1、 云南省高中毕业生云南省高中毕业生 20192019 年第一次复习统一检测年第一次复习统一检测 数学试卷（理）数学试卷（理） 一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则 的真子集共有（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】B 【解析】 【分析】 先求得两个集合的交集，然后计算出真子集的个数. 【详解】依题意，其真子集为 ，只有一个真子集，故选 B. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查真子集的个数，属于基础题. 2.已知为虚数单位，则（ ） A. B
2、. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算，对题目所给表达式进行化简. 【详解】依题意，原式，故选 A. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技 巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相 关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解. 3.设向量，若 ，则（ ） A. B. -1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据即可得出，解出 即可 【详解】 故选： 【点睛】考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学
3、生对这些知识的理解掌握水平 和分析推理能力. 4.在的二项展开式中， 的系数等于（ ） A. -180 B. C. D. 180 【答案】D 【解析】 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令 的幂指数等于 6，求出的值，即可求得的系数 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得的系数为. 故选： 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，考查二项展开式的特定项的系数的 求法，属于基础题 5.执行如图所示的程序框图，则输出 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 运行程序，计算 的值，当时退出循环，求得输出 的值. 【详解】运行程序，
4、判断否，判断否，判断否，以此类推， ，判断是，输出.故选 C. 【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题. 6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1（单位 mm） ，粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单 位：）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三视图得到几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，由此计算出几何体的体积. 【 详 解 】 由 三 视 图 可 知 ， 该 几 何 体 是 由 一 个 圆 柱 和 一 个 长 方 体 构 成 ， 故 体 积 为 ，故选 A. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查圆柱和长方体体积的
5、计算，属于基础题. 7.为得到函数的图象，只需要将函数 的图象（ ） A. 向左平行移动 个单位 B. 向右平行移动 个单位 C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位 【答案】D 【解析】 【分析】 由题将函数可化为，将的图象转换为，再利用三 角函数图像的变换求解. 【详解】由题将函数可化为， 将的图象转换为，该图象向右平移个单位， 即可得到的图象 故选： 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题 8.已知 ， 都为锐角，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用求得，由
6、此求得的表达式，利用诱导公式化简，并利用齐次方程计算出的 值. 【详解】由于，所以，所以 .故选 B. 【点睛】本小题主要考查余弦函数的零点，考查诱导公式、二倍角公式以及齐次方程，属于中档题. 9.已知 是抛物线 ：上的任意一点，以 为圆心的圆与直线相切且经过点 ，设斜率为 1 的直线与抛物线 交于 ， 两点，则线段的中点的纵坐标为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义求得抛物线的方程，设出斜率为 的直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去 ， 然后利用韦达定理求得中点的纵坐标. 【详解】由于为圆心的圆与直线相切且经过点，根据抛物线
7、的定义可知 为抛物线的焦点，故 ，所以抛物线方程为.设斜率为 的直线的方程为，则，代入抛物线方程 得，即，所以，.即中点的纵坐标为 ，故选 A. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题. 10.在中，内角 ， ， 对的边分别为 ， ， ， ，平分交于点 ，则的 面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设，则，根据正弦定理表示出，即可表示出三角形的的面积，再根据三角函数的 化简和正弦函数的图象和性质即可求出. 【详解】设，则， ，平分交于点 ， 在三角形中， 由正弦定理可得， ， 在三角形中， 由正弦定理可得， ， 面积
8、， ， ， ， ， 当时，即时，面积 最小，最小值为， 故选： 【点睛】本题考查了正弦定理的应用和三角形函数的化简，主要考查三角函数的图象和性质，考查了运算能 力和转化能力，属于难题 11.双曲线 的焦点是，若双曲线 上存在点 ，使是有一个内角为的等腰三角形，则 的离心 率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据是有一个内角为的等腰三角形，求得 点的坐标，代入双曲线方程，化简后求得离心率. 【详解】不妨设 在第一象限，由于是有一个内角为的等腰三角形，故，代入双曲线方程 得，化简得，解得，故.所以选 C. 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知
9、识，属于基础题. 12.已知 是自然对数的底数，不等于 1 的两正数 ， 满足，若，则的最小值为 （ ） A. -1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用对数的运算公式，化简，求得的值，由此求得的关系式，化简，并利用导 数求得最小值. 【详解】依题意 ，即，由于，故上式解得 ，即.所以.构造函数（ 为不等于 的正数）.， 故函数在上递减，在上递增，所以最小值为.故选 D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方 法，属于中档题. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题。小题。 13.若 ， 满足约束条件，
10、则目标函数的最大值等于_ 【答案】2 【解析】 【分析】 画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为 . 【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目 所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线； 然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题. 14.已知随机变量服从正态分布，则_. 【答案】8 【解析】 【分析】 由已知求得，再由得答案 【详解】随机变量
11、服从正态分布， 则 故答案为：8 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题 15.已知函数，若 ，则_ 【答案】-4 【解析】 【分析】 当时，无解；当时，由此能求出 的值 【详解】函数， 当时，无解； 当时， 解得， （2） 故答案为： 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 16.已知 ， ， ， ， 是球 的球面上的五个点，四边形为梯形， ，,平面平面，则球 的表面积为_. 【答案】 【解析】 【分析】 设的中点为 ，证明 是球的球心，由此求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】 设中点为 ， 设中点
12、为 ， 作出图像如下图所示， 由于，,平面平面, 所 以,平 面， 故. 由 于， 所 以 ，.所以，故 点到的距离相等，所以 为球心， 且球的半径为 ，故表面积为. 【点睛】本小题主要考查几何体外接球球心的位置的求法，考查球的表面积公式，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.数列中， . （1）求，的值； （2）已知数列的通项公式是，中的一个，设数列的前 项和为， 的前 项和为，若，求 的取值范围 【答案】 （1），（2），且 是正整数 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件，分别令和，求得的值.（2）根
13、据判断出数列的通项公式为 ，利用裂项求和法求得的值，利用累加法求得的值，根据列不等式，解不 等式求得 的取值范围. 【详解】 （1）， （2）由数列的通项公式是，中的一个，和得数列的通项公式 是 由可得 ， 即 由，得，解得或 是正整数， 所求 的取值范围为，且 是正整数 【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查裂项求和法，考查累加法，属于中档题. 18.为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了 、 两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在的 为优质品现从该厂生产的 、 两种型号的节排器中，分别随机抽取 500 件产品进行性能质量评分，并将评 分分别分成以下六个组；，绘制成如图所示的频率分
14、 布直方图： （1）设 500 件 型产品性能质量评分的中位数为 ，直接写出 所在的分组区间； （2）请完成下面的列联表（单位：件） （把有关结果直接填入下面的表格中） ； 型节排器 型节排器 总计 优质品 非优质品 总计 500 500 1000 （3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为 、 两种不同型号的节排器性能质量有差异？ 附：，其中. 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】 （1）（2）见解析（3）有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异. 【解析】 【分析】 （1）中位数左边和右边的频率各占一半，由此判断出中位数所在区间是.（2）
15、根据题目所给数据填写 好联表.（2）计算的值，由此判断出有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异. 【详解】解： （1）； （2）列联表如下： A 型节排器 B 型节排器 总计 优质品 180 140 320 非优质品 320 360 680 总计 500 500 1000 （3）由于 所以有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异. 【点睛】本小题主要考查由频率分布直方图判断中位数的位置，考查列联表及独立性检验，属于基础题. 19.在四棱锥中，四边形为菱形，且 ， 分别为棱，的中点 （1）求证：平面； （2）若平面，求平面与平面所成二面角的正弦值 【答案】 （1）见证明（2） 【解
16、析】 【分析】 （1） 设的中点为 ， 连接， 先证明， 即证平面； （2） 连接， 设， 连接，连接. 分别以，为 轴， 轴，轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 再利用向量方法求平面与平面所成二面角的正弦值为. 【详解】 （1）证明：设的中点为 ，连接，. ， 分别是，的中点， ，且. 由已知得，且. ，且. 四边形是平行四边形. . 平面，平面， 平面. （2）连接，设，连接，连接. 设菱形的边长为 ，由题设得， 平面，分别以，为 轴， 轴，轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题设得， ，. 设是平面的法向量， 则，化简得， 令，则，. 同理可求得平面的一个法向量.
17、. 平面与平面所成二面角的正弦值为. 【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查空间角的求法，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理转化能力. 20.已知椭圆 的中心在原点，左焦点、右焦点都在 轴上，点 是椭圆 上的动点，的面积的最大 值为，在 轴上方使成立的点只有一个 （1）求椭圆 的方程； （2）过点的两直线 ， 分别与椭圆 交于点 ， 和点 ， ，且，比较与的 大小 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1） 根据已知设椭圆 的方程为， 由已知分析得， 解得， 即得椭圆 的方程为.（2）先证明直线的斜率为 0 或不存在时，.再证 明若的斜率存在且不为 0 时，
18、. 【详解】 （1）根据已知设椭圆 的方程为，. 在 轴上方使成立的点 只有一个， 在 轴上方使成立的点 是椭圆 的短轴的端点. 当点 是短轴的端点时，由已知得， 解得. 椭圆 的方程为. （2）. 若直线的斜率为 0 或不存在时，且或且. 由， 得. 若的斜率存在且不为 0 时，设：， 由得， 设，则， 于是 . 同理可得. . . 综上. 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算，意在考 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 21.已知 是自然对数的底数，函数与的定义域都是. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求证：函数只有一
19、个零点，且； （3）用表示 ， 的最小值，设，若函数在上为 增函数，求实数的取值范围 【答案】 （1）（2）见证明（3） 【解析】 【分析】 (1)利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程为.（2）先计算得，所以存 在零点，且.再证明在上是减函数，即得证函数只有一个零点，且.(3) 由题得， 在为增函数在，恒成立，即在区间上恒成立. 设 ，只需证明，再利导数求得的最小值， . 【详解】 （1）， 切线的斜率，. 函数在点处的切线方程为. （2）证明：， ， 存在零点，且. ， 当时，； 当时，由得 . 在上是减函数. 若，则. 函数只有一个零点，且. （3）解：，故， 函数只有一个零点， ，即
20、. . 在为增函数在，恒成立. 当时，即在区间上恒成立. 设，只需， ，在单调减，在单调增. 的最小值，. 当时，由上述得，则在恒成立. 综上述，实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线的方程的求法，考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用 导数研究函数的恒成立问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知常数 是实数，曲线的参数方程为（为参数） ，以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）写出的普通方程与的直角坐标方程； （2）设曲线与相交于 ， 两点，求的最小值 【答案
21、】 （1）的普通方程为，的直角坐标方程为（2）8 【解析】 【分析】 （1）将的参数方程消去，得到的普通方程.对的极坐标方程两边乘以 ，由此求得的直角坐标方程. （2）联立的直角坐标方程，写出韦达定理，然后根据弦长公式求得的表达式，进而求得的最小 值. 【详解】 （1）的普通方程为 的直角坐标方程为 （2）设，则 由得， ， 当时， 的最小值等于 8 【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查弦长公式， 属于中档题. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数. （1）当时，解关于 的不等式； （2）当时，若对任意实数 ，都成立，求实数 的取值范围 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对 分成和两类，利 用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得 的取值范围. 【详解】 （1）当时， 由得 由得 解：，得 当时，关于 的不等式的解集为 （2）当时， 所以在上是减函数，在是增函数，所以， 由题设得，解得.当时，同理求得. 综上所述， 的取值范围为. 【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式， 属于中档题.
