1、第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分一一 偏导数偏导数二二 全微分全微分一一 偏导数偏导数函数对函数对x偏增量偏增量定义定义),(yxfz 在点在点),(),(lim000yfyfx 存在存在,xyxyxfz对对在点在点),(),(00 的的偏导数偏导数，记为，记为;),(00yxxz ),(00yx的某邻域内的某邻域内;),(00yxxf xx 00 x则称此极限为函数则称此极限为函数如果极限如果极限设函数设函数x;),(00yxfx;),(00yxxz100(,).fxy1 偏导数及其计算偏导数及其计算xyxfyxxfx ),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx ),
2、(00yxfx注意注意:有定义，有定义，函数对函数对 y 的偏增量的偏增量0),(dd0yyyxfy 同样可定义对同样可定义对 lim0 y),(00yxfy,xzxfxz 则该偏导数称为则该偏导数称为偏导函数偏导函数,也简称为也简称为偏导数偏导数 ,1(,),(,)xfx yfx y2(,),(,)yfx yfx y),(0 xf),(0 xf y记为记为yy 00y,yzyfyz y的偏导数的偏导数或或若函数若函数),(yxfz 在区域在区域D 内每一点内每一点),(yx处对处对 xy偏导数存在，偏导数存在，),(zyxfx例如例如,三元函数三元函数 u=f(x,y,z)在点在点(x,y,
3、z)处对处对 x 的的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.lim0 x),(zyf),(zyf x xx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为偏导数定义为(请自己写出请自己写出)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立解解 xz 22211yxx|22yyx .|22yxy|)|(2yy xyxx223222)(yxy yz22211yxx|22yyx yyxx1
4、sgn22 )0(y00 yxyz不存在不存在 yyxx22322)()(yxxy 22arcsinyxxz 例例4 4 设设(1)yzxy求求,zzxy解解zx ln(1)yxyze zy (1)yxy(ln(1)yyxy ln(1)1xyxyxy 21(1)yyxy xxy)1(1(1)yyxyy 1(1)yyxy ln(1)yxye 例例5 5 求求222zyxr 的偏导数的偏导数 .解解:xr yr2222zyx x2rx zr,ry 2222zyx y22222zyx z2rz,(,),(0,0),(0,0).xyzf x yxyff例如 设求例如 设求有关偏导数的几点说明：有关偏导
5、数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0,0(0 0).0,0(yf 2 2 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系所以函数在该点处并不连续所以函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，因为因为2200limyxxyyx 不存在不存在3 3 偏导数的几何意义偏导数的几何意义00000(,(,)(,),Mxyf xyzf x y 设为曲面上一点设为曲面上一点00),(dd0
6、0 xxyxfxxfxxyy 0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy 是曲线是曲线 0),(xxyxfzyTM0在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线对对 y 轴的轴的yxz0 xyTo0y0MxT4 4 高阶偏导数高阶偏导数设设 z=f(x,y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx 若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz )(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy 则称它们是则称它们是z=f(x
7、,y)的的二阶偏导数二阶偏导数.按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导有下列四个二阶偏导22xz );,(yxfxx yxz 2),(yxfyx);,(2yxfxyzxy x 数数:二阶混和偏导数二阶混和偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为3322)(xzxzx z=f(x,y)关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数,再关于再关于 y 的一阶的一阶)(y yxznn 1偏导数为偏导数为11 nnxz解解xz
8、,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx解解xu yu 22xu 22yu yxu 2xyu 2,cosbyaeax;sinbybeax ,cos2byeaax,cos2byebax ,sinbyabeax .sinbyabeax 例例8 8设设sinzxxy 求求222,zzx yx 解解zx 22zx 2coscossinyxyyxyxyxy22sinycoxyxyxy2zx y 2coscossinxxyxxyx yxy22 cossinxxyx y
9、xysincosxyxyxy解解),ln(21ln2222yxyx xu yu 22xu 22yu 2222yuxu.0.02222 yuxu)(222yx x2,22yxx ,22yxy 222)(yx ,)(22222yxxy xx 2 )(22yx .)(22222yxyx 22222)(2)(yxyyyx 22222)(yxxy 22222)(yxyx 例例10 10 设设2,xyuexyz求求22.uux yx z 解解ux 2xyyeyz 2ux y xyxyexye2z 2ux z 0 2yz 2yz 问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？混合偏导数都相等吗？具备
10、怎样的条件才相等？,),()()(00连续连续都在点都在点和和若若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx 则则定理定理.例如例如,对三元函数对三元函数 u=f(x,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx 说明说明:本定理对本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx 因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函
11、数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点(x,y,z)连续时连续时,有有而初等而初等(证明略证明略)1 1 全微分的定义全微分的定义二二 全微分全微分,z),(yxfz ),(yxP函数函数在点在点的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，z),(),(yxfyyxxf 即即 =),(yyxxP 为这邻域内的任意一点，为这邻域内的任意一点，并设并设记为记为),(),(yxfyyxxf yx ,为函数在点为函数在点P P 对应于自变量增量对应于自变量增量的的全增量全增量，称这两点的函数值之差称这两点的函数值之差 则则),(),(yxfyxxf ),(),(yxfyyxf x二元
12、函数对二元函数对的的偏增量偏增量y二元函数对二元函数对的的偏增量偏增量,)(oyBxAz 其中其中 A,B 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x,y 有关，有关，若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,22)()(yx 则称函数则称函数 f(x,y)在点在点(x,y)可微可微，如果函数如果函数 z=f (x,y)在定义域在定义域 D 的内点的内点(x,y),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成处全增量处全增量则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微.称为函数称为函数),(yxf在点在点(x,y)的的全微分全微分,yBxA 定义定义yBxAfz dd记作记作事实上事实上),
13、(oyBxAz ,0lim0 z),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf),(yxfz ),(yx 如果函数如果函数在点在点可微分可微分,则则函数在该点连续函数在该点连续.),(yxfz ),(yx故函数故函数在点在点处连续处连续.2 可微的条件可微的条件定理定理1 1（必要条件）（必要条件）),(yxfz ),(yx在点在点可微分，可微分，如果函数如果函数),(yx、xz yz 的偏导数的偏导数必存在，必存在，则该函数在点则该函数在点),(yxfz ),(yxyyzxxzdz 在点在点的全微分为的全微分为 且函数且函数),(),(yxfyxxfzx xz 同样可证
14、同样可证,Byz yyzxxzz d证证:由全增量公式由全增量公式,)(oyBxAz ,0 y令令)(xoxA 得到对得到对 x 的偏增量的偏增量因此有因此有 xzxx 0limA 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf)0,0(xfxffxx )0,0()0,(lim)0,0(0在点在点处有处有000lim0 xx0)0,0(yf同样可得同样可得)0,0()0,0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 则则 22)()(yxyx 22)
15、()(xxxx ,21 0 当当 时，时，),()0,0()0,0(oyfxfzyx 说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，分存在，证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1)10(1 （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）xxyxfx 1),(xxyxfx 1),(yyyxfy 2),(z 2121 yx,00 同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 习惯上，习惯上，当当.dyyzdxxzdz 全微分的定义可
16、推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况全微分全微分写写为为,x y自变量时，自变量时，记记,dxx dyy 例如例如),(zyxuu 解解 xzyz )1,2(xz )1,2(yz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分,xyye,xyxe,2e,22e 解解xz yz dyyzdxxzdz),4(),4(),4(
17、).74(82 ),2sin(yxy ),2sin(2)2cos(yxyyx 解解xu yu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz ,1 2cos21y,yzze 例例14 14 说明函数说明函数证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0),0,0(f )0,0(xfxfxfx )0,0()0,(lim0,000lim0 xx同理同理.0)0,0(yf),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy ),(lim)0,0(),(yxfxxx,|2
18、1cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.)0,0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo .0)0,0(df多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用(,)(,)(,),(,),xyzf x yP x yfx yfx yxy 当二元函数在点的两个偏导数当二元函数在点的两个偏导数连续，且都较小时，有近似等连续，且都较小时，有近似等式式.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 解解(,).yf x yx 设函数设函数.02.0,04.0,2,1 yxyx取取,1)2,1(f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy,2)2,1(xf,0)2,1(yf由公式得由公式得02.0004.021)04.1(02.2 .08.1
