加法求叠加法求A A截面的转角和截面的转角和C C截面截面 的挠度的挠度.解解、a)载荷分解如图b)由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。EIFaEIFLyFC64833EIFaEIFLFA41622EIqaEIqLyqC245384544EIqaEIqLqA32433aaqFA AC CAaaq叠加法计算梁的变形叠加法计算梁的变形梁的弯曲梁的弯曲=+A AB BL La aC Cq qqaA AB BL L C CM=qa2/2（b）例例3：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。已知）。解解：1)结构分解如图2)查梁的简单载荷变形
42、表3)叠加B B C Cq q（a）EILqaaEILqaayEIqayCbBbBa63)21(;8324EILaqaEILqaEIqayyyBbBaB24)43(68334梁的弯曲梁的弯曲解：解：1)1)研究对象，研究对象，ABAB梁，梁，受力分析：受力分析：C C)物理条件物理条件048384534EIlREIqlC,85qLRCABq2l2lCRABq例例 已知梁的已知梁的EIEI，梁的长度，梁的长度，求各约束反力。求各约束反力。)变形协调方程变形协调方程)选用选用静定基，去支座静定基，去支座ARBRCR0,0qlRRRYCBA05.05.0,02qllRlRMCBAqlRRRCBA,0CRCqCyyyEIlRyEIqlyCCRCqC48,384534联立求解：联立求解：163qlRRBA九、解超静定梁九、解超静定梁
