1、 判断下列系统是否为线性系统。解：解：4)(3)()2(txty)()()1(2txttyttxtyd)(d4)()3(叠加特性 均匀特性)()(121txttx)()()1(2txtty)()(121tKxttKx)()(121txttx)()(222txttx)()()()(21221txtxttxtx满足均匀特性和叠加特性，该系统为线性系统。判断下列系统是否为线性系统。解：解：4)(3)()2(txty)()()1(2txttyttxtyd)(d4)()3(4)(3)(11txtx4)(3)(11tKxtKx不满足均匀特性，该系统为非线性系统。4)(3)()2(txty 判断下列系统是否
2、为线性系统。解：解：4)(3)()2(txty)()()1(2txttyttxtyd)(d4)()3(满足均匀特性和叠加特性，该系统为线性系统。注：微积分运算是线性运算。ttxtxtxtxd)()(d4)()(2121 均匀特性ttxtyd)(d4)()3(ttxtxd)(d4)(11ttxKttKxtKxd)(d4d)(d4)(111ttxtxd)(d4)(22ttxtxd)(d4)(11 叠加特性ttxttxd)(d4d)(d421)(4)0(5)()1(txyty)(6)0(2)()2(2txyty)(3)()0(4)()3(txtxytyttxtxytyd)(d2)(3)0(4)()4
3、(线性系统非线性系统非线性系统线性系统零状态响应非线性不满足可分解性例例 判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统？（其中y(0)为系统的初始状态，x(t)为系统的输入激励，y(t)为系统的输出响应）。2、零输入线性，系统的零输入响应必须对 所有的初始状态呈现线性特性。)()()(zszitytyty解解：分析 任意线性系统的输出响应都可分解为零输入响应与零状态响应两部分之和,即1、具有可分解性3、零状态线性，系统的零状态响应必须对 所有的输入信号呈现线性特性。因此，判断一个系统是否为线性系统，应从三个方面来判断：)()()(zszitytyty(1)y(t)=sinx(t)(2)y(t)=
4、costx(t)(3)y(t)=4x 2(t)+3x(t)(4)y(t)=2tx(t)例例 试判断下列系统是否为时不变系统。时不变系统时变系统时不变系统时变系统分析:判断一个系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励x(t)变为x(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否也变为 y(t-t0)。由于系统的时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。例例 计算下列各式-tttd)4()sin()1(-325d)1(e)2(ttt-642d)8(e)3(ttt-tttd)22(e)4(-222d)13()3()5(tttt)2()32)(6(23-ttt)2
5、2(e)7(4tt-)1()(e)8(2-ttut2/2)4sin(d)4()sin()1(-ttt51 5325e/1ed)1(e)2(-ttt0d)8(e)3(642-ttte21d)1(21ed)22(e)4(-tttttt0d)3(3)3(d)13()3()5(222222-tttttttt)2(19)2()3222()2()32)(6(2323-ttttt)1(e21)1(e21)1(21e)22(e)7(4(-1)444-tttttt0)1(0)1()1(e)1()(e)8(-1)22-ttuttut 例例 写出图示信号的时域描述式。)2()1()()1()(-trtrtrtrtx
6、)1(2)(2)1()(-trtrtutx 例例 已知x(t)的波形如图所示，试画出x(6-2t)的波形。)3(23)2()2(2)(-txtxtxtx右移翻转缩 例例 画出下列信号及其一阶导数的波形，其中T为常数，w0=2p/T。)()()(Ttututtx-)()(sin)(0Ttututtx-w)()()(Ttututtx-)()()()()(TtttTtututx-)()()(TtTTtutu-例例 画出下列信号及其一阶导数的波形，其中T为常数，w0=2p/T。)()()(Ttututtx-)()(sin)(0Ttututtx-w)()(sin)(0Ttututtx-w)()(sin)
7、()(cos)(000TtttTtututtx-www00cos()()t u tu tTww-例例 判断下列离散序列是否为周期信号.1)x1k=cos(kp/6)2)x2k=cos(k/6)3)对x3(t)=cos6pt,以fs=8 Hz抽样所得序列 W0/2p 1/12,由于1/12是不可约的有理数，故离散序列的周期N=12。W0/2p 1/12p,由于 1/12p不是有理数，故离散序列是非周期的。)86cos()(8133ktxkxkt W0/2p=3/8，由于3/8是不可约的有理数，故离散序列的周期N=8。1)x1k=cos(kp/6)2)x2k=cos(k/6)3)对x3(t)=co
8、s6pt,以fs=8 Hz抽样所得序列例例 画出信号x(t)的奇、偶分量 例例 已知LTI系统在x1(t)激励下产生的响应为y1(t)，试求系统在x2(t)激励下产生的响应 y2(t)。从x1(t)和x2(t)图形可以看得出，x2(t)与x1(t)存在以下关系 1(1)211()(1)()dtx txtx-根据线性时不变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系 d)()(11 2ytyt-)1()e1(5.0)1(2-tut 例例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)
9、(6)(ttxtytyty0862 ss4221-ss，24()eetthy tAB-特征根为齐次解yh(t)解解:(1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为t0 例例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)(6)(ttxtytyty解解:(2)求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=x(t)的特解yp(t)由输入x(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。t0 例例 已知某二阶线性时
10、不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)(6)(ttxtytyty解解:(3)求方程的全解解得 A=5/2，B=-11/6241()()()eee3ttthpy ty tytAB-131)0(BAy23142)0(-BAy0,e31e611e25)(42-ttyttt解解:系统的特征方程为 例例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:y(t)+5y (t)+6y(t)=4x(t),t0 系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yzi(t)。0652 ss3221-ss，2
11、3zi12()ee,0tty tKKt-0,e5e6)(32zi-ttytt系统的特征根为 y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y(0-)=yzi(0-)=-2K1-3K2=3解得 K1=6，K2=-5 例例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:y(t)+4y (t)+4y(t)=2x(t)+3x(t),t0 系统的初始状态为y(0-)=2，y(0-)=-1，求系统的零输入响应yzi(t)。解解:系统的特征方程为0442 ss221-sstttKKty2221ziee)(-0,e3e2)(22zi-tttytt系统的特征根为（两相等实根）y(0-)=yzi(0-)=K1=2y(0-)=
12、yzi(0-)=-2K1+K2=-1 解得 K1=2,K2=3 例例 已知某线性时不变系统的动态方程式为：y(t)+2y (t)+5y(t)=4x(t)+3x(t),t0 系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yzi(t)。解解:系统的特征方程为系统的特征根为0522 ssj21j2121-ss，)2sin2cose)(21zitKtKtyt-（y(0-)=yzi(0-)=K1=1y(0-)=yzi(0-)=-K1+2K2=3解得 K1=1，K2=20),2sin22(cose)(zi-ttttyt 例例 已知某LTI系统的动态方程式为：y(t)+3y(t)=2x(
13、t)系统的冲激响应 h(t)=2e-3t u(t),x(t)=3u(t),试求系统的零状态响应yzs(t)。-d)()()()()(zsthxthtxty3()=3()2e()dtuu t-303 2 0=0 0ttedtt-32 10=00tett-3=2(1)()teu t-0),(2)(3d)(dttxtytty解解：当x(t)=(t)时，y(t)=h(t)，即)(2)(3d)(dtthtth动态方程式的特征根s=-3,且nm,故h(t)的形式为)(e)(3tuAtht-)(2)(e3+)(edd33ttuAtuAttt-解得A=2)(e2)(3tutht-例例1 已知某线性时不变系统的
14、动态方程式为 试求系统的冲激响应。例例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。0),(3)(2)(6d)(dttxtxtytty解解：当x(t)=(t)时，y(t)=h(t)，即)(3)(2)(6d)(dttthtth动态方程式的特征根s=-6,且n=m,故h(t)的形式为)()(e)(t6tBtuAth-解得A=-16,B=3)(3)(2)()(e6+)()(edd66tttBtuAtBtuAttt-)(e16)(3)(t6tutth-例例3 3 求例1所述系统的单位阶跃响应 g(t)。例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为 0),(2)(3d)(dttxtytty例1
15、 系统的冲激响应为利用冲激响应与阶跃响应的关系，可得h(t)=2e-3t u(t)-thtg)d()()()e1(323tut-t03de2)()(),(e)(),(*)(tuthtutxthtxt-计算)(x)(h将信号的自变量由t 改为 将h()翻转得h(-)将h(-)平移t。当t 0时，x()h(t-)=0 故x(t)*h(t)=0当t 0时，)()(),(e)(),(*)(tuthtutxthtxt-计算)()(e)()(tuuthx-0()()e d1 ettx th t-()()(1 e)()tx th tu t-由此可得 例例 计算 y(t)=p1(t)*p1(t)。a)-t -
16、1b)-1 t 0tttyt-1d)(5.05.0)(1py(t)=0)(1tp0.5-0.51t)(1pt-5.0t5.0)()(11-tpp10 t1t5.0t-5.0)()(11-tpp1t1c)0 1tttyt-1d)(5.05.0y(t)=0 例例 计算 y(t)=p1(t)*p1(t)。)(1tp0.5-0.51t)(1pc)0 1tttyt-1d)(5.05.0y(t)=0a)-t -1b)-1 t 0tttyt-1d)(5.05.0y(t)=011-1)()(11tptpt 例例 计算 y(t)=p1(t)*p1(t)。例例 利用平移特性及u(t)u(t)=r(t)，计算y(t
17、)=x(t)h(t)。)(tht201)(tyt20113tt-3y(t)=x(t)h(t)=u(t)-u(t-1)u(t)-u(t-2)=u(t)u(t)-u(t-1)u(t)-u(t)u(t-2)u(t-1)u(t-2)=r(t)r(t-1)-r(t-2)+r(t-3)例例 利用等效特性，计算y(t)=x(t)h(t)。)(tht201)(tyt20113tt-3)1()(-ththt201311-x(t)=(t)-(t-1)tththtytd)1()()(0-x(t)h(t)=h(t)-h(t-1)例例 计算下列卷积积分。)(e3)(e22tututt-)2(e3)1(e2)2()1(2
18、-tututt)2(e3)1(e22-tututt(1)(2)(3)(e3)(e22tututt-(1)2()2e()3e()dtuu t-2()06eed000tttt-)()ee(62tutt-)(e)(etututt-)(e)()ee(1tuttuattt 例例 计算下列卷积积分。(1)(2)(3)(2)2(e3)1(e2)2()1(2-tututt利用卷积的平移性质和题(1)的结论)3()ee(6)3(2)3(-tutt(3)2(e3)1(e22-tututt)2(ee3)1(ee2)2(2)1(22-tututt4)2()1(2e)2(e3)1(e2-tututt)3()ee(e6)
19、3(2)3(4-tutt)(e3)(e22tututt-)2(e3)1(e2)2()1(2-tututt)2(e3)1(e22-tututt例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2=x k 初始条件y0=0，y1=-1，输入信号 xk=2k uk，求系统的完全响应yk。特征根为齐次解yhk解解：(1)求齐次方程yk-5yk-1+6yk-2=0的齐次解yhk特征方程为0652-rr3,221rrkkCCky3221h解解：(2)求非齐次方程yk-5yk-1+6yk-2=xk的特解ypk由输入xk的形式，设方程的特解为将特解带入原差分方程即可求得常数A=-2。0,
20、2pkAkkyk例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2=xk 初始条件y0=0，y1=-1，输入信号 xk=2k uk，求系统的完全响应yk。解解：(3)求方程的全解，即系统的完全响应yk解得 C1=-1，C2=10,232121ph-kkCCkykykykkk0021CCy1232 1 21-CCy0,2321-kkkykkk例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2=xk 初始条件y0=0，y1=-1，输入信号 xk=2k uk，求系统的完全响应yk。例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:yk+3yk-1+2yk-2=x
21、k 系统的初始状态为y-1=0，y-2=1/2，求系统的零输入响应yzik。解解：系统的特征方程为系统的特征根为解得 C1=1，C2=-20232 rr2,121-rrkkCCky)2()1(21zi-21412021 12121-CCyCCy0)2(2)1(zi-kkykk例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:yk+4yk-1+4yk-2=xk 系统的初始状态为y-1=0，y-2=-1，求系统的零输入响应yzik。解解：系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）解得 C1=4,C2=40442 rr221-rrkkCkCky)2()2(21zi-022 121-CCy142221-CCy
22、0,)2(4)2(4zi-kkkykk例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:yk-0.5yk-1+yk-2-0.5yk-3=xk 系统的初始状态为y-1=2，y-2=-1，y-3=8，求系统的零输入响应yzik。解解：系统的特征方程为系统的特征根为解得 C1=1，C2=0，C3=505.05.023-rrrj212,30.5,jerr zi1231()sincos222kykCCkCk22 121-CCy14231-CCy88321-CCy0,2cos5)21(zikkkyk 例例 若描述某离散系统的差分方程为:22 13kxkykyky-已知 ,)21(3kukxk)2(2)1(kukhk
23、k-求系统的。解：解：zsnkhnxkyn-nnknknnkunu)2(2)1()21(3-000,)41()2(6)21()1(300kkknnknknk)21(51)2(524)1(2kukkk-例例1 描述某离散因果LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。22 13kxkykyky-解：解：hk满足方程22 13kkhkhkh-对于因果系统有h-1=h-2=0，代入上面方程可推出122 1300-hhh3 1203 1 1-hhh 注意：选择初始条件的基本原则是必须将 k的作用体现在初始条件中。可以选择h0和h1 或h-1和h0作为初始条件解解：hk满足方程22 13kkhkh
24、kh-特征方程为特征根为齐次解的表达式为0232 rr2,121-rr0,)2()1(21-kCCkhkk代入初始条件，有10021 12121-CChCCh解得 C1=-1，C2=2)2(2)1(kukhkk-例1 描述某离散因果LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。22 13kxkykyky-例2 求例1所述系统的单位阶跃响应 gk。例1 若描述某离散时间LTI系统的差分方程为 例1 所述系统的单位脉冲响应为22 13kxkykyky-00(1)2(2)kknnnng k-141(1)(2)236kku k-利用hk与gk 的关系，可得hk=-(-1)k+2(-2)k uk例例
25、3 计算 与 的卷积和。2,3,0,2,1kx3,2,4,1kh6,13,14,20,10,10,6,1ky利用卷积利用卷积和的起点和的起点坐标等于坐标等于待卷积两待卷积两序列起点序列起点之和，确之和，确定卷积和定卷积和的原点。的原点。例例4 计算 与 的卷积和。kukxkkukhk kku ku k nk nnu nu kn-0000knk nnkk-11(1)kkku kka u k-e()e()ttu tu t-)(e)()ee(1tuttuattt例例5 5 计算 与 的卷积和。4,2,0,1kx3,5,4,1kh 1422-kkkkx利用位移特性 22 4 1 x kh kkkkh
26、k-1422-khkhkh 1,4,7,15,26,26,12y kx kh k例1 求图示系统的冲激响应，其中h1(t)=e-3t u(t)，h2(t)=(t-1)，h3(t)=u(t)。子系统h1(t)与h2(t)级联，h3(t)支路与h1(t)h2(t)级联支路并联。123()()()()h th th th t3(1)e()()ttu tu t-)()1(e)1(3tutut-例2 求图示系统的单位脉冲响应，其中h1k=2kuk，h2k=k-1，h3k=3kuk，h4k=uk。子系统h2k与h3k 级联，h1k支路、全通支路与h2k、h3k 级联支路并联，再与h4k级联。全通支路满足
27、y kx kh kx k 全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列 k4321khkhkhkkhkh2(2)0.5(3)0.5 1kku ku k-例5 已知一因果LTI连续系统的冲激响应为h(t)=eat u(t)，判断该系统是否稳定。解：解：由于ded)(0ah-0e1aa 当 a0求RNk=uk-uk-N的z变换及收敛域。利用因果序列的位移特性和线性特性，可得11111)(-zzzzXN111-zzN1,111-zzkuZ由于RNk为有限长序列，故其收敛域为|z|0ROC扩大线性加权后序列z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC大利用z变换的卷积特性，以及11,11zu kzz-0 kn
28、Zx n0 knx nx ku k0 knZx nZ x kZ u k11)(-zzX可得(),zxx kX zzR 设),1max(xRz 例例5 求aksin(W0k)uk 的z变换及收敛域。利用z变换的指数加权特性，可得1z201100cos21sin)sin(-zzzkukzWWW100120sin()sin()12()cos()zkz aak u kz az a-WW-W 102120sin2cosazaa zz-W-W za例例6 求xk=(k+1)akuk的z变换及收敛域。利用z域微分特性，可得azazkuaZk-,111 kZ ka u kzazzd11d1-azaz-,)1(
29、121Zkkuak)1(azazaz-,)1(211利用z变换的线性特性，可得X(z)=1/(1-a z-1),|z|a|，求x0，x1和 x。)(lim0zXxz111lim-azz1lim-azzz根据位移特性有 0)(1xzXzkukxz-对上式应用初值定理，即得 0)(lim 1 xzXzxz-aazazz-limX(z)=1/(1-a z-1),|z|a|，求x0，x1和 x。当 时，(z-1)X(z)的收敛域不包含单位圆，终值定理不适用。11aa-或 当 时，(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，由终值定理得)()1(lim1zXzxz-111(1)lim01zaz zaza-1a
30、-11.5收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。)5.11)(5.01(1)(11-zzzH 从收敛域看系统的极点为z1=0.5,z2=1.5 极点z2=1.5在单位圆外，故系统不稳定。从极点看一因果离散系统如图所示，求 a)H(z)b)系统稳定时k的范围。)()()3/()(1zXzGkzzG-)()4/()()(1zGzkzGzY-11)3/(1)4/(1)(-zkzkzH系统稳定3k 已知 试作其直接型，并联型及级联型的模拟框图。21212.01.016.06.33)(-zzzzzH1）直接型）直接型0.233.60.60.1z-1z-1+X(z)Y(z)已知 试作其直接型，并联型及级联型的模拟框图。21212.01.016.06.33)(-zzzzzH11114.018.25.015.03)(-zzzzzH0.52.80.4z-1z-1+30.52）并联型）并联型X(z)Y(z)已知 试作其直接型，并联型及级联型的模拟框图。21212.01.016.06.33)(-zzzzzH3）级联型）级联型0.50.60.43z-1z-1+111130.61()10.510.4zzH zzz-X(z)Y(z)
