1、哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系引言引言 时域分析中时域分析中,以冲激信号以冲激信号(t)为基本信号，任意为基本信号，任意输入信号输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和；可分解为一系列冲激信号之和；而本章将以正弦信号和虚指数信号而本章将以正弦信号和虚指数信号 为基本信号，为基本信号，任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。号或虚指数信号之和。第三章第三章 傅立叶变换傅立叶变换()()()zsrth te tj te哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系频域分析频域分
2、析 从本章开始由从本章开始由时域时域转入转入变换域变换域分析，首先讨论分析，首先讨论傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将频域分析将时间变量时间变量变换成变换成频率变量频率变量，揭示了，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切
3、关系，从而导出了信号的频谱、带宽性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。以及滤波、调制等重要概念。哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系本章主要内容本章主要内容 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 非周期信号的傅立叶变换非周期信号的傅立叶变换 傅立叶变换的基本性质傅立叶变换的基本性质 周期信号和抽样信号的傅立叶变换周期信号和抽样信号的傅立叶变换一种变换域分析方法，其它变换方法的基础；一种变换域分析方法，其它变换方法的基础；快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔
4、滨工业大学自动化测试与控制系预备知识预备知识:完备的正交函数集完备的正交函数集)()()()(2211tgctgctgctfrr信号分解：信号分解：00000002sin,sin 2,1,cos,cos2,(,)tttttt0000221,jtjtjtjteeee常用完备正交函数集常用完备正交函数集：i)三角函数集：三角函数集：ii)复指数函数集：复指数函数集：sinsinsin113366f(t)=Cw t+Cw t+Cw t哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系3.1周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 一、三角形式的傅立叶级数一、三角形式的傅立叶级数,.si
5、n,cos,.,2sin,2cos,sin,cos,1111111tntntttt)2,(100tt112T是区间是区间上的一个完备正交函数集，周期上的一个完备正交函数集，周期)(tf)2,(100tt满足一定条件的任一函数满足一定条件的任一函数在区间在区间都可描述为：都可描述为：0111()cossinnnnf taantbnt0t012/t f(t)0t1任意信号的三角形式傅立叶级数展开任意信号的三角形式傅立叶级数展开哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系3.1周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 010011()1,1),1tTtaf t dTftt0010
6、011111111()cos(),cosco2()cs,cosos2tTttTntf tntdafttntdtf tntTntntT0010011111111()sin(),sinsi2()sn,sinin2tTttTntf tntdbfttntdtf tntTntntTii)iii)i)为为 的偶函数的偶函数1nna为为 的奇函数的奇函数1nnb哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系)(tfnnbaa,0,t )(tf2对于对于周期函数周期函数 ，由于，由于 积分值与积积分值与积分区间起始点无关分区间起始点无关(只要积分区间大小为只要积分区间大小为T1)，故在，故在
7、 均可以展成傅立叶级数均可以展成傅立叶级数)(tf)(tf)(tfdttfTtt100)(3存在的充分非必要条件：狄利克雷条件存在的充分非必要条件：狄利克雷条件一周期内一周期内一周期内一周期内 绝对可积，即绝对可积，即一周期内一周期内间断点有限个；间断点有限个；极值有限个；极值有限个；1T1T()f tt0哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系4其它三角形式其它三角形式22000,nnnnacdcdabii)cossin,sincosnnnnnnnnnnacdbcd iii)iv)010111()cos(),()sin()nnnnnnf tccntf tddnti),
8、nnnnnnbatgtgab 为为 的偶函数的偶函数1nnc为为 的奇函数的奇函数1n,nn 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系111Tf)cos(111tcv)基波分量：基波分量：对应的对应的1113,5,7,.fff21121cos(21)kkcktvi)奇次谐波分量：奇次谐波分量：对应的对应的1112,4,6,.fff)2cos(212kktkcvii)偶次谐波分量：偶次谐波分量：对应的对应的viii)直流分量：直流分量：c0哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系1ncn1nn5周期信号的离散谱周期信号的离散谱ii)相位相位(频频)
9、谱谱:i)幅度幅度(频频)谱谱:n1131n01130c1c3c2c1nnc0谱线谱线，包络线，包络线特点：频谱只出现在某些离散频率点上，离散特点：频谱只出现在某些离散频率点上，离散(频频)谱谱哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系二、指数形式的傅立叶级数二、指数形式的傅立叶级数111()()jntjntnnnf tF neF e01110101011101101()(),1(),tTjntjnttTtjntntTjntjnttjntjnttf t edtf t eFf t edtTeeeedt111111221,.,.jtjtjtjtjntjnteeeeee)2,(
10、100tt112T上的完备正交函数集，周期上的完备正交函数集，周期1任意信号的指数傅立叶级数展开任意信号的指数傅立叶级数展开哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系ntjnneFtf1)(),f tnF0tt2周期函数周期函数 积分值与积分值与 无关无关(只要积分区间只要积分区间 大小为大小为T1)，故在，故在 有有哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系0000FacdnFnnnndcba,3 与与的关系的关系11111111cossin11()()2222nnjntjntjntjntjntjntnnnnnnantbnteeeeabajb ea
11、jb ej11(),()22nnjjnnnnnnnnFajbF eFajbF ei)22111,222nnnnnnnnnFFcdabFFcii)2222,(),4nnnnnnnnnnnnFFabj FFcdabF Fiii)哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系1nFn1nn4幅度谱：幅度谱：，相位谱：，相位谱：)(tf实实 傅立叶级数的特点：傅立叶级数的特点：nn ii)为奇函数为奇函数nnFF为偶函数为偶函数i)11n1n0FnF10n1n0 为实数时，为实数时，的正负表示的正负表示 的的0和和，幅，幅度谱和相位谱度谱和相位谱画到一张图上画到一张图上nFnFn哈尔
12、滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系5负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。22111,222nnnnnnnnnFFcdabFFc每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半；位置上各一半；只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。才代表一个分量的幅度。理解：理解：哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系)()(tftf三、函数对称性与傅立叶系数关系三、函数对称性与傅立叶系数关系111/2/
13、20/201112()()TTTaf t dtf t dtTT111/2/211/201124()cos()cosTTnTaf tn tdtf tn tdtTT11/21/212()sin0TnTbf tntdtT1偶函数偶函数1/2TEf(t)t1/2T0偶函数只含偶函数只含直流项直流项和和余弦项余弦项哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系E()f tt0 11/2/200/2/211111TTEacf t dtEdtTTT2111011 11442cossin()()22nnEEacEntdtnSa nTnTT 11()()22 ()22f tE u tu tTT
14、t 例例1：周期矩形脉冲：只含：周期矩形脉冲：只含直流项直流项与与余弦项余弦项0nb 111112()()cos2nnEEf tSantTT哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系n024nc01ET241nc111112()()cos2nnEEf tSantTT谱线间隔谱线间隔112()T 2零值点频率零值点频率哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 1jntnnf tF e指数形式：指数形式：1121121()2jntnnEFEedtSaTT1nF10241ET2频带宽度概念：频带宽度概念：周期脉冲信号包含无穷多条谱线，即可分解为周期脉冲信
15、号包含无穷多条谱线，即可分解为无穷多个频率分量，但其能量主要集中在第一个零点以内，常无穷多个频率分量，但其能量主要集中在第一个零点以内，常把把 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度02/21,fBBBf与与成反比关系成反比关系 111()2jntnnEf tSaeT哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系若若T1不变，不变，减小一半减小一半t)(tf12TE1Tnc1ET124t)(tf12TE1Tnc121ET 谱线间隔谱线间隔 只与周期只与周期T1有关，且与有关，且与T1成反比；零值点成反比；零值点频率频率 只与只与有关，且与
16、有关，且与成反比；而谱线幅度与成反比；而谱线幅度与T1和和都有关都有关系，且与系，且与T1成反比与成反比与 成正比。成正比。2112()T 哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系若若不变，不变，T1扩大一倍扩大一倍t)(tf12TE1Tnc4E2E124t)(tfE1Tnc4E8E124周期周期T1越大，谱线间隔越小（密集）越大，谱线间隔越小（密集）哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系)()(tftf2奇函数奇函数 11/20/211()0TTaf t dtT11/21/212()cos0TnTaf tntdtT111/2/211/2011
17、24()sin()sinTTnTbf tntdtf tntdtTT/2E1/2T/2E1/2Tf(t)t0奇函数只含奇函数只含正弦项正弦项哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 ttttEtf11114sin413sin312sin21sin例例2：周期锯齿波只含正弦项：周期锯齿波只含正弦项f(t)E/2-E/2t1/2T1/2T0哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系1()()2Tf tf t 3奇谐函数：奇谐函数：11/20/211()0TTaf t dtT111111111/20/2111/2/20112/2/21110012/2110
18、10122()cos()cos()cos2()cos()()cos22()coscos()21(1)()TTnTTTtTTTtTTnaf tntdtf tntdtf tntdtTTTfndf tntdtTf tntntndtTf tT 1/21cosntdt半周期对称半周期对称1/2T1/2T/2Et)(tf/2E0哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系kn20nai)当当时，时，12 kn1/21014()cosTnaf tntdtTii)当当时，时，同理同理12 kn1/21014()sinTnbf tntdtTii)当当时，时，kn20nb时，时，i)当当奇谐函
19、数奇谐函数只含只含基波基波和和奇次谐波奇次谐波的正弦和余弦项的正弦和余弦项1/210121(1)()cosTnnaf tntdtT 1/210121(1)()sin Tnnbf tntdtT哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系,()()22EEAg tf t例例3：含直流的周期锯齿波：含直流的周期锯齿波：Atftg)()()(tg)(tf4去直流后为奇函数去直流后为奇函数 为奇函数：为奇函数：只含正弦项，则只含正弦项，则只含直流和正弦项只含直流和正弦项t)(tfE01T2E2Et()g t01T哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系5去直流
20、后为奇谐函数去直流后为奇谐函数Atftg)()(为奇谐函数：为奇谐函数：)(tf含直流、基波和奇次谐波含直流、基波和奇次谐波 A1/2T1/2Tt)(tf0哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 tnnnEEtfn12122cos2sin142例例4：周期三角波含直流、基波和奇次谐波：周期三角波含直流、基波和奇次谐波()f tt哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系f(t)6偶函数偶函数&奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量t1/2T1/2Tt01/4T1/4T哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业
21、大学自动化测试与控制系()f tt1/2T1/2T0 tttEtf1115cos513cos31cos2例例5：对称方波只含基波和奇次谐波的余弦分量。：对称方波只含基波和奇次谐波的余弦分量。哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系7奇函数奇函数&奇谐函数：只含基波、奇次谐波的正弦分量奇谐函数：只含基波、奇次谐波的正弦分量1/2T-11tf(t)1/4T1/4T01/2T哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系1()()2Tf tf t1111111111/20/2111/2/20112/2/21110012/211010122()cos()cos
22、()cos2()cos()()cos22()coscos()21(1)()TTnTTTtTTTtTTnaf tntdtf tntdtf tntdtTTTfndf tntdtTf tntntndtTf tT /21cosntdt8偶谐函数：偶谐函数：111/2/20/201112()()TTTaf t dtf t dtTT不一定为不一定为0/2T/2Tf(t)t0哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系12 kn0nai)当当时时,kn2tdtntfTaTn1201cos)(41ii)当当时时,kn21/21014()sinTnbf tntdtTii)当当时时,12 kn
23、0nb时时,i)当当1/210121(1)()cosTnnaf tntdtT 同理同理1/210121(1)()sin Tnnbf tntdtT偶谐函数偶谐函数只含只含直流直流和和偶次谐波偶次谐波的正弦和余弦项的正弦和余弦项哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系9偶函数偶函数&偶谐函数：只含直流和偶次谐波的余弦分量偶谐函数：只含直流和偶次谐波的余弦分量f(t)1/2T1/2Tt1/4T1/4T0哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系10奇函数奇函数&偶谐函数：只含偶次谐波的正弦项偶谐函数：只含偶次谐波的正弦项21T21T()f tt14T14
24、T0哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系11半波余弦、半波正弦类半波余弦、半波正弦类例例6：全波整流：只含直流、余弦分量：全波整流：只含直流、余弦分量21T21T()f tt1T1T0E规律收敛规律收敛21/n 111112124111cos2cos4cos631535241(1)cos241nnEEf ttttEEntn哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系半波整流：只含直流、基波和偶次谐波余弦分量半波整流：只含直流、基波和偶次谐波余弦分量14T14T()f tt1T0E1T规律收敛规律收敛21/n哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工
25、业大学自动化测试与控制系 010010221201111111cossintTttTtPftft dtTaantbntdtTdttnbatnaatnbtnaaTTtt10011011012211221201sin2cos2sincos112220212120222nnnbaabaa22222001122nnnnnccFFF四、功率特性，有限级数，最小方均误差四、功率特性，有限级数，最小方均误差1.功率特性功率特性哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系20c：直流功率：直流功率称之为帕塞瓦尔方程称之为帕塞瓦尔方程122nnc：交流功率：交流功率时域和频域的能量守恒：时域
26、和频域的能量守恒：周期信号的平均功率周期信号的平均功率等于傅立叶级数展开各谐波分量有效值平方和等于傅立叶级数展开各谐波分量有效值平方和nntnc1cos221nc2nc其中其中 的交流功率为的交流功率为 ,有效值为有效值为哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 1110sincosnnntnbtnaatf NnnnNtnbtnaatS1110sincos2.有限级数及最小方均误差有限级数及最小方均误差 tStfNN最小方均误差最小方均误差 01010001010100022211221112222011112112tTtTNNNNtttTtTtTNNtttNnnnEt
27、t dtf tStdtTTft dtf t St dtSt dtTTTftaab有限级数的由来：有限级数的由来：哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系例例7：对称方波：对称方波 2222111121 2cos,0.0522EEEStt EE 22223113313211coscos3,322EEStttEaa tfii)变化越剧烈，高频分量越多：高频分量主要变化越剧烈，高频分量越多：高频分量主要影响脉冲跳变沿，低频分量主要影响脉冲顶部影响脉冲跳变沿，低频分量主要影响脉冲顶部解：解：tttEtf1115cos513cos31cos2 ,NNStf t i)项数越多，误差
28、越小，项数越多，误差越小，22221 21 20.022223EEEEP99哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系 NnnnNtnbtnaatS1110sincos3.吉布斯现象吉布斯现象N很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变值的变值的9%，并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐，并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐渐衰减下去渐衰减下去9%f(t)t0 tf项数越多，项数越多，中出现中出现的峰起愈靠近的峰起愈靠近 的不连续点的不连续点哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨工业大学自动化测试与控制系Review 作业：作业：3-1，3-3，3-5，3-10三角形式的傅立叶级数三角形式的傅立叶级数指数形式的傅立叶级数指数形式的傅立叶级数函数对称性与傅立叶系数关系函数对称性与傅立叶系数关系功率特性，有限级数，最小方均误差功率特性，有限级数，最小方均误差
