1、4.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.3.1 线性性质线性性质，；若若)()()()(jYtyjXtxFF)26.4()()()()(jbYjaXtbytaxF 则则其中其中a和和b均为常数。均为常数。利用傅氏变换的线性特性，利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号可以将待求信号分解为若干基本信号之和，分解为若干基本信号之和，如如将阶跃信号分将阶跃信号分解为直流信号与符号函数之和。解为直流信号与符号函数之和。12/1/202214.3.2 时域移位性质时域移位性质)()(jXtxF若若)27.4()()(00 jXettxtjF 则则式中式中t0为任意实数为任意实数 dtettxttxFt
2、j)()(00令令v=t t0，则，则dv=dt，代入上式可得，代入上式可得 dvevxttxFvtj)(00)()()(0 jXetj 12/1/2022221)2()()2()(jFFeSaAtfSaAtp 如图所示：如图所示：例：有信号例：有信号)(1tf。的频谱函数的频谱函数求求)()(11 jFtf)2()(1 tptf 2|02|)(ttAtp2 2 )(tp)2()(1 SaAjF 2)()(1 12/1/20223 4.3.3 时域时域-频域对称性质（奇偶频域对称性质（奇偶,虚实）虚实）)(Im)()(Re)()()(,)(jXjtxjXtxjXtxFoFe。相位与虚部奇对称相
3、位与虚部奇对称幅度和实部偶对称，幅度和实部偶对称，有共轭对称性。有共轭对称性。对实函数对实函数)()()(txtxtxeo 注：注：为为实实函函数数假假定定)(tx )30.4()()()28.4()()(jXjXjXtx )(有有共共轭轭对对称称性性。jX12/1/20224)(jX)(jX j1 )0()(e Fttu12/1/2022522)(e jX22)(m jjXj12/1/20226)(|)(|)()()(jXjejXjIRjX )()(|)(|22 IRjX )()(arctan)(RIjX )()(的的频频谱谱密密度度函函数数称称为为时时域域函函数数将将txjX)()(arc
4、tan)()(sin)()()(cos)()(RIItdttxIRtdttxR 为为的偶函数的偶函数 为为的奇函数的奇函数 为为的奇函数的奇函数 12/1/20227幅值的量度单位幅值的量度单位 /频率的量度单位频率的量度单位：的的量量纲纲)(jX )()(的的频频谱谱密密度度函函数数称称为为时时域域函函数数将将txjX 若若x(t)是是t的实偶函数，的实偶函数，则则X(j)必为必为的实偶的实偶函数。函数。X(j)=R()若若x(t)为实奇函数，则为实奇函数，则X(j)必为必为的虚奇函的虚奇函数。数。X(j)=jI()12/1/20228有有为为实实函函数数如如果果不不限限定定，)(tx)()
5、(jXtx)()(jXtx 互为复共轭对称互为复共轭对称12/1/202294.3.4.1 时域微分性质时域微分性质若若 则则)()(jXtxF)31.4()()(d)(d jXjttxF)()()(jXjdttxdnFnn 12/1/202210试利用试利用求矩形脉冲信号的求矩形脉冲信号的频谱函数频谱函数。)2()2()(tAtAtf2j2jee)(AAtfF)j()j()(FtfF)2(Sa)2sin(2)j(AAF 由上式利用由上式利用，得，得)2sin(j2 A因此有因此有)2sin(j2 A12/1/2022114.3.4.2 时域积分性质时域积分性质若信号不存在直流分量即若信号不存
6、在直流分量即X X(0)=0(0)=0)()(jXtxF若若)()0()(1d)(XjXjxFt 则则)(1d)(jXjxFt 则则12/1/2022124.3.5 时域时域-频域尺度变换性质频域尺度变换性质)()(jXtxF若若)(1)(ajXaatxF 则则 dteatxatxFtj)()()(1de)(1)(jajXavvxaatxFva 令令 v=at，则，则 dv=adt，代入上式可得，代入上式可得 12/1/202213)()(jXtxF若若)(1)(ajXaatxF 则则12/1/2022144.3.5 4.3.5 时域时域-频域频域尺度变换性质尺度变换性质如果如果那么那么 jX
7、txjXtx|1 )()()()()(jXtx 有,时当 1 当当a=-1时，时，得到得到x(t)的折叠函数的折叠函数x(-t)，其频谱亦为原频其频谱亦为原频谱的折叠，谱的折叠，即即 x(-t)X(-j)尺度特性说明，尺度特性说明，反之，反之，信号在时域中扩展，信号在时域中扩展，在频域中就在频域中就一定压缩；一定压缩；即信号的即信号的。12/1/202215 一般时宽有限的信号，一般时宽有限的信号，其频宽无限，其频宽无限，反之反之亦然。亦然。由于信号在时域压缩（扩展）时，由于信号在时域压缩（扩展）时，其能量成比例的减少（增加），其能量成比例的减少（增加），因此其频因此其频谱幅度要相应乘以系数谱
8、幅度要相应乘以系数1/|a|。也可以理解也可以理解为信号波形压缩（扩展）为信号波形压缩（扩展）a倍，倍，信号随时间信号随时间变化加快（慢）变化加快（慢）a倍，倍，所以信号所包含的频所以信号所包含的频率分量增加（减少）率分量增加（减少）a倍，倍，频谱展宽（压缩）频谱展宽（压缩）a倍。倍。又因能量守恒原理，又因能量守恒原理，各频率分量的大各频率分量的大小减小（增加）小减小（增加）a倍。倍。下图表示了矩形脉冲下图表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。及频谱的展缩情况。12/1/202216图图 矩形脉冲及频谱的展缩矩形脉冲及频谱的展缩12/1/2022170|1 )(0tjejXttx 联合使用上述两性质
9、：联合使用上述两性质：12/1/2022184.3.6 时域时域-频域对偶性质频域对偶性质)()(jXtxF若若)(2)(xjtXF则则)(2)()(xtXtx是是偶偶函函数数，则则若若12/1/202219若)j()(FtfFnnnFnFtftd)j(dj)(ttfFtde)()j(jttfttfFttde)()j(dedd)(d)j(djjttf tFtde)(d)j(djj将上式两边同乘以j得 d)j(dj)(FtftF则12/1/2022204.3.7 帕斯瓦尔（帕斯瓦尔（Parseval）定理）定理那么那么 djGjXdttgtx)()(21)()(如果如果 )()()()(jGtg
10、jXtx帕斯瓦尔定理，帕斯瓦尔定理，它表明信号的时域能量等它表明信号的时域能量等于信号频域的能量，于信号频域的能量，即信号经傅氏变换其即信号经傅氏变换其总能量保持不变，总能量保持不变，符合符合。dtjXdttxdttxdttxtxtxtg222*|)(|21)()()()()()(则有：则有：令令12/1/202221由于信号由于信号x(t)为实数，故为实数，故X(j)=X*(j)，因此上式为因此上式为 dttxW)(2 djXdttx22|)(|21)(d)j()j(21XX dtdejXtxt)(21)(j d de)(21)j(21jttxXt：非周期能量信号的归一化能量：非周期能量信号
11、的归一化能量 在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。12/1/202222 djXdttx22|)(|21)(2|)j(|21)(XG 定义定义为为，简称，简称。12/1/202223计算计算 。tttd)sin(2 由由)(sin2 pttF 根据根据，可得，可得tttd)sin(2 d|)(|2122pd21112 12/1/202224小结小结傅氏变换性质（定理）傅氏变换性质（定理）)(2)j(ftFF)j(1)(aFaatfF 0j0e)j()(tFFttf )j()j(d)(d FttfnFnn)()0()j(j1d)(FFfFt )j()j()()(2121 bFaFtbftafF 12/1/202225
