1、 陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校 2019 届高三届高三 3 月联考数学（文）试题月联考数学（文）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.已知集合2，3，6， ，则 A. 2， B. 6， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先分别求出集合 A，B，C，由此能求出 【详解】集合2，3，6， 6，9，18， 2， 故选：D 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能
2、力，是基础题 2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩转化为了标准分，满分 900 分的条形统计图（甲为黑色条框，乙为 浅色条框） ，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为， ，从而得到， 【详解】由条形统计图得到： 在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分 900 分中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定， 设甲乙两位同学成绩的平均值分别为， 标准差分别为， 则， 故选：A 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知
3、识，考查运算求解能力，是基础 题 3.1748 年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这 个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，表示的复数所对应 的点在复平面中位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案 【详解】由题意可得， ， 则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限 故选：B 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 4.设 为所在平面内一点 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【
4、分析】 由利用平面向量几何运算的三角形法则，可得，化简即可得结果. 【详解】因为， 所以， 可得， 化为，故选 A. 【点睛】本题主要考查平面向量的几何运算，属于基础题向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函 数知识解答，运算法则是： （）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ； （）三角 形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）. 5.张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布， 若第一天织 5 尺布，现有一月（按 30 天计） ，共织 390 尺布”，则该女最后一天织多少尺布？ A. B. C. D. 【
5、答案】C 【解析】 由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织 尺布，则 ，解得 ，所以 ，故选 C. 6.设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数为 r，y 关于 x 的回归直线方程为， 则 A. k 与 r 的符号相同 B. b 与 r 的符号相同 C. k 与 r 的符号相反 D. b 与 r 的符号相反 【答案】A 【解析】 【分析】 根据相关系数知相关系数的性质：，且越接近 1，相关程度越大；且越接近 0，相关程度越小 为 正，表示正相关，回归直线方程上升，选出正确结果 【详解】相关系数 r 为正，表示正相关，回归直线方程上升， r 为负，表示负相关，回归直线方程下
6、降， 与 r 的符号相同 故选：A 【点睛】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相 关，当相关系数大于时，表示两个变量有很强的线性相关关系 7.如果对定义在 R 上的奇函数，对任意两个不相邻的实数，所有 ，则称函数为“H 函数”，下列函数为 H 函数的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数 为单调递增函数，即可得“H 函数”为奇函数且在 R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案 【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，则恒成立， 则有恒成立，即函数是定义在 R 上的增函数， 则“H
7、 函数”为奇函数且在 R 上为增函数， 据此依次分析选项： 对于 A，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于 B，为指数函数，不是奇函数，不符合题意； 对于 C，为奇函数，但在 R 上不是增函数，不符合题意； 对于 D，为奇函数且在 R 上为增函数，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题 8.已知正三棱柱的三视图如图所示， 一只蚂蚁从顶点 A 出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶 点，则该蚂蚁走过的最短路径为 A. B. 25 C. D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】 将三棱柱展开，得出最短距离是 6 个矩
8、形对角线的连线，相当于绕三棱柱转 2 次的最短路径，由勾股定理求 出对应的最小值 【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示； 在展开图中，最短距离是 6 个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值 由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为， 所以矩形的长等于，宽等于 7， 由勾股定理求得 故选：B 【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为 平面问题，化曲为直的思想方法 9.将函数的图象向右平移 个单位，在向上平移一个单位，得到 的图象若， 且，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意利用函数
9、的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出 ，的值，可得的最大值 【详解】将函数的图象向右平移 个单位，再向上平移一个单位， 得到的图象， 故的最大值为 2，最小值为 0， 又，则 即， 又，则， 从而取得最大值为 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题 10.已知圆 C：，若等边 PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦，则PC的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 试题分析：方法一：如图，连接 AC，BC，设，连接 PC 与 AB 交于点 D，是等 边三角形，D 是 AB 的中点，在圆 C：中，
10、圆 C 的半径为， ，在等边中， ，故选 C 方法二：设， 则，记，令 ，得， ，故选 C 考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值 【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出 D 为中点，再由为等边三角形，得出， 在中，将和用 表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界 性求最值；法二：设出边 AD 的长 x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值 11.抛物线在第一象限内图像上一点 处的切线与 x 轴交点的横坐标即为，其中，若 ，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：，过点的切线方程为，令， 得，可得，又，所以 考点：1导数的几何性质；2
11、等比数列 12.已知双曲线的右焦点为，若 C 的左支上存在点 M，使得直线 是线段 的垂直平分线，则 C 的离心率为 A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 设 P 为直线与的交点，则 OP 为的中位线，求得到渐近线的距离为 b，运用中位线 定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值 【详解】 ，直线是线段的垂直平分线， 可得到渐近线的距离为， 且，可得， 即为，即， 可得 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于 中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.
12、020.0 分）分） 13.已知 F 是抛物线 C：的焦点，点在抛物线 C 上，且，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用抛物线方程求出 p，利用抛物线的性质列出方程求解即可 【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得， 故答案为： 【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题 14.已知实数 x，y 满足约束条件，则的最大值为_ 【答案】10 【解析】 【分析】 作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的最值即可 【详解】作出实数 x，y 满足约束条件的可行域如图所示：作直线 ：， 再作一组平行于 的直线 l：， 当直线 l 经过点 A 时，取得最大值， 由，
13、得点 A 的坐标为，所以 的最大值为：10 故答案为：10 【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力 15.设函数，则函数 _ 【答案】 【解析】 【分析】 推导出函数，由此能求出结果 【详解】函数， 函数 故答案为： 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 16.如图，已知正四棱柱和半径为的半球 O，底面 ABCD 在半球 O 底面所在平面上， ， ，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 设该正四棱柱的高为 h，底面边长为 a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理，
14、得出 ，利用柱体体积公式得出柱体体积 V关于 h的函数关系式，然后利用导数可求出 V的最大值 【详解】设正四棱柱的高为 h，底面棱长为 a，则正四棱柱的底面外接圆直径为， 所以， 由勾股定理得，即，得，其中， 所以，正四棱柱的体积为，其中， 构造函数，其中，则，令，得 当时，；当时， 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，则 因此，该正四棱柱的体积的最大值为 4 【点睛】本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查 计算能力，属于中等题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题，共小题，共 82.082.0 分）分） 17.的内角 A，B
15、，C 的对边分别为，且 求角 A 的大小； 求的面积的最大值 【答案】 （1） ； （2）. 【解析】 【分析】 直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果 利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果 【详解】在的内角 A，B，C 的对边分别为，且 整理得：， 利用正弦定理得：， 即：， 由于：， 解得： 由于， 所以：， 整理得：， 所以： 当且仅当时，的面积有最小值. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基 本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18.如图，在四棱锥中，侧面底面
16、ABCD，E，F 分别为 PC，PA 的中点，底面是直角 梯形， 求证：平面平面 PBD； 求三棱锥的体积 【答案】 （1）见解析； （2） . 【解析】 【分析】 过点 B作于 H，证明，通过直线与平面垂直的判定定理证明平面 PBD； 求出 E到平面 PAB 的距离及三角形 PBF的面积，利用等积法求三棱锥的体积 【详解】证明：在直角梯形 ABCD 中，过点 B 作于 H， 在中，有， 又在中，有， ， ，平面平面 ABCD，平面平面，平面 PCD， 平面 ABCD， 又，平面 PBD，平面 PBD， 平面 PBD， 又平面 PBC， 平面平面 PBD； 解：，且平面 PAB，平面 PAB，
17、则平面 PAB， 在中，由，可得 D 到 PA 的距离为，即 D 到平面 PAB 的距离为 又 E 为 PC 的中点，可得 E 到平面 PAB 的距离为 在中，由，且 F 为 PA 的中点， 可得 【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是 中档题 19.从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值由测量表得到如下频率分布直方 图 补全上面的频率分布直方图用阴影表示； 统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值 及方 差； 当质量指标值位于时，认为该产品为合格品，求该产品为
18、合格品的概率 【答案】 （1）见解析； （2），； （3）0.95. 【解析】 【分析】 由频率分布直方图求出内的频率为，由此能补全频率分布直方图 由频率分布直方图求出质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差 求出质量指标值位于的频率，由此能求出该产品为合格品的概率 【详解】由频率分布直方图得： 内的频率为：， 由此能补全频率分布直方图如下： 质量指标值的样本平均数为： 质量指标值的样本方差为 当质量指标值位于时，认为该产品为合格品， 质量指标值位于的频率为： 该产品为合格品的概率为 【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等 基础知识，
19、考查运算求解能力，是基础题 20.已知椭圆 C 过点，两个焦点 求椭圆 C 的标准方程； 设直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 3，求面积的最大值 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 由题意可设椭圆方程为：，半焦距 可得，联立 解出即可得出 直线 l与 x 轴平行时，把代入椭圆方程可得：，解得 x，可得面积直线 l的 斜率不为 0 时，设直线 l的方程为：，设，原点到直线 AB的距离， 化为：直线方程与椭圆方程联立化为：，利用根与系数的关系 可得，令，可得面积 【详解】由题意可设椭圆方程为：，半焦距 c 则， 联立解得：， 椭圆 C 的标准
20、方程为： 直线 l 与 x 轴平行时，把代入椭圆方程可得：，解得，可得面积 直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为：，设， 原点到直线 AB 的距离，化为： 联立，化为：， ， ， 则， 令，则面积 ， 当且仅当，时， 面积取得最大值 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的性 质，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21.已知函数有两个零点 求实数 a 的取值范围； 若函数的两个零点分别为，求证： 【答案】 （1）； （2）见解析. 【解析】 【分析】 利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出 a的范围； 由， 得，；
21、得到所以；构造函数 ，求证即可 【详解】由，得， 当时，在 R 上为增函数， 函数最多有一个零点，不符合题意，所以 当时，； 所以在上为减函数，在上为增函数； 所以； 若函数有两个零点，则； 当时，； ； 由零点存在定理，函数在和上各有一个零点 结合函数的单调性，当时，函数有且仅有两个零点， 所以，a 的取值范围为 证明：由得，； 由， 得，； 所以； 设，则， 解得，； 所以， 当时， ； 设，则 ，当时， 于是在上为增函数； 所以，当时，即； 所以 【点睛】本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线
22、 的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）. （）把曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线 的形状； （）若直线经过点，求直线被曲线 截得的线段的长. 【答案】 （1）详见解析； （2） 【解析】 试题分析： （1）对曲线 的极坐标方程两边乘以 ，可化得其直角坐标方程为，这是顶点在原点，焦点 为的抛物线； （2）根据直线参数方程的定义可知，直线过点，依题意直线又过点，由此求得直 线方程为，倾斜角为，故直线的参数方程为，代入抛物线的直角坐标 方程，写出韦达定理，利用求得弦长为 . 试题解析： （1）曲线 的直角坐标方程为，故曲线 是顶点为，焦点为的抛物线. （2） 直线的参数方程为（
23、为参数，） ， 故经过点， 若直线经过点， 则. 直线的参数方程为（为参数） 代入，得， 设对应的参数分别为，则， . 23.已知函数的定义域为 R 求实数 m 的取值范围 若 m 的最大值为 n，当正数 a、b 满足时，求的最小值 【答案】() m4() 【解析】 试题分析： （1）由函数定义域为 R，可得|x+1|+|x3|m0 恒成立，设函数 g（x）=|x+1|+|x3|，利用绝对值 不等式的性质求出其最小值即可； （2）由（1）知 n=4，变形 7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出 试题解析： ()由题意可知：m0对任意实数恒成立 设函数 g(x)，则 m不大于函数 g(x)的最小值 又4.即 g(x)的最小值为 4，所以 m4 ()由()知 n4， 7a4b . 当且仅当 a2b3ab，即 b2a时，等号成立所以 7a4b 的最小值为 . 点睛： 含绝对值不等式的解法有两个基本方法， 一是运用零点分区间讨论， 二是利用绝对值的几何意义求解 法 一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透， 解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向 【此处有视频，请去附件查看】
