1、第第2 2章章 z z变换变换 v z变换的定义、典型序列的变换的定义、典型序列的z变换变换v z变换的收敛域变换的收敛域v z逆变换逆变换v z变换的基本性质变换的基本性质v 拉普拉斯变换、傅里叶变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换与z变换变换v 系统函数系统函数2.4 z2.4 z逆变换逆变换1()()x nZX z1121()()d(,)2 j nxxcx nX z zzcRR求求z z逆变换的三种方法：部分分式展开法逆变换的三种方法：部分分式展开法 幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）2.4.2 2.4.2 部分分式展开法部分分式展开法2101
2、21210121()()()rrrrkkkkbb zb zbzb zN zX zD zaa za zaza z观察，部分分式展开观察，部分分式展开计算系数，部分分式展开计算系数，部分分式展开各简单分式逆变换各简单分式逆变换 （注意（注意ROC）各逆变换结果相加各逆变换结果相加 x(n)0012112()KmKmmKAAAAAAX zzzzzzzzzzzz000bAa()()mmmz zX zAzzz210121210121()()()rrrrkkkkbb zb zbzb zN zX zD zaa za zaza z解解例例2.6 2.6 已知已知 求求？x n22(),ROC:23+2zX z
3、zzz（3 3）11(1)1(1)(2)zzAzzz（1 1）()(1)(2)X zzX zzzzz除以,并将分母多项式分解，（2 2）12()12X zAAX zzzzz展开成部分分式,22(2)2(1)(2)zzAzzz（5 5）()1212X zzzz（4 4）2()12zzX zzz ()()2(2)()2 21nnx nu nu nu n ROC:12z若()()2(2)(1)nx nu nun ROC:1z 若()(1)2(2)(1)nx nunun 1,nza unzaz a ,nza u nzaza若若X(z)中有高阶极点中有高阶极点jjj1d()()(j)!dissisz z
4、X zBzzszz其中其中jj0jj0j 11j 1()()()MsMsmmmmmimiBBAAAX zzzzzzzzzzz解解例例2.7 2.7 已知已知 求求？x n21(),ROC:1(1)X zzz（1 1）01222()1 (1)1(1)ABBX zX zzzz zzzz除以,（2 2）0001 11bAa21211d11 1(2 1)!d1zBzzz z（3 3）jjj1d()()(j)!dissisz zX zBzzszz22211111zBzz z2()11(1)zzX zzz()()()()x nnu nnu n 2,11znu nzz,nza u nzaza 1,nz全平面
5、2.4.3 2.4.3 幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）21012()()(2)(1)(0)(1)(2)()nnnzzX zx n zxzxzxzxzxzx n z 的正幂的负幂210121210121()()()rrrrkkkkbb zb zbzb zN zX zD zaa za zaza z0120()()(0)(1)(2)nnX zx n zxzxzxz1.1.如果如果 的收敛域是的收敛域是 ，则，则 必然为因果序列必然为因果序列()X z1xzR()x n长除法两种类型：长除法两种类型：按按 z z 的降幂次序排列，进行除法。的降幂次序排列，进行除法。()()N zD z、
6、按按 z z 的升幂次序排列，进行除法。的升幂次序排列，进行除法。()()N zD z、00123()()(0)(1)(2)(3)nnX zx n zxzxzxzxz2.2.如果如果 的收敛域是的收敛域是 ，则，则 必然为左边序列（必然为左边序列（）()X z2xzR()x n20n 解解例例2.8 2.8 已知已知 求求？x n2(),ROC:121zX zzzz（1 1）ROC:1,zz序列为因果序列，按的降幂排列。（2 2）012()(0)(1)(2)X zxzxzxz 0 0,1,2,3,4,nx n（3 3）1234()234X zzzzz例例2.9 2.9 已知已知 求求？x n2
7、(),ROC:121zX zzzz解解（1 1）2 ROC:1,0znz序列为的左边序列，按的升幂排列。（2 2）z221zz 4324 3 2 zzzz322 zzz 322zz 432242zzz 432 3zz 543363zzz 5434zz 654484zzz 6545zz 01234()(0)(1)(2)(3)(4)X zxzxzxzxzxz（3 3）234()234X zzzzz 1,4,3,2,1nx n43210(4)(3)(2)(1)(0)xzxzxzxzxz432432zzzz2.4.1 2.4.1 围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）引出：直接计算围线积分比较麻烦引
8、出：直接计算围线积分比较麻烦 通过围线积分与极点处留数的关系，计算极点处留数值通过围线积分与极点处留数的关系，计算极点处留数值留数定律包括两方面内容：留数定律包括两方面内容：（1 1）围线积分与极点处留数的关系）围线积分与极点处留数的关系 （围线内极点，围线外极点）（围线内极点，围线外极点）（2 2）留数值的具体求法）留数值的具体求法1()()x nZX z1121()()d(,)2j nxxcx nX z zzcRR若若 在围线在围线C C以内所有以内所有K个极点的集合为个极点的集合为 ，在围线在围线C C以外所有以外所有M个极点的集合为个极点的集合为 ；1()nX z z kzmz（1 1
9、）围线积分与极点处留数的关系）围线积分与极点处留数的关系 （围线内极点，围线外极点）（围线内极点，围线外极点）i i）逆时针围线上积分等于围线内极点留数之和；）逆时针围线上积分等于围线内极点留数之和；ii ii）顺时针围线上积分等于围线外极点留数之和。）顺时针围线上积分等于围线外极点留数之和。111()dRes(),2 jnnkcKX z zzX z zz111()dRes(),2 jnnmcMX z zzX z zz 解释：解释：11Res(),()nnkkX z zzX z zz其中，表示在极点上的留数值kz表示 对整个集合的所有留数值求和 111()dRes(),2 jnnkcKx nX
10、 z zzX z zz 1()nx nX z zc等于在围线 内所有极点处留数值的总和 1()0nX z zcx n注意：如果在围线 内没有极点，那么 iii iii）逆时针围线上积分等于顺时针围线上积分的相反数。）逆时针围线上积分等于顺时针围线上积分的相反数。1111()d()d2 j2 jnnccX z zzX z zz 11Res(),Res(),nnkmKMX z zzX z zz 即，围线内极点留数和等于围线外极点留数和的相反数。即，围线内极点留数和等于围线外极点留数和的相反数。（2 2）留数值的具体求法）留数值的具体求法 i i）ii ii）11Res(),()mnnmmz zX z zzzzX z zmz如果为单阶极点，mzk如果为 阶极点，11111dRes()()1!dmmkknnmkz zz zX z zzzX z zkzn注意：求解过程中，有一些极点是否存在是依赖于 的。
