1、3.2 抽样定理与信号插值抽样定理与信号插值 一、一、抽样定理一抽样定理一 二、抽样定理二二、抽样定理二 三、限带信号的插值恢复三、限带信号的插值恢复 四、非四、非限带信号的插值限带信号的插值 五、信号插值的应用五、信号插值的应用 六、六、连续卷积与离散卷积的关系连续卷积与离散卷积的关系 一、一、抽样定理一抽样定理一 1.问题与分析问题与分析 引例引例 ,01sin)(ttx 考虑连续时间信号考虑连续时间信号 如果将采样间隔取为如果将采样间隔取为 则有则有 .0)(nx,1.0 )(txt101201101显然，显然，与与 之间一点关系都没有了！之间一点关系都没有了！)(nx)(tx问题问题
2、采样间隔采样间隔 取多少才取多少才“合适合适”?采样间隔采样间隔 越大，信息损失越大；越大，信息损失越大；采样间隔采样间隔 越小，存储量越大，计算量也越大；越小，存储量越大，计算量也越大；一、一、抽样定理一抽样定理一 1.问题与分析问题与分析 目标目标 探讨探讨 与与 之间的关系。之间的关系。)(nx)(tx具体地说，由具体地说，由 能不能恢复能不能恢复?)(nx)(tx分析分析 q 由于信号与频谱是一一对应的，因此，问题的关键是由于信号与频谱是一一对应的，因此，问题的关键是 信号被采样后，其频率成份能不能完全保留下来。信号被采样后，其频率成份能不能完全保留下来。q 换句话说，从采样信号的频谱
3、函数中，能不能将原来换句话说，从采样信号的频谱函数中，能不能将原来 信号的频谱函数完全恢复出来。信号的频谱函数完全恢复出来。q 因此下面将要介绍的因此下面将要介绍的抽样定理一抽样定理一就是首先从频谱函数入手，就是首先从频谱函数入手，给出了连续信号与离散信号之间的频谱关系。给出了连续信号与离散信号之间的频谱关系。一、一、抽样定理一抽样定理一 2.抽样定理一抽样定理一 定理定理 设连续时间信号设连续时间信号 的频谱为的频谱为 它所对应的采样它所对应的采样 )(nx)(tx,)(fX信号信号 的频谱为的频谱为 则有则有 ,)(fX m)(fX.1)(mfX.d)()(2e ffXnxfnj nt令令
4、 证明证明 (1)已知已知 ;d)()(/102e ffXnxfnj,d)()(2e ffXtxtfj一、一、抽样定理一抽样定理一 证明证明 (1);d)()(/102e ffXnxfnj.d)()(2e ffXnxfnj(B)(A)(2)将将 以以 等分，等分，/1),()(nx /1/02d)(emmfnjffX m mf 令令 /102,d)(e)(mnjmX m 则由则由(B)式有式有 1 2 1 2 02 m1 m1 m0 m一、一、抽样定理一抽样定理一 证明证明 (1);d)()(/102e ffXnxfnj.d)()(2e ffXnxfnj(2)(B)(A)(nx /102,d)
5、(e)(mnjmX m /10.d12e)(fmfXfnj m )(nx(C)(3)比较比较(A)式和式和(C)式，式，m)(fX.1)(mfX12e mnj由由 由唯一性有由唯一性有 一、一、抽样定理一抽样定理一 ffXfXd|)()(|)2(/1)2(/1 推论推论 设连续时间信号设连续时间信号 的频谱为的频谱为 它所对应的采样它所对应的采样 )(nx)(tx,)(fX信号信号 的频谱为的频谱为 则有则有 ,)(fX.d|)(|)2(/1|ffXf 证明证明 (1)已知已知 m)(fX)(1 mfX m)(1 mfX0 m,)(fX )(1 mfX 1 m )(1 mfX 1 m )()(
6、fXfX .一、一、抽样定理一抽样定理一 证明证明 (1)(1 mfX 1 m )(1 mfX 1 m )()(fXfX .fmfXd|1|)2(/1)2(/1)(1 m (2);d|)(|)2(/1ffX /mf 令令 d|)(|/)2(/1/)2(/1 mmX 1 m fmfXd|1|)2(/1)2(/1)(1 m.d|)(|)2(/1ffX (同理同理)1 23 21 205 21 m2 m0 m一、一、抽样定理一抽样定理一 证明证明 (1)(1 mfX 1 m )(1 mfX 1 m )()(fXfX .fmfXd|1|)2(/1)2(/1)(1 m (2);d|)(|)2(/1ffX
7、 fmfXd|1|)2(/1)2(/1)(1 m.d|)(|)2(/1ffX .d|)(|)2(/1|ffXf ffXfXd|)()(|)2(/1)2(/1 (3)ffXd|)(|)2(/1 ffXd|)(|)2(/1 一、一、抽样定理一抽样定理一 3.几何直观几何直观 m)(fX)(1 mfX)(fX1 21 21)(1 fX1)(1 fX)(fX2 2)(fX 3 25 21 21 23 25 21 21 21)(1 fX1)(1 fX)(fX2 2 一、一、抽样定理一抽样定理一 3.几何直观几何直观 m)(fX)(1 mfX频率发生了混淆，称此为频率发生了混淆，称此为 混频现象混频现象。
8、q 可见，可见，是由是由 平移叠加而成。平移叠加而成。)(fX)(fX定义定义 记记 称称 为为 折叠折叠(Folding)频率频率；,21 Nf,1 Ff称称 为为奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)频率频率。FfNfq 折叠的含义折叠的含义?即信号抽样后，即信号抽样后，)(fX 3 25 21 21 23 25 2)(fX二、抽样定理二二、抽样定理二 1.限带信号限带信号 则称则称 为为限带信号限带信号；称；称 为为截止频率截止频率(简称简称截频截频)。)(txcf定义定义 若信号若信号 的频谱的频谱 满足：满足：)(tx)(fX,0 )(fX,0,|cff ,|cff (?)若若 为实信号
9、，则有：为实信号，则有：)(tx注注 )(fX(1)共轭对称，共轭对称，|)(|fX(2)偶对称，偶对称，|)(|fXcf cff;)(d)()(2_efXttxfXtfj 即即 .|)(|)(|)(|_fXfXfX 即即 理由理由 二、抽样定理二二、抽样定理二 2.采样定理二采样定理二 则可由采样信号则可由采样信号 完全恢复原信号完全恢复原信号 对于截频为对于截频为 的限带信号的限带信号 ，若采样间隔，若采样间隔 定理定理 .)(tx)(nx,21cf cf)(tx因而没有发生因而没有发生 混频现象混频现象；)(fXcf cff)(fX 1 1 cf cff,21cf ,21cf 由由 有有
10、 因此，可以从因此，可以从 中完全分离出中完全分离出 )(fX.)(fX1 21 2)(fXcf cff)(fX 1 21 21 1 cf cff则可由采样信号则可由采样信号 完全恢复原信号完全恢复原信号 对于截频为对于截频为 的限带信号的限带信号 ，若采样间隔，若采样间隔 定理定理 .)(tx)(nx,21cf 二、抽样定理二二、抽样定理二 2.采样定理二采样定理二 cf)(tx记忆记忆 因此因此 意味着意味着 )2(/1cf .2/minT 故通常说：故通常说：,maxcff 所谓截止频率可以看成是信号的最大频率，即所谓截止频率可以看成是信号的最大频率，即 ,/1mincfT 而最大频率又
11、对应于信号的而最大频率又对应于信号的“最小周期最小周期”，即，即 采样间隔只需小于最小周期的一半。采样间隔只需小于最小周期的一半。注注 若若 时，时，则条件可放宽为则条件可放宽为,0)(fX.)2(/1cf cff|什么条件时，可由采样信号什么条件时，可由采样信号 完全恢复原信号完全恢复原信号?设信号设信号 当采样间隔满足当采样间隔满足 例例 )(tx)(nx,10sin5sin3sin)(ttttx 解解 ,5/1min T最小周期最小周期 ,5max f最大频率最大频率 ,5 cf截止频率截止频率 采样间隔采样间隔 应满足：应满足：.10121 cf t3sint5sint10sinttt
12、1112.01.0)(txt11.0恢复信号恢复信号?对信号对信号 进行采样时，采样间隔进行采样时，采样间隔 应为多少，才能完全应为多少，才能完全 已知信号已知信号 其中其中 的截频为的截频为 100 H z,例例 )(ty,)1202(10)(txty)(tx)(ty,0 ,0,100|f.100|f ttxtfjd)1202(102e ttxtfjd)(5)(21202e ttxtfjfjd)(5)(22120ee)(e25120fXfj 解解 ttxfXtfjd)()(2e(1)已知已知 ttyfYtfjd)()(2e(2)tt 1202令令 .)(5.2)(0025.0mss 解解 t
13、txfXtfjd)()(2e,0 ,0,100|f.100|f)(e25120fXfj(1)已知已知 (2)(fY,0 ,0,200|f.200|f(3)根据采样定理知，采样间隔根据采样定理知，采样间隔 应满足应满足:即信号即信号 的截频为的截频为 )(ty.H200zfc 恢复信号恢复信号?对信号对信号 进行采样时，采样间隔进行采样时，采样间隔 应为多少，才能完全应为多少，才能完全 已知信号已知信号 其中其中 的截频为的截频为 100 H z,例例 )(ty,)1202(10)(txty)(tx)(ty cf21 4001 恢复信号恢复信号?对信号对信号 进行采样时，采样间隔进行采样时，采样
14、间隔 应为多少，才能完全应为多少，才能完全 已知信号已知信号 其中其中 的截频为的截频为 100 H z,例例 )(ty,50cos)()(ttxty)(tx)(ty tttxtfjd50cos)(2e ttxtfjtjtjd)(2125050eee)25()25(21 fXfX解解 ttxfXtfjd)()(2e,0 ,0,100|f.100|f(1)已知已知 ttyfYtfjd)()(2e(2).)(4)(004.0mss 解解 ttxfXtfjd)()(2e,0 ,0,100|f.100|f(1)已知已知 (2)(fY,0 ,0,125|f.125|f(3)根据采样定理知，采样间隔根据采
15、样定理知，采样间隔 应满足应满足:即信号即信号 的截频为的截频为 )(ty.H125zfc)25()25(21 fXfX恢复信号恢复信号?对信号对信号 进行采样时，采样间隔进行采样时，采样间隔 应为多少，才能完全应为多少，才能完全 已知信号已知信号 其中其中 的截频为的截频为 100 H z,例例 )(ty,50cos)()(ttxty)(tx)(ty cf21 2501 对应的采样信号为对应的采样信号为 .)(nx 考虑截频为考虑截频为 的限带信号的限带信号 ，采样间隔满足，采样间隔满足 ,21cf cf)(txq 恢复过程：恢复过程：)(fX得得 .)(tx得得 )(nx)(fX 得得 由
16、由 三、限带信号的插值恢复三、限带信号的插值恢复 1.基本原理基本原理 q 由于没有发生由于没有发生 混频现象混频现象(如图如图)，因此，可以从因此，可以从 中中 )(fX 完全分离出完全分离出 ,)(fX)(fXcf cff)(fX 1 21 21 1 cf cff.)(tx进一步即可完全恢复进一步即可完全恢复 三、限带信号的插值恢复三、限带信号的插值恢复 2.一般的插值公式一般的插值公式 )(fXcf cff)(fX 1 21 21 1 cf cff(1)如图，如图，构造一个谱函数：构造一个谱函数：推导推导 ,1 ,0,|f.|f)(fH其中，其中，.21 .)()()(fXfHfX 根据
17、前面的分析，显然有根据前面的分析，显然有 .d)()(2effHthtfj)(fH所对应的信号为：所对应的信号为：1 2 1 2)(fH1 1 2f过渡带过渡带 三、限带信号的插值恢复三、限带信号的插值恢复 2.一般的插值公式一般的插值公式 (1)(2)ffXtxtfjd)()(2e n .)()(nthnx)(fX 1 21 21 1 cf cff)(fXcf cff ffXfHtfjd)()(2e ffHnxfntjd)()()(2e n )(fHfnxtfjfnjd)(22ee n )(fH1 1 2 1 2f 1 2过渡带过渡带 推导推导 .)()()(fXfHfX 三、限带信号的插值
18、恢复三、限带信号的插值恢复 2.一般的插值公式一般的插值公式 公式公式 )(tx n .)()(nthnx,1 ,0,|f,|f)(fH ;d)()(2effHthtfj其中，其中，在在过渡带过渡带 上，上，连续或光滑。连续或光滑。,)(fH;21 适当小适当小；下面为了叙述方便，不妨将下面为了叙述方便，不妨将 称为称为插值基函数插值基函数。)(th)(fH1 1 2 1 2f 1 2过渡带过渡带 (1)过渡带的带宽为零过渡带的带宽为零 三、限带信号的插值恢复三、限带信号的插值恢复 3.几个常用的插值基函数几个常用的插值基函数 下面给出的几个常用插值基函数将在第五章解释其含义下面给出的几个常用
19、插值基函数将在第五章解释其含义;其中的其中的 不再单独说明。不再单独说明。)2(/1 )(fHf1 ttth 2sin)(插值基函数插值基函数 频谱函数频谱函数 ,1 ,0,|f.|f)(fH./sintt (抽样函数抽样函数)(tx插值公式插值公式 n ./)(/)(sin)(ntntnx(2)过渡带为一次曲线过渡带为一次曲线(直线直线)三、限带信号的插值恢复三、限带信号的插值恢复 3.几个常用的插值基函数几个常用的插值基函数 )(fHf1f 12f 直线直线 1f2f ,0.|2ff ,|1ff )(fH,1,|122ffff ,|21fff 频谱函数频谱函数 其中，其中，.,21 ff(
20、下同下同).2sin212sin)(ttttth 插值基函数插值基函数 (3)过渡带为二次曲线过渡带为二次曲线(抛物线抛物线)三、限带信号的插值恢复三、限带信号的插值恢复 3.几个常用的插值基函数几个常用的插值基函数 )(fHf1f 12f 抛物线抛物线 1f2f ,)()|(2121221ffff ,|1 ff,)(|)|(221222ffff ,|2ff ,0.|2ff ,|1ff )(fH,1频谱函数频谱函数 .)(sin2sin)(22ttttth 插值基函数插值基函数 (4)过渡带为余弦曲线过渡带为余弦曲线 .|cos)(121fffffc 其中其中 三、限带信号的插值恢复三、限带信
21、号的插值恢复 3.几个常用的插值基函数几个常用的插值基函数 )(fHf1f1f 12f2f“余弦余弦”,0.|2ff ,|1ff )(fH,1,|21fff ,)(121fc 频谱函数频谱函数 .)4(12cos2sin)(2ttttth 插值基函数插值基函数 四、非限带信号的插值四、非限带信号的插值 1.插值公式插值公式 设设 为非限带信号，采样间隔为为非限带信号，采样间隔为 。对。对 进行采样后进行采样后 )(tx)(tx所得到的采样信号为所得到的采样信号为 。)(nx 无论无论 采样间隔采样间隔 多小，都多小，都 不可能由不可能由 精精 确确 恢恢 复复 ，)(tx)(nx因此，在对因此
22、，在对 进行插值时，一般仍然采用前面已有的进行插值时，一般仍然采用前面已有的 )(nx插值公式进行插值，所得到的信号不妨记为插值公式进行插值，所得到的信号不妨记为 ，)(tx 根据前面的推导过程，有根据前面的推导过程，有 .)()()(fXfHfX )(tx n .)()(nthnx即即 四、非限带信号的插值四、非限带信号的插值 2.误差分析误差分析 下面仅对插值基函数为抽样函数的情况下面仅对插值基函数为抽样函数的情况 给出误差分析。给出误差分析。n ./)(/)(sin)(ntntnx)(tx n )()(nthnx.)()(mxmx结论结论1 n /)(/)(sin)(nmnmnx)(mx
23、证明证明 .)(mx(满足插值的基本要求满足插值的基本要求)设设 如图所示，它所对应的信号为如图所示，它所对应的信号为 ，)(fH)(th)(fHf11 2 1 2此时有：此时有：四、非限带信号的插值四、非限带信号的插值 2.误差分析误差分析 结论结论1 .)()(mxmx.d|)(|2)2(/1|ffXf|)()(|txtx 结论结论2 )(fHf11 2 1 2 ffXfXtxtxtfjd)()(|)()(|2e ffXfXd|)()(|证明证明 .)()()(fHfXfX (1)已知已知 ffHfXfXd|)()()(|)()(|txtx四、非限带信号的插值四、非限带信号的插值 2.误差
24、分析误差分析 结论结论1 证明证明 .d|)(|2)2(/1|ffXf|)()(|txtx.)()(mxmx结论结论2 )(fHf11 2 1 2(1)ffHfXfXd|)()()(|)()(|txtx ffXfXd|)()(|)2(/1)2(/1 ffXfd|)(|)2(/1|.d|)(|2)2(/1|ffXf|)()(|txtx 根据抽样定理一的推论可得：根据抽样定理一的推论可得：(2)五、信号插值的应用五、信号插值的应用 1.信号插值的具体实现信号插值的具体实现 问题问题 已知已知 求求 的值。的值。,)(nx)(0tx公式公式 )(0tx n )()(0 nthnx n .)()(0t
25、nhnx 步骤步骤 (1)将插值基函数将插值基函数 )(th反转反转 )(th 平移平移 ;)(0tth (2)将将 离散：离散：)(0tth ;)()(0tnhnh (3)对应点相乘并求和：对应点相乘并求和：n .)()(nhnx)(0tx五、信号插值的应用五、信号插值的应用 1.信号插值的具体实现信号插值的具体实现 问题问题 已知已知 求求 的值。的值。,)(nx)(0tx)(tht对应点相乘再求和对应点相乘再求和 注注 具体实现时，通常只取具体实现时，通常只取 的少量的有限个点。的少量的有限个点。)(th图示图示 )(nxt 0tq 信号的平移一般用于信号的信号的平移一般用于信号的时差校
26、正时差校正；五、信号插值的应用五、信号插值的应用 2.(离散离散)信号的平移信号的平移 问题问题 已知信号已知信号 的采样信号为的采样信号为 ,)(nx)(tx而时移量而时移量 则则 0 求信号求信号 沿时间轴平移沿时间轴平移 后所对应的采样信号，后所对应的采样信号，0)(tx,)()(0 txtx令令 求求 .)()(0 nxnxtt称为信号的称为信号的 时差时差。(利用利用相关分析相关分析求得求得)所谓所谓 信号平移信号平移 是指是指 即即 五、信号插值的应用五、信号插值的应用 2.(离散离散)信号的平移信号的平移 分析分析 (1)如果时移量如果时移量 恰好是采样间隔恰好是采样间隔 的倍数
27、，的倍数，0 整点的移动即可完成。整点的移动即可完成。(2)如果时移量如果时移量 不是采样间隔不是采样间隔 的倍数，的倍数，0 的移动；的移动；)(nxt 0 此时就需要利用插值来完成。此时就需要利用插值来完成。则直接进行则直接进行 则先进行整点则先进行整点 再对不足一个再对不足一个 采采 样间隔的时移量样间隔的时移量 进行移动进行移动,)(nx)(nxt )(ms五、信号插值的应用五、信号插值的应用 2.(离散离散)信号的平移信号的平移 如图，要将采样信号如图，要将采样信号 沿沿 t 轴的正向移动轴的正向移动 1 毫秒，毫秒，)(nx分析分析 1 实际上需要通过插值求出所有实际上需要通过插值
28、求出所有 点上的信号点上的信号 ntn1值值 ，)(ntx则则 即是即是 )(nx)(nx沿沿 t 轴的正向移动轴的正向移动 1 毫秒后的采样信号。毫秒后的采样信号。)(x)2(x)3(x)4(x)(x)2(x)3(x)0(x例如例如 假定时移量为假定时移量为 .10ms (以下的时间变量均以以下的时间变量均以 ms 计计),)()(ntxnx 再令再令 五、信号插值的应用五、信号插值的应用 2.(离散离散)信号的平移信号的平移 例如例如 假定时移量为假定时移量为 .10ms 以求以求 为例。为例。图示图示 )1()0(xx)(nxt 1)(ms)(x)2(x)3(x)4(x)(x)2(x)3
29、(x)0(x对应点相乘再求和对应点相乘再求和 n .)()(nhnx)0(x)(tht)(ms1)0(h)(h)2(h)3(h)4(h)4(h)(h)3(h)2(h注意到在求其它点时注意到在求其它点时 不需要重新采样不需要重新采样 )(th五、信号插值的应用五、信号插值的应用 2.(离散离散)信号的平移信号的平移 例如例如 假定时移量为假定时移量为 .10ms 步骤步骤 (1)将插值基函数将插值基函数 )(th反转反转 平移平移 )(th ;)1(th(2)将将 离散：离散：)1(th;)1()(nhnh(以下的时间变量均以以下的时间变量均以 ms 计计)k (3)计算计算 ,)()(khkn
30、x)(nx.,2,1,0 n(4)(nx即为所求的结果。即为所求的结果。五、信号插值的应用五、信号插值的应用 3.(离散离散)信号的重采样信号的重采样 例如例如 已知已知 令令 求求 ,)(nx,2/1 .)(1 nxq 在已有的采样信号的基础上，以新的采样间隔重新采样。在已有的采样信号的基础上，以新的采样间隔重新采样。q 显然，它的实现方法与信号的平移是类似的。显然，它的实现方法与信号的平移是类似的。主要包括隔点抽取、二分点插值等两种简单情况。主要包括隔点抽取、二分点插值等两种简单情况。)0(x)(x)(x)2(x)(nxt 2 2 2 2 五、信号插值的应用五、信号插值的应用 3.(离散离
31、散)信号的重采样信号的重采样 例如例如 已知已知 令令 求求 ,)(nx,2/1 .)(1 nx步骤步骤 (1)将插值基函数将插值基函数 )(th反转反转 平移平移 )(th ;)2/(th(2)将将 离散：离散：;)2/()(nhnh)2/(th(4)(1nx结果结果 ,)(kx,)(kx,2kn .12 kn(3)计算计算 k ,)()(khknx)(nx.,2,1,0 n六、六、连续卷积与离散卷积的关系连续卷积与离散卷积的关系 设有两个连续信号设有两个连续信号 和和 ，按两种方式进行卷积。，按两种方式进行卷积。)(tx)(ty(1)先做连续卷积，再抽样先做连续卷积，再抽样：;d)()(t
32、yx)()()(tytxtg .d)()(nyx)(ng(2)先抽样，再做离散卷积先抽样，再做离散卷积：;)()(,)()(nytynxtx k)()()(knykxng.)()(nynx问题问题 )(ng.)(ng是否是否?六、六、连续卷积与离散卷积的关系连续卷积与离散卷积的关系 令令 则当采样间隔则当采样间隔 时，有时，有 若若 和和 均为限带信号，截止频率分别为均为限带信号，截止频率分别为 和和 )(tx定理定理 )(tyxf,yf k.)()()(knykxng,d)()(nyx)(ng,),(maxyxcfff cf21 )(ng.)(ng其中，其中，它所对应的信号记为它所对应的信号
33、记为 ，)(th)(fHf11 2 1 2(1)设谱函数设谱函数 如图所示，如图所示，)(fH证明证明 六、六、连续卷积与离散卷积的关系连续卷积与离散卷积的关系 )(fHf11 2 1 2它所对应的信号记为它所对应的信号记为 ，(1)设谱函数设谱函数 如图所示，如图所示，)(fH)(th证明证明 因此，可由采样信号因此，可由采样信号 精确恢复精确恢复 ，)(tx)(nx n )(tx ;)()(nhnx 即即 由于由于 为限带信号，且截频为限带信号，且截频 )(tx,)2(/1 cxffq 因此有因此有 ,)()()(fHfYfY ,)()()(thtyty .d)()()(thyty即即 由于由于 也为限带信号，且截频也为限带信号，且截频 )(ty,)2(/1 cyffq 六、六、连续卷积与离散卷积的关系连续卷积与离散卷积的关系 (1)证明证明 n )(tx ;)()(nhnx.d)()()(thyty(2)d)()(nyx)(ng k )()(khkx d)(ny k )(kx d)()(khny k )(kx d)()(knhy .)(ng k )(kx)(kny n令令 交换次序交换次序 休息一下
