1、14.3.2 公式法第十四章 整式的乘法与因式分解第2课时 运用完全平方公式因式分解学习目标1.理解并掌握用完全平方公式分解因式(重点)2.灵活应用各种方法分解因式,并能利用因式分解 进行计算(难点)导入新课导入新课复习引入1.因式分解:把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法?1.提公因式法2.平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)讲授新课讲授新课用完全平方公式分解因式一你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗?同学们拼出图形为:aabbababababab这个大正方形的面积可以怎么求?a2+2ab+b2(a+b)2=baababb(a+
2、b)2 a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看,能得到:a2+2ab+b2 a22ab+b2 我们把a+2ab+b和a-2ab+b这样的式子叫作完全平方式.观察这两个式子:(1)每个多项式有几项?(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?三项这两项都是数或式的平方,并且符号相同是第一项和第三项底数的积的2倍完全平方式的特点:1.必须是三项式(或可以看成三项的);2.有两个同号的数或式的平方;3.中间有两底数之积的2倍.222baba 完全平方式:简记口诀:首平方,尾平方,首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成完全平方形式,便
3、实现了因式分解.2ab+b2=(a b)a2首2+尾22首尾(首尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.3.a+4ab+4b=()+2()()+()=()2.m-6m+9=()-2()()+()=()1.x+4x+4=()+2()()+()=()x2x +2 aa 2ba+2b2b对照 a2ab+b=(ab),填空:mm-33x2 m3 下列各式是不是完全平方式?(1)a24a+4;(2)1+4a;(3)4b2+4b-1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是(2)因为它只有两项;不是(3)4b与-1的符号不统一;不是分析:不是是(4
4、)因为ab不是a与b的积的2倍.例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是()A.11 B.9 C.-11 D.-9B解析:根据完全平方式的特征,中间项-6x=2x(-3),故可知N=(-3)2=9.变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为_.解析:16=(4)2,故-m=2(4),m=8.8典例精析方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征,根据参数所在位置,结合公式,找出参数与已知项之间的数量关系,从而求出参数的值.计算过程中,要注意积的2倍的符号,避免漏解例2 分解因式:(1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.分析:(1)中,16x2=(
5、4x)2,9=3,24x=24x3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式,即16x2+24x+9=(4x)2+24x3 +(3)2.2ab+b2a2(2)中首项有负号,一般先利用添括号法则,将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.解:(1)16x2+24x+9 =(4x+3)2;=(4x)2+24x3+(3)2 (2)-x2+4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例3 把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2;分析:(1)中有
6、公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解因式;(2)中将a+b看成一个整体,设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2(a+b)6+62 =(a+b-6)2.利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式,完全平方式等)的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.因式分解:(1)3a2x224a2x48a2;(2)(a24)216a2.针对训练(a244a)(a244a)解:(1)原式3a2(x28x16)3a2(x4)2;(2)原式(a24)2(4a)2(a2)2(a2)2.有公因式要先提公因式要检查每一个多项式的因式,看能否继续分解例4 把下列完全平方公式分解因式
7、:(1)1002210099+99;(2)3423432162.解:(1)原式=(10099)(2)原式(3416)2本题利用完全平方公式分解因式,可以简化计算,=1.2500.例5 已知x24xy210y290,求x2y22xy1的值112121.解:x24xy210y290,(x2)2(y5)20.(x2)20,(y5)20,x20,y50,x2,y5,x2y22xy1(xy1)2几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0.方法总结:此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式,然后利用非负数性质解答问题例6 已知a,b,c分别是ABC三边的长,且a22b2c22b(ac)0,请判
8、断ABC的形状,并说明理由ABC是等边三角形解:由a22b2c22b(ac)0,得 a22abb2b22bcc20,即(ab)2(bc)20,ab0,bc0,abc,当堂练习当堂练习1.下列四个多项式中,能因式分解的是()Aa21 Ba26a9 Cx25y Dx25y2.把多项式4x2y4xy2x3分解因式的结果是()A4xy(xy)x3 Bx(x2y)2Cx(4xy4y2x2)Dx(4xy4y2x2)3.若m2n1,则m24mn4n2的值是_BB14.若关于x的多项式x28xm2是完全平方式,则m的值为_ 45.把下列多项式因式分解.(1)x212x+36;(2)4(2a+b)2-4(2a+
9、b)+1;(3)y2+2y+1x2;(2)原式=2(2a+b)22(2a+b)1+(1)=(4a+2b 1)2;解:(1)原式=x22x6+(6)2 =(x6)2;(3)原式=(y+1)x =(y+1+x)(y+1x).2(20142013)1.22(2014)2 2014 2013(2013)(2)原式22(2)20142014 40262013.6.计算:(1)38.92238.948.948.92.解:(1)原式(38.948.9)2100.7.分解因式:(1)4x24x1;(2)小聪和小明的解答过程如下:他们做对了吗?若错误,请你帮忙纠正过来.x2 22 2x3.3.1 13 3(2)原式 (x26x9)(x3)21 13 31 13 3解:(1)原式(2x)222x11(2x+1)2 小聪小聪:小明小明:8.(1)已知ab3,求a(a2b)b2的值;(2)已知ab2,ab5,求a3b2a2b2ab3的值原式25250.解:(1)原式a22abb2(ab)2.当ab3时,原式329.(2)原式ab(a22abb2)ab(ab)2.当ab2,ab5时,课堂小结课堂小结完全平 方公式分 解因式公式公式a22ab+b2=(ab)2特点特点(1 1)要求多项式有三项三项.(2 2)其中两项同号,且都可以写成某数或式的平方,另一项则是这两数或式的乘积的2倍,符号可正可负.