1、13.1.1 轴对称第十三章 轴对称导入新课导入新课讲授新课讲授新课轴对称和轴对称图形一 如果一个一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相互相重合重合，这个图形就叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线就是它的对称轴对称轴.轴对称图形轴对称图形对称轴对称轴am想一想：下面的每对图形有什么共同特点？AABCBC对称轴对称轴 如果一个图形沿一条直线折叠折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.如图点A、A 就是一对对称点.知识要点比较归纳轴对称图形两个图形成轴对称图形区别联系一个图形具有的特殊形状两个全等
2、图形的特殊的位置关系1.都是沿着某条直线折叠后能重合.2.可以互相转化.轴对称的性质二如图，ABC和ABC关于直线MN对称，点A，B，C分别是点A，B，C的对称点，线段AA，BB，CC与直线MN有什么关系？ABCABCNMAAMN，BBMN，CCMN.如图，MNAA，AP=AP.直线MN是线段AA 的垂直平分线.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.知识要点u线段垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.图形轴对称的性质 一个轴对称图形的对称轴是否也具有上述性质呢？请你自己找一些轴对称图形来检验吧！类似地，轴对称图形
3、的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.知识要点轴对称图形的性质ABA B MN如图，MN垂直平分AA,MN垂直平分BB.典例精析是是是?例1 下面这些图形是轴对称图形吗？如图所示的平行四边形不是轴对称图形.例2 做一做，找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多.当堂练习当堂练习美国美国加拿大加拿大澳大利亚澳大利亚 2.国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗哪些是轴对称图形？找出它们的对称轴.瑞典瑞典英国英国3.（1）整个图形是轴对称图形吗？对称轴是什么？（2）图中红色的三角形与哪些三角形成轴对称？（3）图形可以看作某两个图形成轴对称吗？4.请你利用1个等腰三角形、两个长方
4、形、三个圆，设计一些具有轴对称特征的图案,并用简练的文字说明你的创意.课堂小结课堂小结轴对称轴 对 称平行四边形不是轴对称图形轴对称图形定 义性质定 义性质轴 对 称 与轴对称图形联 系区 别线段的垂直平分线13.1.2 线段的垂直平分线的性质第十三章 轴对称第第1 1课时课时 线段的垂直平分线的性质和判定线段的垂直平分线的性质和判定导入新课导入新课问题引入1.给一条线段a,以a为底边的等腰三角形有几个？如果用三角板和刻度尺，你能画出至少三个吗？作图要点：利用三角尺、刻度尺作出线段a的垂直平分线，在垂直平分线上取点，连接可得符合条件的等腰三角形.a a讲授新课讲授新课线段垂直平分线的性质一你能
5、用不同的方法验证这一结论吗？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离之间的数量关系点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离分别相等 ABlP1P2P3探究发现练一练：1.如图1所示，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6 B.5 C.4 D.3PABCD2.如图2所示，在ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .图图1ABCDE图图2B10cm已知：如图，直线lAB，垂足为C，AC=CB，点P 在
6、l 上求证：PA=PB线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等验证结论证明：lAB，PCA=PCB又 AC=CB，PC=PC，PCA PCB（SAS）PA=PBPABlC解：ADBC，BD=DC，AD 是是BC 的垂直平分线，的垂直平分线，AB=AC 点C 在AE 的垂直平分线上，AC=CE例1 如图，ADBC，BD=DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？A B C D E 典例精析线段垂直平分线的判定二反过来，如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？PAB提出问题 已知：如图，PA=PB 求证：点P 在线段A
7、B 的垂直平分线上证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为点C则PCA=PCB=90在RtPCA 和RtPCB 中，PA=PB，PC=PC，RtPCA RtPCB（HL）AC=BC又又 PCAB，点P 在线段AB 的垂直平分线上PABC知识要点线段垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上u应用格式：PA=PB，点P 在AB 的垂直平分线上PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.这些点能组成什么几何图形？你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成
8、与A、B两点 的距离相等的所有点的集合.PABClu应用格式：AB=AC，MB=MC，直线AM 是线段BC 的垂直 平分线A B C D M 这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.典例精析典例精析例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.ABCDEK已知：直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：（1）任意取一点K，使点K和和点C在AB的两旁.（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.12F例2 已知：如图，点E是AOB的平分线
9、上一点，ECOA,EDOB,垂足分别为C,D，连接，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.ABOEDC证明：OE平分AOB,ECOA,EDOB,DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）.OE是CD的垂直平分线.当堂练习当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）AAB垂直平分CD；B CD垂直平分AB；CAB与CD互相垂直平分；DCD平分 ACB 2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点的组合共有种.A无数3.下列说法：若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若PAPB，EAEB，则直线PE
10、垂直平分线段AB；若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB其中正确的有 （填序号）.4.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是ABC ()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点DEPABCDFPA=PB=PC5.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.ABCDE16课堂小结课堂小结线段的垂直平分的性质和判定性 质到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内 容判 定内 容作 用线段的垂直平分线上的点
11、到线段的两个端点的距离相等 作 用见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上13.1.2 线段的垂直平分线的性质第十三章 轴对称第第2 2课时课时 线段垂直平分线的有关作图线段垂直平分线的有关作图导入新课导入新课情境引入 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB讲授新课讲授新课线段垂直平分线的画法一提出问题不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ABCA B C 尺规作图 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？AB分析：
12、我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.尺规作图如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ABCD作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.12（2）作直线CD.CD即为所求.特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.典例精析引例 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB分
13、析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是.公共汽车站当堂练习当堂练习1.如图，ABC和ABC关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.ABCA B C l相关链接：成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，交点必定在对称轴上.2.下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴 AB作法：（1）找出五角星的一对对应点A和B，连接AB（2）作出线段AB的垂直平分线l则l就是这个五角星的一条对称轴 l用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴 3.如图，八（1）班与八（2）班两个班的学
14、生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且PM=PN，请你用折纸的方法找出P点点并说明理由.MNBAPC课堂小结课堂小结线段的垂直平分线的有关作图尺规作图作对称轴的常 见 方 法属于基本作图之一，必须熟熟练掌握(1)将图形对折；(2)用尺规作图；(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线13.2 画轴对称图形第十三章 轴对称第第1 1课时课时 画轴对称图形画轴对称图形导入新课导入新课问题引入 我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质.如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这
15、节课我们一起来学习作轴对称图形的方法.讲授新课讲授新课轴对称图形的画法一 在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印，这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点得到的线段被对称轴垂直平分.类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论.（1）认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？（2）对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP 是什么关系？（成轴对称）（直线l垂直平分线段PP）PP 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点
16、都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.知识要点想一想：如何画一个点的对称图形？例1 画出点A关于直线l的对称点A.lAAO作法：（1）过点A作l的垂线，垂足为点O.（2）在垂线上截取OAOA.点A就是点A关于直线l的对称点.想一想：如何画一条直线的对称图形？例2 已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.AB(图1)(图2)(图3)ABllABlA A A B(B)B 想一想：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？例3 如图，已知ABC和直线l，作出与ABC关于直线l对称的图形.lABC分析：ABC可以由三个顶点的位
17、置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形.例3 如图，已知ABC和直线l，作出与ABC关于直线l对称的图形.作法：（1）过点A画直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA=OA，A就是点A关于直线l的对称点.（3）连接AB，BC，CA，得到 ABC即为所求.（2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B，C.lABCABCO方法归纳作轴对称图形的方法 几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.当堂练习当堂练习1.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.
18、2.如图给出了一个图案的一半，其中的虚线 l 是这个图案的对称轴.整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半.BACDEFGHl 3.如图，画ABC关于直线m的对称图形.mABC(A)C B 课堂小结课堂小结画轴对称图形作图原理作 图方 法对称轴是对称点连线段的垂直平分线.(1)找特征点；(2)作垂线；(3)截取等长；(4）依次连线.13.2 画轴对称图形第十三章 轴对称 第第2 2课时课时 用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称 导入新课导入新课问题引入如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.根据
19、如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？讲授新课讲授新课用坐标表示轴对称一 在平面直角坐标系中，画出以上列表中已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看把每对对称点的坐标有怎样的规律.提出问题已知点已知点A(2,-3)B(-1,2)C(-6,-5)D(,1)E(4,0)关于x轴的对称点关于y轴的对称点12xyO已知点已知点A(2,-3)B(-1,2)C(-6,-5)D(,1)E(4,0)关于x轴的对称点12ABCDEA B C D E A(2,3)B(-1,-2)C(-6,5)D(,1)12E(4,0)再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律.xyO已知点
20、已知点A(2,-3)B(-1,2)C(-6,-5)D(,1)E(4,0)关于y轴的对称点12ABCDEA B C D E A(-2,-3)B(1,2)C(6,-5)D(,1)12E(-4,0)再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律规律归纳在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标 ，纵坐标 ；关于y轴对称的点横坐标 ，纵坐标 .即点（x,y)关于x轴对称的点的坐标为（，），点（x,y)关于y轴对称的点的坐标为（，）.不变互为相反数互为相反数不变x -y-x y典例精析例1 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4)
21、,分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.xyABCDA B C D A B C D O对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.知识要点在坐标系中作已知图形的对称图形(一找二描三连）当堂练习当堂练习1.完成下表.已知点(2,-3)(-1,2)(-6,-5)(0,-1.6)(4,0)关于x轴的对称点关于y轴的对称点(-2,-3)(2,3)(-1,-2)(1,2)(6,-5)(-6,5)(0,-1.6)(0,1.6)(-4,0)(4,0)2.已知点P(2a+b,-3a)与点P（8,b+2).若点若点
22、P与点与点P关于关于x轴对称，则轴对称，则a=_，b=_.若点若点P与点与点P关于关于y轴对称，则轴对称，则a=_，b=_.246-203.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(-4，1),C(-1，3)，作出ABC关于y轴对称的图形.解：点A(-3,5),B(-4,1),C(-1,3)，关于y轴对称点的坐标分别为A(3,5),B(4,1),C(1,3).依次连接A B,B C,C A,就得到ABC关于y轴对称的A B C.31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4-3-2-1ACBB AC x y 能力提升：如图,分别作出点P,M,N关于直线x=1的对称点,你能发现它们
23、坐标之间分别有什么关系吗?31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1P(-2,3)P(4,3)M(-1，1)M(3,1)N(-3,-2)N(5,-2)答：两个对称点的横坐标之和的平均数都等于1，即是它们的对称轴直线x=1.x=1x y 课堂小结课堂小结用坐标表示轴对称关于坐标轴对称的点的坐标特征在坐标系中作已知图形的对称图形关于x轴对称，横同纵反；关于y轴对称，横反纵同关键要明确点关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律，然后正确描出对称点的位置13.3 等腰三角形第十三章 轴对称 第第1 1课时课时 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 导入新课导入新课图片引入图中有些你熟悉的图形吗?它们
24、有什么共同特点?斜拉桥梁埃及金字塔体育观看台架讲授新课讲授新课等腰三角形的性质一实验探究剪一剪：如图，把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ABCu定义及相关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角找一找：剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.重合的线段重合的角 AC B D AB与与AC BD与与CD AD与与AD B
25、 与与C.BAD 与与CADADB 与与ADC等腰三角形是轴对称图形.猜一猜：由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角等边对等角）.ABCD猜想与验证已知：ABC 中，AB=AC,求证：B=C .证明：证法1：作底边BC边上的中线AD.在ABD与ACD中：AB=AC（已知），BD=DC（作图），AD=AD（公共边），ABDACD（SSS）.B=C（全等三角形对应角相等）.应用格式：AB=AC（已知）B=C（等边对等角）证法欣赏证法2：作顶角BAC的平分线AD，交BC于点D.AD平分BAC，12.在ABD与ACD中，ABAC（
26、已知），），12（已证），ADAD（公共边），），ABD ACD（SAS），），BC.ABCD(12证法3：作底边BC的高AD，交BC于点D.ADBC，ADB ADC90.在RtABD与RtACD中，ABAC（已知），），ADAD（公共边），），RtABD RtACD（HL），），BC.证法欣赏ABCD 想一想：刚才的证明除了能得到BC 你还能发现什么?重合的线段重合的角 A B D C ABAC BDCD ADAD B CBAD CAD ADB ADC=90性质性质2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（通常说成等腰三角形的“三线合一”）.ABCD(1 2 填一填:根据
27、等腰三角形性质定理2完成下列填空.在ABC中，AB=AC时，（1）_=_，_=_.(2)AD是中线，_，_=_.(3)AD是角平分线，_ _，_=_.122BDCDADBCBD1BCADCDABCD 例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.典例精析（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？A=ABD,C=BDC=ABC；ABC,ABD,BCD.ABCDx2x2x2x 例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.典例精析（3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？BDC=A+A
28、BD=2 A=2 ABD,ABC=BDC=2 A,C=BDC=2 A.（4）设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来.A+ABC+C=180 x+2x+2x=180,ABCD解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 ，解得x=36 ，在ABC中，A=36，ABC=C=72.x2x2x2x 例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.典例精析当堂练习当堂练习 1.如图，在下列等腰三角形中，分别
29、求出它们的底角的度数.ABC120ABC36B=C=72B=C=302.(1)等腰三角形一个底角为为75,它的另外两个角为_ _；(2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为 _；(3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_ _ _ _ _.75,3072,72或或36,10830，30结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.顶角+2底角=180 顶角=1802底角 底角=（180顶角）20顶角1800底角90ACBD 3.如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它的两边AB和AC是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断:工人师傅在测量了B为37以后，并没有测量C，就说C
30、 的度数也是37;工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁BC的中点D，然后在AD两点之间钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直横梁的.请同学们想想,工人师傅的说法对吗？请说明理由.课堂小结课堂小结等腰三角形的性质等 边 对 等 角三 线 合 一注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.13.3 等腰三角形第十三章 轴对称第第2 2课时课时 等腰三角形的判定等腰三角形的判定导入新课导入新课情境引入 在ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形
31、画出来？ABCA讲授新课讲授新课等腰三角形的判定一提出问题 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？已知：在ABC中，B=C（如图）求证：AB=ACCAB在ABD与ACD，1=2，ABD ACD.B=C，AD=AD，AB=AC(全等三角形的对应边相等)，ABC是等腰三角形.过A作AD平分BAC交BC于点D.证明：CAB21D（AC=AB.()即ABC为等腰三角形.B=C，()知识要点等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.已知等角对等边 在ABC中，u
32、应用格式：BCA(这又是一个判定两条线段相等的根据之一.ABCD211=2,BD=DC（等角对等边）.1=2,DC=BCABCD21（等角对等边）.错，因为都不是在同一个三角形中.辨一辨：如图,下列推理正确吗?典例精析例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形 已知：如图，CAE是ABC的外角，1=2，ADBC 求证：AB=AC 证明：ADBC，1=B（两直线平行，同位角相等），），2=C（两直线平行，内错角相等）又又1=2，B=C，AB=AC（等角对等边）ABCE（12D例2 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.ah作法
33、：1.作线段AB=a.2.作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.3.在MN上取一点C，使DC=h.4.连接AC，BC，则ABC即为所求.ABC当堂练习当堂练习1.在ABC中,已知A=50，B=65，判断ABC是什么三角形，为什么?ABC是等腰三角形,因为B=65,A=50,所以C=65,B=C=65,所以ABC是等腰三角形.2.如图，已知A=36，DBC=36，C=72，则1=_，2=_，图中的等腰三角形有_.3672ABC DBABCDABCD(123.在ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来
34、？ABC3种“补出”方法：方法1：量出C度数，画出BC，B与C的边相交得到顶点A 方法2：作BC边上的中垂线，与C的一边相交得到顶点A 方法3：对折能力提升：在ABC中,已知 ,BO平分ABC,CO平分ACB.（1）请问图中有多少个等腰三角形?请一一列举.（2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系?若有是什么关系?AB=ACABACBOCAEF过点O作直线EF/BC交AB于E,交AC于F.若ABACABCEFO 5个，ABC，AEF，OBE，OBC，OCF.EF=EB+FCEF=EB+FC 2个，OBF，OCE.课堂小结课堂小结等腰三角形的判定等角对等边定 义注意是指同一个三角形中有两边相等
35、的三角形是等腰三角形13.3.2 等边三角形第十三章 轴对称第第1 1课时课时 等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定导入新课导入新课复习引入名称图 形定 义性 质 判 定等 腰 三 角 形等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形讲授新课讲授新课等边三角形的定义一类比探究等腰三角形等边三角形一般三角形u定义类比：在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，这时三角形三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形的性质二图形等腰三角形性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，对称轴（3
36、条）等边三角形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60两条边相等三条边都相等ABCABC类比探究ACBDE练一练：如图,ABC和ADE都是等边三角形，已知ABC的周长为18cm,EC=2cm,则ADE的周长是 cm.12类比探究等边三角形的判定三图形等腰三角形判 定 三个角都相等的三角形是等边三角形，等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60的三角形也是等边三角形”，你同意吗？u等边三角形的判定方法：有一个角是60的等腰三角形是等边三角
37、形.例1 如图,在等边三角形ABC中，DEBC,求证：ADE是等边三角形.ACBDE典例精析证明：ABC是等边三角形，A=B=C.DE/BC,ADE=B,AED=C.A=ADE=AED.ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？变式：上题中,若将条件DEBC改为AD=AE,ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,求证：ADE是等边三角形.证明：ABC是等边三角形，A=B=C.AD=AE,ADE=B,AED=C.A=ADE=AED.ADE是等边三角形.当堂练习当堂练习 1.已知ABC中，中，A=B=60，AB=3cm，则ABC的周长为_cm.
38、92.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DEBC，则这个图形中的等腰三角形共有（）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个DACBDEOBCDAE3.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求EDA的度数.解：ABC是等边三角形，CBA=60.BD是AC边上的中线，BDA=90,DBA=30.BD=BE，BDE=(180-DBA)2=(180-30)2=75.EDA=90-BDE=90-75=15.4.如图，A、O、D三点共线，OAB和OCD是两个全等的等边三角形，求AEB的大小.CBODAE解：OAB和OCD是两个全等的等边三角形.AO=BO,CO=DO,AOB
39、=COD=60.A、O、D三点共线，DOB=COA=120，COA DOB(SAS).DBO=CAO.设OB与EA相交于点F,EFB=AFO，AEB=AOB=60.F变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出AEB的大小吗？DCABEO方法与前面相同，方法与前面相同，AEB=60.课堂小结课堂小结等边三角形定 义底=腰特殊性性 质特殊性边三边相等角三个角都等于60 轴对称性轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质判 定特殊性三边法三角法等腰三角形法13.3.2 等边三角形第十三章 轴对称 第第2 2课时课时 含含3030角的直角三角形的性
40、质角的直角三角形的性质 导入新课导入新课问题引入问题1 用刻度尺测量含30角的直角三角形斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.短直角边=斜边 12问题2 如图，将两个含含30角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接问题3 将做好的等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示：讲授新课讲授新课含30角的直角三角形的性质 一u性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD如图，ADC是ABC的轴对称图形，因此AB=AD,BAD=230=60，从而ABD是一个等边三角形.再由ACBD,可得BC=CD
41、=AB.12你还能用其他方法证明吗？证法欣赏证法1：在ABC 中，C=90，A=30,B=60延长BC 到D，使BD=AB，连接AD，则ABD 是等边三角形已知：如图，在RtABC 中，C=90，A=30.求证：BC=AB21ABCD 证明方法：倍长法BC=AB12EABC 证法2：在BA上截取BE=BC，连接EC.B=60，BE=BC.BCE是等边三角形，BEC=60，BE=EC.A=30，ECA=BEC-A=60-30=30.AE=EC，AE=BE=BC，AB=AE+BE=2BC.BC=AB12证明方法：截半法知识要点含30角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它
42、所对的直角边等于斜边的一半.u应用格式：在RtABC 中，C=90，A=30，ABCBC=AB12典例精析想一想：图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？例如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB=7.4 cm，A=30，立柱BC、DE 要多长.ABCDEABCDE解：DEAC,BC AC,A=30，BC=AB,DE=AD.1212BC=AB=7.4=3.7(m).1212又AD=AB,12DE=AD=3.7=1.85 (m).1212答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.1.如图，在ABC 中，C=
43、90，A=30，AB=10，则BC 的长为 当堂练习当堂练习52.如图，在ABC 中，ACB=90，CD 是高，A=30，AB=4则BD=.1A B C A B C D 第1题 第2题 3.在ABC中,A:B:C=1:2:3,若AB=10,则BC =.54.如图，RtABC中，A=30，AB+BC=12cm，则AB=_.ACB85.已知:等腰三角形的底角为15,腰长为20.求腰上的高.ACBD15 15 20解:过C作CDBA交BA的延长线于点D.B=ACB=15(已知),DAC=B+ACB=15+15=30，CD=AC=20=10.1212)课堂小结课堂小结内 容在直角三角形中，如果一个锐角
44、等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半使 用要 点含30角的直角三角形的性质找准30 的角所对的直角边，点明斜边注 意前提条件：直角三角形中13.4 课题学习 最短路径问题 第十三章 轴对称导入新课导入新课复习引入1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？AB最短，因为两点之间，线段最短2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PlABCDPC最短，因为垂线段最短3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？三角形三边关系：两边之和大于第三边；斜边大于直角边.4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？AlA 讲授新课讲授
45、新课最短路径问题 “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.ABPlABCD牧马人饮马问题如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成ABl数学问题作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.实际问题ABl问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？AlBC根据
46、是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.连接AB,与直线l相交于一点C.问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B.方法揭晓作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求 ABlB C问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =A
47、C+BC=AB，AC+BC=AC+BC在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC 最短ABlB CC 造桥选址问题如图，A和B B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM 1.如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？BA2.利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？思维分析我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花各抒己见1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3
48、.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.BA1.把A平移到岸边.BA()AM+MN+BN长度改变了2.把B平移到岸边.BA（）AM+MN+BN长度改变了怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?BA问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.理由:另任作桥M1N，连接，连接AM，BN，AN.由平移性质可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.AM+MN+BN转化为，而转化为.在ANB中，由线段公理知A1N1+BN1A1B.因此 AM+MN+BN.ABMNECD证明：由平移的性质，得 BNEM
49、 且且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以A，B两地的距离：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短.方法归纳解决最短路径问题的方法 1.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.2.当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形，从而将问题转化为平行
50、四边形的问题解答.当堂练习当堂练习1.如图，直线l是一条河，P、Q是是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.ACBD河10003.如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD,EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD
