1、第七章 弯曲刚度7-1 弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念7-2 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分7-3 工程中的叠加法工程中的叠加法7-4 简单的静不定梁简单的静不定梁7-5 弯曲刚度计算弯曲刚度计算7.1.17.1.1、梁弯曲后的挠度曲线、梁弯曲后的挠度曲线在弹性范围内加载时，梁的轴线在弯曲后变成一连续在弹性范围内加载时，梁的轴线在弯曲后变成一连续光滑的曲线，这一连续光滑曲线称为挠度曲线。光滑的曲线，这一连续光滑曲线称为挠度曲线。x7.1 弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念)x(zEI)x(M)x(1 zEIM1 qAB弯曲变形与位移的基本概念弯曲变
2、形与位移的基本概念7.1.27.1.2、梁的挠度与转角、梁的挠度与转角1.1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用用“w”表示。表示。)x(ww 挠度方程挠度方程挠度向下为正；向上为负。挠度向下为正；向上为负。wxwxqAB)x(弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念2.2.转角：横截面绕中性轴转过的角度。转角：横截面绕中性轴转过的角度。用用“”表示。表示。转角方程转角方程)x(顺时针为正；逆时针为负。顺时针为正；逆时针为负。wx wxqAB)x(弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念3.3.挠度和转角的关系挠度和转角的关系wx
3、wdxdwtg)(横截面上的转角等于挠曲线在该截面处的斜率横截面上的转角等于挠曲线在该截面处的斜率w 即：即：wx wxqAB)x(弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念7.1.37.1.3、梁的位移与约束密切相关、梁的位移与约束密切相关pFalpF BACABalapF pFCDlaFMp aFMp BA因为因为aFMp 所以所以zEIM1 弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念dlapFABC 对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠
4、度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。如果过大会增加轴承的磨损等等。7.1.47.1.4、梁的位移分析的工程意义、梁的位移分析的工程意义弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念7.2 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分7.2.1、小挠度微分方程小挠度微分方程x)x(zEI)x(M)x(1 qAB曲率与弯矩的关系曲率与弯矩的关系23222xdwd1xdwd)x(1 曲率与挠度
5、曲线的关系（数学表达式曲率与挠度曲线的关系（数学表达式)小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分23222xdwd1xdwd)x(1 zEI)x(M)x(1 23222zxdwd1xdwdEI)x(M EIMdxwd22小挠度微分方程小挠度微分方程小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分EIMxdwd22 EIMxw22dd0M,0 xdwd22 0M,0 xdwd22 wxMMwx使用条件：使用条件：弹性范围内工作的细长梁。弹性范围内工作的细长梁。MM本书所采本书所采用的情况用的情况小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分)x(M)x(wEI 1lCdx)x(M)x(wEI 21
6、llCxCdx)dx)x(M()x(EIw 利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方程程 =(x)=w(x)和挠度方和挠度方程程 w=w(x)，从而也就可以从而也就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了求某个具体横截面处的转角和挠度了。这种求这种求转角和转角和挠度的方法称为挠度的方法称为积分法积分法。小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分7.2.27.2.2、积分常数的确定、约束条件与连续条件、积分常数的确定、约束条件与连续条件1.1.边界条件边界条件BAF abCl梁截面的已知位移条件或位移约束条件梁截面的已知位移条件或位移约束条件0A
7、w0Bw0wD 0D DEF小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分2.2.连续条件连续条件BAF abCl分段处挠曲线所应满足的连续、光滑条分段处挠曲线所应满足的连续、光滑条件，简称为梁位移的连续条件。件，简称为梁位移的连续条件。右左CCww 右左CC 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分解：解：1.1.建立坐标系建立坐标系 求图示悬臂梁的转角方程求图示悬臂梁的转角方程 =(x)和挠度方和挠度方程程 w=w(x)，并求最大转角并求最大转角 max及最及最大挠度大挠度 wmax。梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。为已知。lABwxx2.2.求支
8、反力求支反力AFAMFFA FlMA 3.3.列弯矩方程列弯矩方程)xl(F)x(M 例题例题 7-1 F小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分lABwxx4.4.建立挠曲线近似微分方程并积分建立挠曲线近似微分方程并积分)xl(F)x(wEI C)2xlx(FEI)x(wEI2 DCx)6x2lx(F)x(EIw32 5.5.确定积分常数确定积分常数边界条件边界条件F小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分lABwxx6.6.建立转角与挠度方程建立转角与挠度方程)2xlx(FEI2 )6x2lx(F)x(EIw32 7.7.绘制挠曲线略图并计算最大转角与挠度绘制挠曲线略图并计算最大转
9、角与挠度B BwEI2Fl2Bmax EI3Flww3Bmax （）（）F小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分2xqFxMM2e 7.37.3 工程中的叠加法工程中的叠加法xqFeM EIMxdwd22 xw工程中的叠加法工程中的叠加法2xqFxMM2e qFxeMMwEI iMM iiMwEI MwEI iM iwEI iww xw工程中的叠加法工程中的叠加法 工程中的叠加法工程中的叠加法A EIlMeA EI2lMw2eAFA EI2Fl2A EI3Flw3AqA EI6ql3A EI8qlw4AA AwA AwA Aw工程中的叠加法工程中的叠加法BAF C2l2l EI16Fl2
10、A EI48Flw3CBAC2l2leM EI24ql3A EI384ql5w4CAC2l2lqB EI3lMEI6lMeBeA EIlMwC162eA CwA CwA Cw工程中的叠加法工程中的叠加法ACaaqBF叠加法求叠加法求A截面截面的转角和的转角和C截面截面的挠度的挠度.ACaaBF=ACaaqB+EI6Faw3FC EI4Fa2FA EI24qa5w4qC EI3qa3qA FA FCwqA qCw例题例题 7-2 工程中的叠加法工程中的叠加法ACaaqBF叠加法求叠加法求A截面截面的转角和的转角和C截面截面的挠度的挠度.EI24qa5EI6Fawww43qCFCC EI3qaEI
11、4Fa32qAFAA A Cw工程中的叠加法工程中的叠加法试求如图所示梁试求如图所示梁C C 点处挠度和转角。点处挠度和转角。qAlB已知悬臂梁在均布载荷 q 作用下B点的挠度和转角为：（其中l 为梁长）EI6ql3B EI8qlw4B1Cw1C ACBq2l2B 2Cw2BwEI3ql4EI6)l2(q331C EIql2EI8)l2(qw441C EI24ql7EI6lqlEI8qlw4342C EI6ql32B2C EI6ql732C1CC EI24ql41www42C1CC 解：解：ACBql2lqAC2lB例题例题 8-3 工程中的叠加法工程中的叠加法1 1、载荷叠加、载荷叠加 多个
12、载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。121122()()()()nnnPPPPPP、121122()()()()nnnf PPPf PfPfP、2 2、结构形式叠加（逐段刚化法）、结构形式叠加（逐段刚化法）结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxf21ffffPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMxf1.1.静定梁：梁的未知力个数等于独立静力方程的个数静定梁：梁的未知力个数等于独立静力方程的个数 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力。利用静力平衡方程就可以求出所
13、有的未知力。7.4 7.4 简单的超静定梁简单的超静定梁qACaBa.0aqa2a2F,0MByA AyFByF.0qa2FF,0FByAyy ACaqBaAyFByFCyF.0qa2FFF,0FCyByAyy .0aqa2aFa2F,0MCyByA 2.2.静不定梁：梁的未知力个数多于独立静力方程的个静不定梁：梁的未知力个数多于独立静力方程的个 数，只利用静力方程不能求出所有的未数，只利用静力方程不能求出所有的未 知力。知力。ACaqBaAyFByFCyF4.4.多余约束：在静不定梁中，凡是多余维持平衡所必多余约束：在静不定梁中，凡是多余维持平衡所必 需的约束，称为多余约束。需的约束，称为多
14、余约束。5.5.多余支反力：与多余约束相对应的支反力或支反力偶多余支反力：与多余约束相对应的支反力或支反力偶 矩，统称为多余支反力。矩，统称为多余支反力。3.3.静不定次数：在静不定梁中，未知力与独立的平衡方静不定次数：在静不定梁中，未知力与独立的平衡方 程数之差，称为静不定次数。程数之差，称为静不定次数。6.6.相当系统：多余约束解除后，所得之受力与原静不相当系统：多余约束解除后，所得之受力与原静不定梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。定梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。BACaqaACaqBaCyF0wC 0wC 0wwwCFqCCCy 即即0EI48lFEI384ql53C
15、y4 qL85FCy 变形协变形协调方程调方程,EI384ql5w4qC EI48lFw3CyCFCy 7.7.求解静不定的梁的方法与步骤求解静不定的梁的方法与步骤（1 1）根据支反力与有效平衡方程的数目，判断梁的静）根据支反力与有效平衡方程的数目，判断梁的静不定次数；不定次数；（2 2）解除多余约束，并以相应多余支反力代替其作用，）解除多余约束，并以相应多余支反力代替其作用，得原静不定梁的相当系统；得原静不定梁的相当系统；（3 3）计算相当系统在多余约束处的位移，并根据相应）计算相当系统在多余约束处的位移，并根据相应的变形协调方程建立补充方程，从而求出多余支反力。的变形协调方程建立补充方程，
16、从而求出多余支反力。EI8qlw4qB EI3lFw3BBFB 0EI3lFEI8ql3B4 qlFB83qAlBFM 8ql2128ql920wwwBFqBBB qABl例题例题 8-4 7.57.5 弯曲刚度计算弯曲刚度计算dlapFABC 对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角度过大会影响
17、加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。如果过大会增加轴承的磨损等等。max7.5.17.5.1、梁的刚度条件、梁的刚度条件 maxw钢制圆轴，左端受力为钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 kN，alm，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图，其他尺寸如图所示。规定轴承所示。规定轴承B B 处的许用转角处的许用转角 =0.5。1 1.校核刚度；校核刚度；2.2.设计截面尺寸；设计截面尺寸；7.5.2、刚度计算举例、刚度计算举例3.3.确定外载荷。确定外载荷。dlapFABC根据刚度要求确定该轴的直径根据刚度要求确定该轴的直径d d。例题例题 8-5 1 1查表确
18、定查表确定 B B 处的转角处的转角EIlaFB3P2 2根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径 B111mmm10111m100.52063101802120643-493d2dlapFABC简单静不定梁简单静不定梁1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：解：建立静定基 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxf7.6 7.6 结论与讨论结论与讨论 几何方程变形协调方程0BBRBqBwww+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程变形与力的关系补充方程EILRwEIqLwBBRBqB
19、3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它问题（反力、应力、变形等）通过以上讨论可知，梁的变形与梁的抗弯刚度EI、跨度l、支座情况、载荷形式及其作用位置有关。根据这些因素对弯曲变形的作用，可通过下列措施来提高梁的刚度。(1)(1)增大抗弯刚度：增大抗弯刚度：主要是采用合理的截面形状，在面积基本不变的情况下，使惯性矩I尽可能增大，可有效地减小梁的变形。为此，工程上的受弯构件多采用空心圆形、工字形、箱形等薄壁截面。材料的弹性模量E值愈大，梁的抗弯刚度也会愈大。但对钢材来说，各类钢的E值非常接近，故选用优质钢对提高梁的抗弯刚度意义并不大。提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施 (2)调
20、整跨度和改善结调整跨度和改善结构构：静定梁的挠度与跨度的n次方成正比。在可能的条件下，减小跨度可明显地减小梁的变形。但减小跨度往往和改变梁的结构联系在一起。如图a)所示受均布载荷作用的简支梁，若将两端支座向内移动2l/9变为外伸梁(图 b)，则其跨中截面的挠度明显下降。EIPLy3max021.0EIPLy3max014.0EIPLy3max0073.0（3）合理布置外力（包括支座）合理布置外力（包括支座）,使使 M max 尽可能小尽可能小PL/2L/2Mx+PL/4P=qLL/54L/5对称PL/43L/4Mx3PL/16+MxqL2/10+EIqLy4max013.0EIqLy43max107875.0EIqLy43max10326.0qLL/5qL/5qL/2L/2Mx82qL+402qL502qL Mx-+-322qL Mx3291692qL3291692qL+-
