1、 四川省高中四川省高中 2019 届毕业班第二次诊断性考试届毕业班第二次诊断性考试 数学（理）试题数学（理）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.已知集合2，则 A. B. C. D. 2， 【答案】C 【解析】 【分析】 解出集合 B，利用交集概念即可求解。 【详解】由得：或， 所以 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法及交集运算，属于基础题。 2. 为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数 A. B. 0 C. 1 D. 0 或 1 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用纯
2、虚数的定义求解即可 【详解】是纯虚数， ，即，故选 C 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握 纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的 乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3.已知，向量，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由列方程，求得 的取值为：或，利用充分、必要条件概念即可判断。 【详解】向量，若， 则，解得或， 又“或”“”， 但是“”
3、“或”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示及充分、必要条件概念，考查计算能力，属于基础题。 4.某班共有 50 名学生，其数学科学业水平考试成绩记作2，3， ，若成绩不低于 60 分为合格， 则如图所示的程序框图的功能是 A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数 B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率 C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数 D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率 【答案】D 【解析】 【分析】 执行程序框图，可知其功能为用 表示成绩合格的人数， 表示全班总人数，从而可得输出结果的实际意义 【详解】执行程
4、序框图，可知其功能为输入 50 个学生成绩 ， 表示该班学生数学科成绩合格的人数， 表示全班总人数， 输出的 为该班学生数学科学业水平考试的合格率，故选 D 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点： (1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循 环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序, （6） 在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算， 直到达到输出条件 即可 5.在中，内角的对
5、边分别为，若，则的外接圆面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设的外接圆半径为 ，由，利用余弦定理化简已知可得，利用正弦定理 可求，解得，从而可得结果 【详解】设的外接圆半径为 ， ， 由余弦定理可得：， ，解得：， 的外接圆面积为，故选 C 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题正弦定理是解三角形的有 力工具，其常见用法有以下三种： （1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐 角） ； （2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边； （3）证明化简过程中边角互化； （4）求三角形外接 圆半径. 6.在展开式中
6、的常数项为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】 求出展开项中的常数项及含 的项，问题得解。 【详解】展开项中的常数项及含 的项分别为： ,， 所以展开式中的常数项为：. 故选：D 【点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。 7.若函数的图象向左平移个单位长度后关于 轴对称， 则函数在区间上 的最小值为 A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得 ，由正弦函数的单调性可得结果. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后， 图象所对应解析式为
7、：， 由关于 轴对称，则， 可得，又，所以， 即， 当时，所以，故选 A 【点睛】本题考查了三角函数图象的对称性、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题能否正确处 理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度. 8.已知双曲线上有一个点A，它关于原点的对称点为B，双曲线的右焦点为F，满足 ，且，则双曲线的离心率e的值是 A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设是双曲线的左焦点，由题可得是一个直角三角形，由，可用 表示出， ，利用双曲线定义列方程即可求解。 【详解】依据题意作图，如下：其中 是双曲线的左焦点， 因为，所以， 由双曲线的对称
8、性可得：四边形是一个矩形，且， 在中，, 由双曲线定义得：，即：，整理得：， 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质及双曲线定义，考查计算能力，属于基础题。 9.节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理， 来实现节能效益的最大化为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的 生产利润： 年号 1 2 3 4 5 年生产利润 单位：千 万元 1 预测第 8 年该国企的生产利润约为 千万元 参考公式及数据：；， A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用表中数据求出，即可求得 ，从而求得 ，从
9、而求得利润与年号的线性回归方程为 ，问题得解。 【详解】由题可得：， 所以，又， 所以利润与年号的回归方程为：， 当时， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程及其应用，考查计算能力，属于基础题。 10.已知一个几何体的正视图，侧视图和俯视图均是直径为 10 的圆 如图 ，这个几何体内接一个圆锥，圆锥 的体积为，则该圆锥的侧面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设该内接圆锥的半径为 ，高为 ，根据圆锥内接于球列方程，结合圆锥的体积为列方程即可求得： ，求出圆锥的母线长，问题得解。 【详解】由三视图可得：该几何体是一个半径为 5 的球，过球心及圆锥的顶点作出圆锥
10、内接于球的截面图， 如下： 设该内接圆锥的半径为 ，高为 ，则，解得：， 所以圆锥的母线长为：， 所以该圆锥的侧面积为. 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积公式及直角三角形知识，考查计算能力及空间思维能力，属于基础题。 11.已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值 为 A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 设，利用三角形知识得到，转化成，令，将 转化成，问题得解。 【详解】设， 由抛物线方程可得：抛物线的焦点坐标为， 由抛物线定义得： 又, 所以 ， 当且仅当三点共线时（F 点在 PQ 中间） ，等号成立， 令，可化为：， 当且仅当，
11、即：时，等号成立。 故选：B 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及换元法、基本不等式的应用，还考查了计算能力及转化能力， 属于基础题。 12.设函数满足，且在上单调递增，则的范围是为自然对数的底数 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 整理得：，利用函数在上单调递增，可得：，将代 入、整理即可得解。 【详解】整理得：， 因为函数在上单调递增，所以，即， 所以，整理得：. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，考查了转化思想及计算能力，属于基础题。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.若，
12、则的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 求出，将展开即可得解。 【详解】因为， 所以， 所以. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式及两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题。 14.若函数的定义域和值域都是，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 对 的范围分类，由函数的定义域和值域都是列方程即可求出 ，问题得解。 【详解】当时，函数递增，又函数的定义域和值域都是， 则：，此不等式组无解。 当时，函数递减，又函数的定义域和值域都是， 则：，解得：， 所以. 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性及对数运算知识，考查转化能力及计算能力，属于基础题。 15.若正实数满足，则的最小值为_ 【答案】 【
13、解析】 【分析】 由得，将转化为， 整理，利用基本不等式即可求解。 【详解】因为，所以. 所以 当且仅当，即：时，等号成立。 所以的最小值为 . 【点睛】本题主要考查了构造法及转化思想，考查基本不等式的应用及计算能力，属于基础题。 16.在体积为的四棱柱中， 底面ABCD为平行四边形， 侧棱底面ABCD，其中， ，则线段BC的长度为_ 【答案】或 【解析】 【分析】 由体积为可求得四棱柱的底面面积，从而求得，从而求得，即可求得， 由余弦定理即可得解。 【详解】根据题意作出如下图象，如图： 由题可得：，解得：，所以， 又，所以， 所以 当时，在中，由余弦定理得： ，解得：， 当时，在中，由余弦定
14、理得： ，解得：， 所以线段BC的长度为或. 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式及余弦定理、三角恒等式，考查分类思想及计算能力，属于基础题。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题，共小题，共 82.082.0 分）分） 17.已知等比数列是递增数列，且， 求数列的通项公式 若，求数列的前n项和 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 根据是递增等比数列，列方程即可求出， ，问题得解。 （2）利用错位相减法即可求解前n项和 【详解】解：由是递增等比数列， ，； 解得：，； 数列的通项公式：； 由， ； 那么， 则， 将得：； 即： 【点睛】本题主要考查了等比数列通项
15、公式以及计算能力，考查方程思想及错位相减法求和，属于基础题。 18.今年年初，习近平在告台湾同胞书发表 40 周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济 合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经 贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、 通电、通气、通桥要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相 当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾 进口优质大米向国内 100 家大型农贸市场提供货源，
16、据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量 单位：吨 ， 以，分组的频率分布直方图如 图 求直方图中 的值和年平均销售量的众数和中位数； 在年平均销售量为，的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方 法抽取 11 家大型农贸市场， 求年平均销售量在，的农贸市场中应各抽取多少家？ 在的条件下，再从，这三组中抽取的农贸市场中随机抽取 3 家参加国台 办的宣传交流活动，记恰有 家在组，求随机变量 的分布列与期望和方差 【答案】 （1） 的值为 0.0075，众数为 230，中位数为 224； （2）即年平均销售量在， 的农贸市场中应各抽取 3、2、1 家； （3）详见解析. 【解析】 【分析】 频率和为 1，
17、列方程即可求得 ，由图可直接求出众数，再由中位数定义列方程即可求出中位数。 （2）求出各段的人数即可求得四个段内的人数总和，即可求得抽取比例，对应的抽取人数即可计算。 （3）对 分类计算对应的概率，即可列出分布列，由分布列列式求期望与方差 【详解】 解： 由频率和为 1， 列方程: ， 得 ，直方图中 的值为 ； 年平均销售量的众数是， ， 年平均销售量的中位数在内，设中位数为 ， 则 ， 解得，即中位数为 224； 年平均销售量在的农贸市场有 （家） ， 同理可求年平均销售量，的农贸市场有 15、10、5 家，所以抽取比例为 ， 从年平均销售量在的农贸市场中应抽取家 ， 从年平均销售量在的农
18、贸市场中应抽取家 ， 从年平均销售量在的农贸市场中应抽取家 ； 即年平均销售量在，的农贸市场中应各抽取 3、2、1 家； 由知，从，的大型农贸市场中各抽取 3 家、2 家、1 家； 所以 的可能取值分别为 0，1，2，3； 则， 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为， 方差为 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，众数、中位数，分层抽样，概率，分布列与数学期望和方差的计 算问题，考查方程思想，是中档题 19.如图，在三棱柱中，四边形是长方形， ，连接EF 证明：平面平面； 若，求二面角的正弦值 【答案】 （1）详见解析； （2）. 【解析】 【分析】 （1）先证明平面，从而证得平面，从而可
19、得是平面与平面所成 二面角的平面角再利用平行四边形为菱形即可证得平面与平面所成二面角的平面角为直 角，问题得证。 （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量坐标，利用向量夹角坐标公式即可求得其 余弦值，问题得解。 【详解】证明：在三棱柱中， 又在长方形中， 平面B. 四边形与四边形均是平行四边形， 且，连接EF， 又， 又平面，平面B. 又，均在平面内， ，B. 又平面平面，平面，平面 由二面角的平面角的定义知， 是平面与平面 所成二面角的平面角 又在平行四边形中，平行四边形为菱形， 由菱形的性质可得， 平面平面； 解：由及题设可知，四边形是菱形， 在中，由余弦定理可得 又由知，EB，E
20、A，EF两两互相垂直，以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 0，0，0， ， 设平面的法向量为，平面的一个法向量为 由，取，得； 由，取，得 设二面角的大小为 ， 则 二面角的正弦值为 【点睛】本题主要考查了空间位置关系，二面角及空间向量应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、 运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题 20.已知，椭圆C过点，两个焦点为，E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率 与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为，直线l与椭圆C相切于点A，斜率为 求椭圆C的方程； 求的值 【答案】 （1）； （2）0. 【解析】 【分析】 可设椭圆C的方
21、程为，由题意可得，由椭圆的定义计算可得 ，进而得到b，即 可得到所求椭圆方程； 设直线AE：，代入椭圆方程，运用韦达定理可得E的坐标，由题意可将k换为，可得F 的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线EF的斜率，设出直线l的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相 切的条件：判别式为 0，可得直线l的斜率，进而得到所求斜率之和 【详解】解：由题意可设椭圆C的方程为， 且， 即有， 所以椭圆的方程为； 设直线AE：，代入椭圆方程可得 ， 可得，即有， 由直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，可将k换为， 可得， 则直线EF的斜率为， 设直线l的方程为，代入椭圆方程可得： ， 由直线l与椭圆C相切，可得，
22、 化简可得，解得， 则 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及椭圆的定义，考查两点斜率公式，还考查了韦达定理及直线与椭 圆相切知识，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于难题 21.已知 求的极值； 若有两个不同解，求实数 的取值范围 【答案】 （1）有极小值，为；无极大值； （2） 【解析】 【分析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值； 记，得到，令，求出的最大值，通过讨论 的范围，确定解的个数，从 而确定 的范围即可 【详解】解：的定义域是， ， 令，解得：， 令，解得：， 故在递减，在递增， 故时，； 记，则， 故可转化成，即：， 令， 令，解
23、得：， 令，解得：， 故在递增，在递减， 且时，时， 故， 由，的性质有： ，和有两个不同交点，且， ，各有一解，即有 2 个不同解， ，和仅有 1 个交点，且， 有 2 个不同的解，即有两个不同解， 取其它值时，最多 1 个解， 综上， 的范围是 【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性、极值的关系，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想 及换元方法，考查计算能力，属于难题 22.在平面坐标系中，曲线的参数方程为（ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴 建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为. （1）把曲线的方程化为普通方程，的方程化为直角坐标方程 （2）若曲线,相交
24、于两点，的中点为 ，过 点作曲线的垂线交曲线于两点，求. 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 利用代入法消去参数可得到曲线的普通方程，利用可得的直角坐标方程；利用的结 论，利用一元二次方程根和系数关系求得线段 AB 的中垂线参数方程为为参数 ，代入， 利用直线参数方程的几何意义可得结果 【详解】曲线的参数方程为其中 t 为参数 ，转换为直角坐标方程为： 曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为： 设，且中点，联立方程为：， 整理得：所以：，由于：， 所以线段 AB 的中垂线参数方程为为参数 ，代入， 得到：，故：， 所以：， 故： 【点睛】 本题考查参数方程和普通方程的转化、 极坐标
25、方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用， 属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元 法； 加减消元法； 乘除消元法； 三角恒等式消元法， 极坐标方程化为直角坐标方程， 只要将和 换成 和 即可. 23.已知函数，其中. （1）若函数的图像关于直线对称，且，求不等式的解集. （2）若函数的最小值为 ，求的最小值及相应的 和 的值. 【答案】 （1）； （2）的最小值为 2，相应的 【解析】 【分析】 先根据对称性求出，对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可 得结果；根据绝对值三角不等式即可求出，可得，再根据基本不等式即 可求出. 【详解】函数的图象关于直线对称， ， 当时，解得， 当时，此时不等式无解， 当时，解得， 综上所述不等式的解集为 ， 又的最小值为 2， ，当且仅当时取等号， 故的最小值为 2，其相应的 【点睛】绝对值不等式的常见解法： 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
