1、 天津市和平区天津市和平区 20192019 届高三下学期第一次质量调查届高三下学期第一次质量调查 数学（文）试题数学（文）试题 本试卷包括第本试卷包括第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150150 分。分。 考试时间考试时间 120120 分钟。祝同学们考试顺利！分钟。祝同学们考试顺利！ 第第卷卷 选择题（共选择题（共 4040 分）分） 注意事项注意事项: : 1. 1. 答第答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。 2. 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对
2、应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 3. 本卷共本卷共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。分。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的. . 1.设集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出 后可得. 【详解】，故，选 C. 【点睛】在集合的交并补的运算中，
3、注意集合元素的属性，本题为基础题. 2.设变量满足约束条件 ，则的最大值为（ ） A. 1 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最大值时点的坐标，据此求解目标函数的 最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数即：，其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 C处取得最大值， 联立直线方程：，可得点的坐标为：， 据此可知目标函数的最大值为：. 本题选择 C选项. 【点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当
4、b0时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z值最 大，在 y 轴截距最小时，z值最小；当 b0时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y轴上截 距最小时，z 值最大. 3.执行如图所示的程序框图，输出的 值为 A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合框图运行程序，考查是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】结合框图可知程序运行过程如下： 首先初始化数据：， 此时不满足，执行循环：； 此时不满足，执行循环：； 此时不满足，执行循环：； 此时不满足，执行循环：； 此时不满足，执行循环：； 此时满足，输出. 本题选择 B选项. 【点睛】本题主要
5、考查循环结构程序框图的识别，属于基础题. 4.在中， ，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 试题分析： 由结合余弦定理， 可得， 则 故 答案选 C 考点：余弦定理，同角间基本关系式，三角形面积公式 【此处有视频，请去附件查看】 5.不等式成立的充分不必要条件是 A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 由解得：或，据此确定其成立的一个充分不必要条件即可. 【详解】由可得，解得：或， 据此可得不等式成立的充分不必要条件是. 本题选择 A选项. 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，充分必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求
6、 解能力. 6.已知，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由可得，故，据此逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】由可得，故，逐一考查所给的选项： A.； B.，的符号不能确定； C.； D 本题选择 D选项. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 7.设双曲线的一个焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则抛物线的焦点到双曲线的一 条渐近线的距离为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得双曲线的一个焦点为(0,2)，据此整理计算可得双曲线的渐近线方程为
7、，求得渐近线方程 为，结合点到直线距离公式求解焦点到渐近线的距离即可. 【详解】抛物线的焦点为(0,2)， 的一个焦点为(0,2)， 焦点在 轴上， . 根据双曲线三个参数的关系得到， 又离心率为 2，即， 解得， 此双曲线的渐近线方程为， 则双曲线的一条渐近线方程为， 则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为：. 本题选择 B选项. 【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. 8.已知函数， 若关于 的方程恰有三个不相等的实数解,则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 原问题等
8、价于与有三个不同的交点.首先研究函数的性质并绘制出函数图像，然后结合 函数图像确定实数 m的取值范围即可. 【详解】关于 的方程恰有三个不相等的实数解， 即方程恰有三个不相等的实数解， 即与有三个不同的交点. 令， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 且当时， 当时， 当时， 据此绘制函数的图像如图所示， 结合函数图像可知，满足题意时 的取值范围是 . 本题选择 C选项. 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a) f(b)0，还必须结合
9、函 数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点 (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的 值，就有几个不同的零点 第第卷卷 非选择题（共非选择题（共 110110 分）分） 注意事项注意事项: : 1. 1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。 2. 2. 本卷共本卷共 1212 小题，共小题，共 110110 分。分。 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 3030 分分. .把答案填在
10、答题卷上把答案填在答题卷上. . 9.已知，且复数 是纯虚数,则 _. 【答案】 【解析】 【分析】 由复数的运算法则可得，结合题意得到关于 的方程，解方程即可确定实数 的值. 【详解】由复数的运算法则可得： ， 复数为纯虚数，则：，据此可得：. 故答案为： 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，纯虚数的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 10.直线与圆 交于两点，若为等腰直角三角形，则 _. 【答案】 或 【解析】 【分析】 由题意可知圆的圆心坐标为：(2,1)，半径为 2，结合题意得到关于 m 的方程，解方程即可确定实数 的值. 【详解】圆 ,圆心坐标为：(2,1)
11、，半径为 2， 因为为等腰直角三角形， 所以，所以 m=1 或3. 故答案为：1或3. 【点睛】本题主要考查直线与圆是位置关系，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 11.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为_cm3 【答案】20 【解析】 根据几何体的三视图知，该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，如图所示； 该几何体的体积为 . 12.已知函数，若 ，但不是函数的极值点，则的值为 _. 【答案】9 【解析】 【分析】 由题意可得，且有两个相等的实数根，据此可得实数 a,b,c的值，然后求解其乘积即可. 【详解】， ， 又 ， 由不是的
12、极值点， 得有两个相等的实数根， ， 由解得：， ， 故答案为： . 【点睛】本题主要考查导数的性质与运算，导数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 13.如图，在直角梯形中，.若分别是边上的动点，满足 ， ，其中，若，则 的值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 建立直角坐标系，由题意可得：，由题意可得，结合平面向量数 量积的坐标运算得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：，设， 即，据此可得：， 故，同理可得， 据此可得：， 则， 整理可得：，由于，故. 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的
13、坐标运算；利用数量积的几何意义具体 应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用 14.已知正数满足，则的最小值是_. 【答案】 . 【解析】 试题分析：由题意得， 当且仅当时，等号成立，故填： . 【考点】本题主要考查基本不等式求最值. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题小题, ,共共 8080 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明, ,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . 15.设的内角 所对边的长分别是，且. ()求 的值； ()求的值. 【答案】 （）； （）. 【解析】 【分析】 ()由题意结合正弦定理可得，代入边长求解 a 的值
14、即可； ()由余弦定理可得：，则，利用二倍角公式和两角和差正余弦公式求解 的值 即可. 【详解】()由可得， 结合正弦定理可得：， 即：，据此可得. ()由余弦定理可得：， 由同角三角函数基本关系可得， 故， . 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，两角和差正余弦公式，二倍角公式等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 16.为预防病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概 率小于%，则认为测试没有通过） ，公司选定个流感样本分成三组，测试结果如下表： 组 组 组 疫苗有效 疫苗无效 已知在全体样本中随机抽取 个，抽到 组疫苗有效的概率是 （）求
15、 的值； （）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取个测试结果，问应在 组抽取多少个？ （）已知，求不能通过测试的概率 【答案】 （1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】 （1）由古典概型概率公式列方程求解即可； （2）先求出 组样本个数，再根据分层抽样方法可得结果； （3） 利用列举法可得基本事件空间包含的基本事件有 11个，测试不能通过事件包含基本事件 2个，利用古典概型 概率公式可得结果. 【详解】 （1）在全体样本中随机抽取 1个，抽到 B组疫苗有效的概率约为其频率 即 ； （2）C组样本个数为 yz2000（6737766090）500， 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 36
16、0个测试结果，应在 C 组抽取个数为 ； （3）设测试不能通过事件为组疫苗有效与无效的可能的情况记为()由（2）知，且, 基本事件空间包含的基本事件有： （465，35） 、 （466，34） 、 （467，33） 、（475，25）共 11 个 若测试不能通过，则 77+90+z200，即 z33 事件 A包含的基本事件有： （465，35） 、 （466，34）共 2个 故不能通过测试的概率为. 【点睛】本题主要考查分层抽样以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时， 找准基本事件个数是解题的关键， 基本亊件的探求方法有 (1)枚举法： 适合给定的基本事件个数较少且
17、易一一 列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐 个写出：先，. ，再，依次 . 这样才 能避免多写、漏写现象的发生. 17.如图，在四棱柱 中， ，且 （）求证：平面 ； （） 求证： ； （） 若 ，判断直线 与平面 是否垂直?并说明理由 【答案】 （）见解析； （）见解析； （）见解析. 【解析】 【分析】 ()由题意结合几何关系可证得平面 BCC1B1平面 ADD1A1,据此结合面面平行的性质即可证得题中的结论； ()由题意可证得 AC平面 BB1D,据此证明题中的结论即可； ()结论：直线 B1D与平面 ACD1不垂直,利用
18、反证法，假设 B1D平面 ACD1，结合题意得到矛盾的结论即可 说明直线 B1D 与平面 ACD1不垂直. 【详解】证明：()ADBC,BC平面 ADD1A1,AD平面 ADD1A1， BC平面 ADD1A1, CC1DD1,CC1平面 ADD1A1,DD1平面 ADD1A1, CC1平面 ADD1A1， 又BCCC1=C， 平面 BCC1B1平面 ADD1A1, 又B1C平面 BCC1B1， B1C平面 ADD1A1. ()BB1平面 ABCD，AC底面 ABCD，BB1AC,又ACBD,BB1BD=B， AC平面 BB1D, 又B1D底面 BB1D， ACB1D; ()结论：直线 B1D与
19、平面 ACD1不垂直, 证明：假设 B1D平面 ACD1， 由 AD1平面 ACD1,可得 B1DAD1, 由棱柱中,BB1底面 ABCD,BAD=90 ， 可得：A1B1AA1,A1B1A1D1， 又AA1A1D1=A1， A1B1平面 AA1D1 D， A1B1AD1, 又A1B1B1D=B1， AD1平面 A1B1D， AD1A1D, 这与四边形 AA1D1D为矩形,且 AD=2AA1矛盾,故直线 B1D与平面 ACD1不垂直. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定，线线垂直的证明方法，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学 生的转化能力和计算求解能力. 18.已知数列的前 n 项和，是等
20、差数列，且 . （）求数列的通项公式； （）令.求数列的前 n 项和. 【答案】 （）;（） 【解析】 试题分析： （1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得 数列的通项公式； （2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前 项和. 试题解析： （1）由题意知当时， 当时，所以 设数列的公差为 ， 由，即，可解得， 所以 （2）由（1）知，又，得 ， ，两式作差，得 所以 考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前 项和，属于难 题. “错
21、位相减法”求数列的前 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握 运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积） ；相减时注意最后一项 的符号； 求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以. 【此处有视频，请去附件查看】 19.已知椭圆 经过点 ,左、右焦点分别、，椭圆的四个顶点围成的菱形面积 为. () 求椭圆 的方程； () 设 是椭圆 上不在 轴上的一个动点, 为坐标原点,过点作的平行线交椭圆于 、 两点， 求的 值. 【答案】 （）； （） 1 . 【解析】 【分析】 ()由题意可知,据此求得 a,b 的值确定椭圆方程即可
22、； ()设 ,直线 ,则直线 ,联立直线方程与椭圆方程， 结合韦达定 理和交点坐标确定的值即可. 【详解】()由题意可知, 解得 ,故椭圆 C 的标准方程为. ()设 ,直线 ,则直线 , 由得,所以, 所以, 由得. 所以 , 所以,即. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角 形的面积等问题 20.已知函数. （）求函数的极值点； （）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程； （） 设函数， 其中， 求函数在区间上的最
23、小值. （其中 为自然对数的底数） 【答案】()是函数的极小值点，极大值点不存在. () () 当时，的最小值为 0；当 1a2 时， 的最小值为； 当时，的最小值为 【解析】 试题分析： （）0 1 分 而0lnx+10000 所以在上单调递减，在上单调递增 . 3 分 所以是函数的极小值点，极大值点不存在. 4 分 （）设切点坐标为，则切线的斜率为 所以切线 的方程为5 分 又切线 过点，所以有 解得所以直线 的方程为6 分 （），则000 0所以在上单调递减，在上单调递增. 8 分 当即时，在上单调递增，所以在上的最小值为9 分 当 1e，即 1a2 时，在上单调递减，在上单调递增. 在上的最小值为11 分 当即时，在上单调递减， 所以在上的最小值为12 分 综上，当时，的最小值为 0；当 1a2 时，的最小值为； 当时，的最小值为14 分 考点：函数的极值；导数的几何意义；曲线切线方程的求法；利用导数研究函数的单调性和最值。 点评：此题的第三问体现了分类讨论的数学思想。此题以函数的极值点是否在区间内为标准 进行分类讨论。我们在分类讨论时思路一定要清晰，并且要做到不重不漏。
