1、 2020 届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学（文）试题届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学（文）试题 一、单选题一、单选题 1 若复数 若复数 1 z与与 2 3zi （i为虚数单位） 在复平面内对应的点关于实轴对称， 则为虚数单位） 在复平面内对应的点关于实轴对称， 则 1 z （ ） A3i B3 i C3 i D3 i 【答案】【答案】B 【解析】【解析】直接利用复平面的对称得到答案. 【详解】 数 1 z与 2 3zi （i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 1 3iz 故选：B 【点睛】 本题考查了复平面的对称问题，属于简单题. 2已知集合已知集合1,0,Am ，
2、1,2B ，若，若1,0,1,2AB ，则实数，则实数m的值为的值为 ( ) A1或或0 B0或或1 C1或或2 D1或或2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据集合并集的定义即可得到答案. 【详解】 集合1,0,Am ，1,2B ，且1,0,1,2AB ，所以1m或2m. 故选：D 【点睛】 本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题 3若若sin5cos，则，则tan2（ ） ） A 5 3 B 5 3 C 5 2 D 5 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据sin5cos得到tan5，再利用二倍角公式得到答案. 【详解】 sin5costan5 ， 2 2tan2 55 ta
3、n2 1tan42 故选：C 【点睛】 本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力. 4已知命题已知命题p：xR ， 2 21 x x，则，则 p 为（为（ ） AxR ， 2 21 x x B 0 xR， 0 2 0 21 x x CxR ， 2 21 x x D 0 xR， 0 2 0 21 x x 【答案】【答案】D 【解析】【解析】直接利用全称命题的否定定义得到答案. 【详解】 命题p：xR ， 2 21 x x，则 p 为： 0 xR， 0 2 0 21 x x 故选：D 【点睛】 本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力. 5某校随机抽取某校随机抽取 100 名同学进行名
4、同学进行“垃圾分类垃圾分类“的问卷测试，测试结果发现这的问卷测试，测试结果发现这 100 名同学名同学 的得分都在的得分都在50，100内，按得分分成内，按得分分成 5 组：组：50，60） ，） ，60，70） ，） ，70，80） ，） ，80，90） ，） ， 90，100，得到如图所示的频率分布直方图，则这，得到如图所示的频率分布直方图，则这 100 名同学的得分的中位数为 名同学的得分的中位数为( ) A72.5 B75 C77.5 D80 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据频率分布直方图求得中位数即可. 【详解】 在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，中位数为
5、： 0.50.01 100.03 10 701072.5 0.04 10 . 故选：A 【点评】 本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各 个矩形面积之和为 1，也考查了中位数，属于基础题 6设等差数列设等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且，且 53 3aa，则，则 9 5 S S ( ) A 9 5 B 5 9 C 5 3 D 27 5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】将 S9，S5转化为用 a5，a3表达的算式即可得到结论. 【详解】 由等差数列 n a的前n项和为 n S， 9 5 S S 19 15 9 2 5 2 aa aa 5
6、3 9 5 a a ，且 53 3aa ， 9 5 S S 9 5 3 27 5 . 故选：D 【点睛】 本题考查了等差数列的前 n 项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题 7已知已知, 是空间中两个不同的平面，是空间中两个不同的平面， ,m n是空间中两条不同的直线，则下列说法 是空间中两条不同的直线，则下列说法 正确的是正确的是( ) A若若/m， / /n，且 ，且/ /，则，则/mn B若若/m， / /n，且 ，且，则，则/mn C若若m， / /n， ，且且/ /，则，则mn D若若m， / /n，且 ，且，则，则mn 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由空间中直线与直线
7、、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得 答案 【详解】 由 m，n，且 ，得 mn 或 m 与 n 异面，故 A 错误； 由 m，n，且 ，得 mn 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 B 错误； 由 m，得 m，又 n，则 mn，故 C 正确； 由 m，n 且 ，得 mn 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 D 错误 故选：C 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位 置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题 8将函数将函数sin(4) 6 yx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的图象上所有点的横坐
8、标伸长到原来的2倍（纵倍（纵坐标不变） ，坐标不变） ， 再把所得图象向左平移再把所得图象向左平移 6 个单位长度，得到函数个单位长度，得到函数 ( )f x的图象，则函数 的图象，则函数 ( )f x的解析式为 的解析式为 ( ) A( )sin(2) 6 f xx B( )sin(2) 3 f xx C( )sin(8) 6 f xx D( )sin(8) 3 f xx 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可. 【详解】 函数sin(4) 6 yx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到 sin(2) 6 yx 的图象
9、， 再把所得图象向左平移 6 个单位长度，得到函数 f（x） sin 2()sin(2) 666 yxx 的图象. 故选：A 【点睛】 本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及 思维能力，属于基础题 9已知抛物线已知抛物线 2 4yx的焦点为的焦点为F，,M N是抛物线上两个不同的点若是抛物线上两个不同的点若 5MFNF，则线段，则线段MN的中点到的中点到y轴的距离为轴的距离为( ) A3 B 3 2 C5 D 5 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点 的横坐标，求出结果即可. 【详解
10、】 由抛物线方程 2 4yx，得其准线方程为：1x，设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 由抛物线的性质得， 12 11=5MFNFxx ，MN中点的横坐标为 3 2 ， 线段MN的中点到y轴的距离为： 3 2 . 故选：B 【点睛】 本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题 10已知已知 1 2 2a ， 1 3 3b ， 3 ln 2 c ，则，则( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得 a，b 的大小关系，利用对数函数 的单调性即可得出 c1 【详解】 1 2 2a 2 6 8，且 1 3
11、3b = 3 3 6 9，1ab ， 3 lnln1 2 ebac 故选：C 【点睛】 本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题 11已知直线已知直线y kx 与双曲线与双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 相交于不同的两点相交于不同的两点A，B， F为双曲线为双曲线C的左焦点，且满足的左焦点，且满足3AFBF，OAb（O为坐标原点） ，则双曲线为坐标原点） ，则双曲线 C的离心率为（的离心率为（ ） A 2 B3 C2 D5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】如图所示： 1 F为双曲线右焦点，连接 1 AF，计算得到 1 3 ,AFa AFa，再
12、 利用余弦定理得到 222 1022acb，化简得到答案. 【详解】 如图所示： 1 F为双曲线右焦点，连接 1 AF，根据对称性知 1 BFAF 1 33AFBFAF， 1 2AFAFa， 1 3 ,AFa AFa 在AOF和 1 AOF中，分别利用余弦定理得到： 222 92cosacbbcAOF， 222 1 2cosacbbcAOF 两式相加得到 22222 102233acbcae 故选：B 【点睛】 本题考查了双曲线的离心率，根据条件计算出 1 3 ,AFa AFa是解题的关键. 12已知定义在已知定义在R上的函数上的函数 f x满足满足22fxfx，当，当2x时，时， x f x
13、xe 若关于 若关于x的方程的方程 22f xk x有三个不相等的实数根， 则实数有三个不相等的实数根， 则实数k的的 取值范围是（取值范围是（ ） A 1,00,1U B1,01, C ,00,ee D ,0,ee 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据函数的单调性和对称性画出函数图像，22yk x过定点2,2， 计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案. 【详解】 当2x时， 1 xx f xxefxxe 函数在, 1 上单调递减，在1,2上单调递增，且 1 1f e 22fxfx，函数关于2x对称，22yk x过定点2,2 如图所示，画出函数图像： 当22yk x与 x f xxe相切
14、时，设切点为 00 ,x y 则 0 0 00 0 00 22 1 22 x x yx e xek xx 根据对称性考虑2x左边图像，根据图像验证知 0 0x 是方程唯一解，此时1k 故答案为 ()() 1,00,1k? 故选：A 【点睛】 本题考查了零点问题，对称问题，函数的单调性，画出函数图像是解题的关键. 二、填空题二、填空题 13已知实数已知实数 , x y满足约束条件 满足约束条件 40 220 0 xy xy y ，则，则 2zxy 的最大值为的最大值为_. 【答案】【答案】6 【解析】【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大 值 【详解】
15、作出实数 x，y 满足约束条件 40 220 0 xy xy y 对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 2zxy 得 y 1 2 x+ 1 2 z，平移直线 y 1 2 x+ 1 2 z， 由图象可知当直线 y 1 2 x+ 1 2 z 经过点 A 时，直线 y 1 2 x+ 1 2 z 的截距最大，此时 z 最大 由 40 220 xy xy ，解得 A（2，2） ，代入目标函数 zx+2y 得 z2 2+26. 故答案为：6 【点睛】 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数 形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题 14设正项等比数列设正项等
16、比数列 n a满足满足 4 81a ， 23 36aa，则，则 n a _. 【答案】【答案】3n 【解析】【解析】将已知条件转化为基本量 a1，q 的方程组，解方程组得到 a1，q，进而可以得 到 an 【详解】 在正项等比数列 n a中， 4 81a ， 23 36aa， 得 3 1 2 11 81 36 a q a qa q ，解得 1 3 3 a q ，an 1 1 n a q 33n13n. 故答案为：3n 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题 15已知平面向量已知平面向量a，b满足满足2a ，3b ，且，且bab，则向量，则向量a与与b的夹角的夹角
17、的大小为的大小为_. 【答案】【答案】 6 【解析】【解析】根据bab得到0bab，计算得到答案. 【详解】 设向量a与b的夹角为， 2 2 3cos30babbaba bb rrrrrrr rr 3 cos 26 故答案为： 6 【点睛】 本题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力. 16如图，在边长为如图，在边长为 2 的正方形的正方形 123 APPP中，边中，边 12 PP， 23 P P的中点分别为 的中点分别为B，C，现将，现将 1 APB， 2 BPC， 3 CP A分别沿分别沿AB，BC，CA折起使点折起使点 1 P， 2 P， 3 P重合，重合重合，重合 后记为点后记为点P
18、， 得到三棱锥， 得到三棱锥PABC 则三棱锥 则三棱锥PABC的外接球体积为的外接球体积为_ 【答案】【答案】6 【解析】【解析】 根据,PA PB PC两两垂直得到 222 2112R ， 代入体积公式计算得到答 案. 【详解】 易知,PA PB PC两两垂直，2,1PAPBPC 将三棱锥PABC放入对应的长方体内得到 222 6 2112 2 RR 3 4 6 3 VR 故答案为：6 【点睛】 本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键. 三、解答题三、解答题 17在在ABC中，角中，角 , ,A B C的对边分别为 的对边分别为, ,a b c，且，且 222
19、4 2 3 bcabc . （1）求）求sin A的值；的值； （2）若）若ABC的面积为的面积为 2，且 ，且 2sin3sinBC ，求，求ABC的周长的周长. 【答案】【答案】 （1） 1 3 ； （2）2 63 2 【解析】【解析】 （1）由已知条件结合余弦定理可求 cosA 的值，进而根据同角三角函数基本关 系式可求 sinA 的值 （2）利用三角形的面积公式可求 bc 的值，由正弦定理化简已知等式可得 2b3c， 解得 b，c 的值，根据余弦定理可求 a 的值，即可求解三角形的周长 【详解】 （1） 222 4 2 3 bcabc， 由余弦定理可得 2bccosA 4 2 3 bc
20、， cosA 2 2 3 ， 在 ABC 中，sinA 2 1 cos A 1 3 （2）ABC 的面积为 2，即 1 2 bcsinA 1 6 bc 2，bc62， 又 2sinB3sinC，由正弦定理可得2b3c，b32，c2，则 a 2b2+c2 2bccosA6， 6a ，所以周长为263 2abc . 【点睛】 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在 解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18某公司有某公司有 l000 名员工，其中男性员工名员工，其中男性员工 400 名，采用分层抽样的方法随机抽取名，采用分层抽样的方法随机
21、抽取 100 名员工进行名员工进行 5G 手机购买意向的调查， 将计划在今年购买手机购买意向的调查， 将计划在今年购买 5G 手机的员工称为手机的员工称为“追光族追光族”， 计划在明年及明年以后才购买计划在明年及明年以后才购买 5G 手机的员工称为手机的员工称为“观望者观望者”调查结果发现抽取的这调查结果发现抽取的这 100 名员工中属于名员工中属于“追光族追光族”的女性员工和男性员工各有的女性员工和男性员工各有 20 人人. （）完成下列）完成下列22列联表，并判断是否有列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于的把握认为该公司员工属于“追光族追光族” 与与“性别性别”有关；有关；
22、属于属于“追光族追光族” 属于属于“观望者观望者” 合计合计 女性员工女性员工 男性员工男性员工 合计合计 100 （）已知被抽取的这）已知被抽取的这 l00 名员工中有名员工中有 6 名是人事部的员工，这名是人事部的员工，这 6 名中有名中有 3 名属于名属于“追追 光族光族”现从这现从这 6 名中随机抽取名中随机抽取 3 名，求抽取到的名，求抽取到的 3 名中恰有名中恰有 1 名属于名属于“追光族追光族”的概率的概率 附：附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其，其中中na b cd . 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.
23、001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】【答案】 （）表见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关. （） 9 20 【解析】【解析】 （）完善列联表，计算 2 2.7783.841K 得到结论. （） 设人事部的这 6 名中的 3 名“追光族”分别为“a，b，c”， 3 名“观望者”分别为“A， B，C，列出所有情况计算得到答案. 【详解】 （）由题，22列联表如下： 属于“追光族” 属于“观望者” 合计 女性员工 20 40 60 男性员工 20 20 40 合计 40 60 100 2 2 10
24、0 20 2020 4025 2.7783.841 40 60 40 609 K ， 没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关. （） 设人事部的这 6 名中的 3 名“追光族”分别为“a，b，c”， 3 名“观望者”分别为“A， B，C”.则从人事部的这 6 名中随机抽取 3 名的所有可能情况有“, ,a b c；, ,a b A； , ,a b B；, ,a b C；, ,a c A；, ,a c B；, ,a c C；, ,b c A；, ,b c B；, ,b c C；,a A B；,a A C； ,a B C；, ,b A B；,b A C；,b B C；, ,c
25、A B；, ,c A C；, ,c B C；, ,A B C”共 20 种. 其中，抽取到的 3 名中恰有 1 名属于“追光族”的所有可能情况有“,a A B；,a A C； ,a B C；, ,b A B；,b A C；,b B C；, ,c A B；, ,c A C；, ,c B C”共 9 种. 抽取到的 3 名中恰有 1 名属于“追光族”的概率 9 20 P . 【点睛】 本题考查了列联表，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，AP 平面平面PBC，底面，底面ABCD为菱形，且为菱形，且 60ABC，E，F分别为分别为BC，C
26、D的中点的中点 （）证明：）证明：BC平面平面PAE； （）点）点Q在棱在棱PB上，且上，且 1 3 PQ PB ，证明：，证明：/ /PD平面平面QAF 【答案】【答案】 （）证明见解析（）证明见解析 【解析】【解析】 （）证明BCAE和BCAP得到BC平面PAE. （）根据相似得到PDQM证明PD平面QAF. 【详解】 （）如图，连接AC.底面ABCD为菱形，且60ABC， 三角形ABC为正三角形. E为BC的中点，BCAE.又AP 平面PBC，BC 平面PBC， BCAP. APAEA，,AP AE 平面PAE，BC平面PAE. （）连接BD交AF于点M，连接QM. F为CD的中点，在底
27、面ABCD中， 1 2 DMDF MBAB ， 1 3 DM DB . 1 3 PQDM PBDB ，在三角形BPD中，/ /PDQM. 又QM 平面QAF，PD平面QAF ， / /PD平面QAF. 【点睛】 本题考查了线面垂直和线面平行，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 20已知函数已知函数 1 ln a f xaxx x ，aR， fx为函数为函数 f x的导函数的导函数. （）讨论函数）讨论函数 f x的单调性；的单调性； （）当）当2a时，证明时，证明 2 f xfxx x 对任意的对任意的1,2x都成立都成立. 【答案】【答案】 （）见解析（）证明见解析 【解析】【解析】（）
28、 求导得到 2 1 xxa fx x 讨论0a，10a ，1a和 1a 四种情况得到答案. （）要证明 2 f xfxx x 即 2 12 ln10x x h x x ，求导得到函数 max0h x得到证明. 【详解】 （） 2 22 1 1 1 f xaxaa x x a xx 2 1xxa x . 0x，aR， 当0a时，0xa ，函数 f x在0,1内单调递减，在1,内单调递增； 当10a 时，01a ，函数 f x在0, a内单调递增， 在,1a内单调递减，在1,内单调递增； 当1a时， 2 2 1 0 x fx x ，函数 f x在0,内单调递增； 当1a 时，1a ，函数 f x在
29、0,1内单调递增，在1, a内单调递减， 在, a内单调递增. （）当2a时， 2 ln x x f xx， 2 1 12 x f x x ，1,2x. 2 212 ln1xx xx f xf x x . 令 2 12 ln1x xx h x ，则 2 233 1144 x hx x xxxx . 令 2 4xxxu，函数 u x在1,2内单调递增， 10u， 20u， 存在唯一的 0 1,2x ，使得 0 0h x. 当 0 1,xx时， 0 0h x；当 0,2 xx时， 0 0h x； 函数 h x在 0 1,x内单调递减，在 0 2x ,内单调递增. 又 10h ， 2ln2 10h
30、， max0h x，即 2 f xfxx x 对任意的1,2x都成立. 【点睛】 本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键 21已知椭圆已知椭圆C： 2 2 1 2 x y的右焦点为的右焦点为F，过点，过点F的直线（不与的直线（不与x轴重轴重合）与椭圆合）与椭圆C 相交于相交于A，B两点， 直线两点， 直线l：2x与与x轴相交于点轴相交于点H，E为线段为线段FH的中点， 直线的中点， 直线BF 与直线与直线l的交点为的交点为D . （）求四边形）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；为坐标原点）面积的取值范围； （）证明直线）证明直线AD与与x轴平
31、行轴平行. 【答案】【答案】 （）0, 2 （）证明见解析 【解析】【解析】 （）令直线AB：1xmymR，联立方程利用韦达定理得到 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 y y m ， 2 2 2 21 2 m S m ，换元 2 1mt 带入化 简得到答案. （）直线BE的方程为 2 2 3 3 2 2 y yx x ，令2x得， 2 2 1 2 1 2 D y y my .代入（） 中式子化简得到答案. 【详解】 （）由题，1,0F，令直线AB：1xmymR， 11 ,A x y， 22 ,B x y. 联立 2 2 1 1 2 xmy x y 消去x，得 22 2210
32、mymy . 22 4420mm ， 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 y y m ， 22 12121212 4yyyyyyy y 2 2 2 21 2 m m . 四边形OAHB的面积 2112 1 2 SOHyyyy 2 2 2 21 2 m m . 令 2 1mt ，1t ， 2 2 22 2 1 1 t S t t t . 1 2t t （当且仅当1t 即0m时取等号） ，0 2S . 四边形OAHB面积的取值范围为0, 2 . （）2,0H，1,0F ， 3 ,0 2 E . 直线BE的斜率 2 2 3 2 y k x ，直线BE的方程为 2 2 3 3 2 2
33、 y yx x . 令2x得， 2 2 1 2 1 2 D y y my . 由（） ， 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 y y m . 1212 2yymy y， 122 2 11 1 222 yyy my yy . 化简，得 22 1 2 2 1 11 22 111 2222 D yy yy y my y . 直线AD与x轴平行. 【点睛】 本题考查了面积的范围，直线的平行问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，已知中，已知P是曲线是曲线 1 C： 22 (2)4xy上的动点，将上的动点，将OP 绕点绕点O顺时针旋转
34、顺时针旋转90得到得到OQ，设点，设点Q的轨迹为曲线的轨迹为曲线 2 C.以坐标原点以坐标原点O为极点，为极点，x轴轴 的正半轴为极轴建立极坐标系的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方的极坐标方程；程； （2）在极坐标系中，点）在极坐标系中，点(3,) 2 M ，射线，射线(0) 6 与曲线与曲线 1 C， 2 C分别相交于异于分别相交于异于 极点极点O的的,A B两点，求两点，求MAB的面积的面积. 【答案】【答案】 （1）曲线 1 C：4sin，曲线 2 C：4cos； （2） 93 3 2 【解析】【解析】 （1）由题意，点 Q 的轨迹是以（2，0
35、）为圆心，以 2 为半径的圆，写出其普 通方程，再结合 2x2+y2，xcos，ysin，可得曲线 C1，C2的极坐标方程； （2）在极坐标系中，设 A，B 的极径分别为 1，2，求得|AB|12|，再求出 M（3， 2 ）到射线0 6 的距离 h 3 3 3sin 32 ，即可求得 MAB 的面积 【详解】 （1）由题意，点 Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆，则曲线 C2： 22 (2)4xy， 2x2+y2，xcos，ysin，曲线 C1的极坐标方程为 4sin，曲线 C2的极坐 标方程为 4cos； （2）在极坐标系中，设 A，B 的极径分别为 1，2， 12 4 si
36、ncos2( 31). 66 AB 又点(3,) 2 M 到射线(0) 6 的距离为 3 3 3sin. 32 h MAB的面积 193 3 . 22 SAB h 【点睛】 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档 题 23已知函数已知函数( )3.f xx （1）解不等式）解不等式( )421f xx； （2）若）若 14 2(0,0)mn mn ，求证：，求证： 3 ( ). 2 mnxf x 【答案】【答案】 （1） 2 (,0,) 3 ； （2）见解析. 【解析】【解析】 （1）原不等式可化为：|x3|4|2x+1|，即|2x+1|+|x3|4，分段
37、讨论求出即可； （2）由基本不等式得mn的最小值 9 2 ，转化为|x+ 3 2 |f（x） 9 2 恒成立即可 【详解】 （1）原不等式化为3421xx，即2134.xx 1 2 x 时，不等式化为2134xx ，解得 2 3 x ； 1 3 2 x时，不等式化为2134xx ，解得0x，03x ； 3x时，不等式化为2134xx ，解得2x，3x . 综上可得：原不等式解集为 2 (,0,) 3 . （2）( )3.f xx 3339 ( )3(3) 2222 xf xxxxx， 当且仅当 3 ()(3)0 2 xx且 3 3 2 xx 时取等号.又 14 2(0,0)mn mn ， 11414149 ()()(5)(52) 2222 nmnm mnmn mnmnmn ， 当且仅当 4nm mn 时取等号. 3 ( ). 2 mnxf x 【点睛】 考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质， 利用分类讨论的思想结合绝对值的性 质和基本不等式的应用，属于中档题
