1、信号与系统多媒体教学课件多媒体教学课件(第三章第三章 Part 1)2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院主要内容主要内容傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号和非周期信号的频谱分析卷积定理和连续时间卷积定理和连续时间LTI系统的频系统的频域分析域分析2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院概述概述时域与变换域转换的对应关系时域与变换域转换的对应关系时域时域变换域变换域连续连续非周期非周期离散离散周期周期变换域变换域时域时域时域时域变换域变换域实部实部偶对称偶对称虚部虚
2、部奇对称奇对称变换域变换域时域时域2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院第第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析章连续时间信号与系统的傅里叶分析引言引言连续周期信号的傅里叶级数表示连续周期信号的傅里叶级数表示 练习一练习一2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院第第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析章连续时间信号与系统的傅里叶分析连续非周期信号的傅里叶变换连续非周期信号的傅里叶变换 练习二练习二2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院第第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析章连续时间信号与系统的傅里叶分析傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 连续周期信号的傅里叶变换连续周期信号的傅
3、里叶变换 练习三练习三2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院第第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析章连续时间信号与系统的傅里叶分析卷积定理卷积定理 连续连续LTI系统的频率响应与理想系统的频率响应与理想滤波器滤波器 练习四练习四2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院第第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析章连续时间信号与系统的傅里叶分析连续时间连续时间LTI系统的频域求解系统的频域求解练习五练习五2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.0 引言引言傅里叶生平傅里叶生平v1768年年3月月21日生于法国日生于法国v1807年提出年提出“任何周期信任何周期信号都可用正弦函数
4、级数表号都可用正弦函数级数表示示”v拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表v1822年首次发表在年首次发表在“热的热的分析理论分析理论”中中v1829年狄里赫利第一个给年狄里赫利第一个给出收敛条件出收敛条件2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.0 引言引言傅里叶的两个最主要的贡献傅里叶的两个最主要的贡献v“周期信号都可表示为成谐波关周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点v“非周期信号都可用正弦信号的非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点2022年12月1日宁
5、波大学信息科学与工程学院3.0 引言引言时域分析时域分析v基本信号：单位冲激信号基本信号：单位冲激信号(t)频域分析频域分析v基本信号：正余弦信号基本信号：正余弦信号sin t或虚指数或虚指数信号信号 ej t v傅里叶变换，自变量为傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析复频域分析v基本信号：复指数信号基本信号：复指数信号 est v拉氏变换拉氏变换,自变量为自变量为 s=+j Back2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示连续周期信号的傅里叶级数表示函数的正交性函数的正交性正交函数集正交函数集jinjidttgtgnikdttgttjiitti且,2
6、,1,0)()(,2,1)(2121221212,1)(0)()(221ttiittikdttgdttgtg2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示连续周期信号的傅里叶级数表示函数的正交分解函数的正交分解v不完备分解不完备分解v完备分解完备分解)()()()(2211tgctgctgctfnn)()()()(2211tgctgctgctfnn2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示连续周期信号的傅里叶级数表示三角函数完备正交函数集三角函数完备正交函数集v三角函数是基本函数三角函数是基本函数v建立了时间与频率两个
7、基本物理量之建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系间的联系v三角函数是简谐信号，简谐信号容易三角函数是简谐信号，简谐信号容易产生、传输、处理产生、传输、处理v 三角函数信号通过线性时不变系统后，三角函数信号通过线性时不变系统后，仍为同频三角函数信号，仅幅度和相仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位有变化，计算更方便位有变化，计算更方便2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示连续周期信号的傅里叶级数表示三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数周期信号的波形对称性与谐波特性周期信号的波形对称性与谐波特性的关系的关系 典
8、型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数关于傅里叶级数的有关结论关于傅里叶级数的有关结论周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱及其特点Back2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.1 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数三角函数在三角函数在区间区间(t0,t0+T)内相互正交内相互正交nmTnmtdtmtnTtt20coscos0000nmTnmtdtmtnTtt20sinsin00000sincos0000Ttttdtmtn2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院10100sincos2)(nnnntnbtnaatf3.1.1 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里
9、叶级数三角函数集三角函数集cosn 0t,sinn 0t|n=0,1,2,是是完备正交函数集完备正交函数集一般表达式一般表达式直流直流分量分量基波分量基波分量n=1 谐波分量谐波分量n1T202022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院直流分量直流分量余弦分量余弦分量正弦分量正弦分量TttdttfTa00)(1203.1.1 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数TttntdtntfTa000cos)(2TttntdtntfTb000sin)(22022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.1 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数狄里赫利条件狄里赫利条件v在一个周期内有有限个间
10、断点在一个周期内有有限个间断点v在一个周期内有有限个极值点在一个周期内有有限个极值点v在一个周期内能量有限即绝对可积在一个周期内能量有限即绝对可积v一般周期信号都满足这些条件一般周期信号都满足这些条件Tttdttf002)(2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.1 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数周期信号的三角函数正交集表示周期信号的三角函数正交集表示100cos2)(nnntncctf100)sin(2)(nnntnddtf2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.1 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数几种系数的关系几种系数的关系000dca22nn
11、nnbadcnnnnndcasincosnnnnndcbcossinnnnbatannnnabtanBack2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院复指数函数集复指数函数集 是完备正交集是完备正交集 表达式的推导表达式的推导3.1.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数ntjnneFtf0)(v由欧拉公式得由欧拉公式得v其中其中v由前知由前知10100sincos2)(nnnntnbtnaatf)(0ZnetjnTtttjnndtetfTF000)(12022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数两种傅氏级数的系数间的关系两种傅氏
12、级数的系数间的关系0000adcF)(21nnjnnjbaeFFn)(21nnjnnjbaeFFn引入了负频率引入了负频率2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数两种傅氏级数的系数间的关系两种傅氏级数的系数间的关系(续续)nnnnnnnnnnnnnnjnnnnjnnnjnnbFjFFjaFFFabFcFecjbaFecjbaeFFcaFnnnIm2)(Re2arctan2121)(2121)(21000ReIman-bnbncndnF-nFnnn2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里
13、叶级数复指数傅里叶级数的特点复指数傅里叶级数的特点v引入了负频率变量，没有物理意引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导义，只是数学推导v cn是实数，是实数，Fn 一般是复数一般是复数v 当当 Fn 是实数时，可用是实数时，可用Fn的正负的正负表示表示0和和相位，相位，幅度谱和相位谱幅度谱和相位谱合一合一nntjnntjnntnFeFeF0cos2200Back2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院10100sincos2)(nnnntnbtnaatf3.1.3 波形对称性与谐波特性波形对称性与谐波特性三种对称性三种对称性偶函数项偶函数项)2()(1nTtftf)()(tftf)
14、()(tftfv偶对称偶对称v奇对称奇对称v奇谐函数奇谐函数:半周期奇对称半周期奇对称v任意周期函数任意周期函数有有:奇函数项奇函数项2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.3 波形对称性与谐波特性波形对称性与谐波特性v三角表示式三角表示式周期偶函数：只含直流和余弦项周期偶函数：只含直流和余弦项100cos2)(nntnaatf200cos)(4TntdtntfTa0nb2nnnaFFv复指数表示式复指数表示式o其中其中an是实数是实数o其中其中Fn是实数是实数ntjnneFtf0)(2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.3 波形对称性与谐波特性波形对称性与谐波特
15、性偶函数实例：周期三角函数偶函数实例：周期三角函数tOET2T-T-2Tf(t)2T.2TtttEEtf0202025cos513cos31cos42)(2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.3 波形对称性与谐波特性波形对称性与谐波特性周期奇函数：只含正弦项周期奇函数：只含正弦项10sin)(nntnbtf0na200sin)(4TntdtntfTbjbFFnnn2v三角表示式三角表示式o其中其中bn是实数是实数v指数表示式指数表示式o其中其中Fn是纯虚数是纯虚数ntjnneFtf0)(2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.3 波形对称性与谐波特性波形对称性与谐
16、波特性奇函数实例：周期锯齿波奇函数实例：周期锯齿波f(t)OTt-E-TE2T.2T2TtttEtf0003sin312sin21sin)(2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.3 波形对称性与谐波特性波形对称性与谐波特性v沿时间轴移半个周期沿时间轴移半个周期v 上下反转上下反转v 波形不变波形不变v半周期对称半周期对称奇谐函数奇谐函数2)(Ttftf2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.3 波形对称性与谐波特性波形对称性与谐波特性奇谐函数奇谐函数的示例波形的示例波形E-ET.f(t)O-T2T2Tt.2T2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.3
17、 波形对称性与谐波特性波形对称性与谐波特性奇谐函数奇谐函数的傅氏级数的傅氏级数v奇谐函数奇谐函数的的偶次谐波偶次谐波的系数为的系数为0)(0为偶数nbann)(sin)(4cos)(4200200为奇数ntdtntfTbtdtntfTaTnTn2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.3 波形对称性与谐波特性波形对称性与谐波特性v沿时间轴移半个周期沿时间轴移半个周期v波形不变波形不变v半周期对称半周期对称偶谐函数偶谐函数2)(Ttftf2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.3 波形对称性与谐波特性波形对称性与谐波特性偶谐函数偶谐函数的示例波形的示例波形tTTEf(t
18、).2T2TO2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.3 波形对称性与谐波特性波形对称性与谐波特性偶谐函数偶谐函数的傅氏级数的傅氏级数v偶谐函数偶谐函数的的奇次谐波奇次谐波的系数为的系数为0)(0为奇数nbann)(sin)(4cos)(4200200为偶数ntdtntfTbtdtntfTaTnTnBack2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.4 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波余弦信号周期半波余弦信号周期全波余弦信号周期全波余弦信号Back20
19、22年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.4.1 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号信号波形信号波形主值周期表达式主值周期表达式-TTEOt22f(t)2T.22)(1tutuEtf2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.4.1 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数复指数形式的傅里叶级数复指数形式的傅里叶级数 100cos22)(ntnnSaTETEtfntjnenSaTEtf02)(02022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院22c21c23c00c0-2042|Fn|.O42n4-242.O3.1.4.1 周期矩形脉冲信号周期矩形
20、脉冲信号频谱频谱 2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.4.1 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号频谱特点频谱特点v离散频谱，谱线间隔为基波频率离散频谱，谱线间隔为基波频率0，脉冲周期脉冲周期T越大，谱线越密。越大，谱线越密。v各分量的大小正比于脉冲幅度各分量的大小正比于脉冲幅度E和脉和脉冲宽度冲宽度，反比于信号周期，反比于信号周期T。v各谱线的幅度按包络线各谱线的幅度按包络线 变化。变化。过零点为过零点为v主要能量在第一过零点内。带宽主要能量在第一过零点内。带宽m22B2Sa2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.4.1 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号周期矩形的
21、频谱变化规律周期矩形的频谱变化规律v若若T不变，不变，改变时的情况改变时的情况v若若不变，不变，T改变时的情况改变时的情况-T TEOt2f2(t)2T-2T.22442.TE|F2n|O0302040-0-20-30-4044.-TTOt2T-2TEf1(t).O44TE2|F1n|0302040-0-20-30-40-T TEOt2f2(t)2T-2T.22442.TE|F2n|O0302040-0-20-30-40.2.-TTOt2T-2TEf3(t)22442.TE2|F3n|O0302040-0-20-30-402022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.4.1 周期矩形脉
22、冲信号周期矩形脉冲信号TT/4-T/4)(tf.5cos513cos31cos2)(000tttEtf)(TnSaTEFnntjnneFtf0)(特例：对称方波特例：对称方波2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.4.1 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号对称方波的频谱变化规律对称方波的频谱变化规律TT/4-T/4003050503003nnFnF)(tfBack2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.4.2 周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期锯齿波：奇函数周期锯齿波：奇函数f(t)OT-E-TE.t2T2T2T101sin1)1()(nntnnEtfkTkTtuT
23、kTtukTtTEtf22)()(Back2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.4.3 周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号周期三角函数：偶函数周期三角函数：偶函数tnnnEEtfn0212cos2sin142)(2kTkTtuTkTtuTkTtEtf2221)(f(t)OT-TE.t2T2TBack2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.4.4 周期半波余弦信号周期半波余弦信号周期半波余弦信号：偶函数周期半波余弦信号：偶函数tnnnEEtfn01cos2cos112)(2kTkTtuTkTtuTkTtEtf442cos)(ET-Tt2T2T.f(t)OBack202
24、2年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.4.5 周期全波余弦信号周期全波余弦信号周期全波余弦信号：偶函数周期全波余弦信号：偶函数tnnEEtEtfnn012102cos141)1(42cos)(ET-Tt2T2T.f(t)OBack2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.5 关于傅里叶级数的有关结论关于傅里叶级数的有关结论 随着随着n绝对值增加，绝对值增加，an、bn、cn、dn、Fn的绝对值总体趋势是衰减的的绝对值总体趋势是衰减的(但不但不一定单调衰减一定单调衰减)；对于有限项傅里叶级数，随着迭加对于有限项傅里叶级数，随着迭加项数的增加，傅里叶级数与原信号项数的增加，傅
25、里叶级数与原信号的均方差逐渐减小，但在间断点处的均方差逐渐减小，但在间断点处的误差仍然较大，存在的误差仍然较大，存在Gibbs现象；现象；2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.5 关于傅里叶级数的有关结论关于傅里叶级数的有关结论 高频分量为信号中变化快的部分，高频分量为信号中变化快的部分，主要影响信号跳变沿；低频分量为主要影响信号跳变沿；低频分量为信号中变化慢的部分，主要影响信信号中变化慢的部分，主要影响信号峰、谷强度的高低；号峰、谷强度的高低；若信号若信号f(t)为偶函数，则级数中只有为偶函数，则级数中只有an项，所有项，所有bn=0；若信号；若信号f(t)为奇函为奇函数，则
26、级数中只有数，则级数中只有bn项，所有项，所有an=0；2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.5 关于傅里叶级数的有关结论关于傅里叶级数的有关结论 若信号若信号f(t)半波奇对称，则傅里叶级半波奇对称，则傅里叶级数偶次谐波的系数为数偶次谐波的系数为0；若信号；若信号f(t)半半波偶对称，则傅里叶级数奇次谐波波偶对称，则傅里叶级数奇次谐波的系数为的系数为0(此时信号的实际周期为此时信号的实际周期为T/2)；所有周期信号都不满足绝对可积的所有周期信号都不满足绝对可积的条件，即信号在条件，即信号在(-,+)内的绝对积内的绝对积分均发散。分均发散。2022年12月1日宁波大学信息科学与
27、工程学院3.1.5 关于傅里叶级数的有关结论关于傅里叶级数的有关结论周期信号的功率特性周期信号的功率特性vP为周期信号的平均功率为周期信号的平均功率v符合帕斯瓦尔定理符合帕斯瓦尔定理100212)(1)(TttdttfTtfPnnnnnFbaaP21222021Back2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.6 周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱周期信号的频谱v傅里叶级数的数学表达式不够傅里叶级数的数学表达式不够直观直观v频谱图直观地表现了各频率分频谱图直观地表现了各频率分量的相对大小和相位情况量的相对大小和相位情况 2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.6 周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱周期信号的频谱v周期信号的谱线只出现在基波频周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处率的整数倍的频率处v可直观看出：各分量的大小，各可直观看出：各分量的大小，各分量的频移分量的频移2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院3.1.6 周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱及其特点周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点v离散性离散性 v谐波性谐波性 v收敛性收敛性Back2022年12月1日宁波大学信息科学与工程学院第三章第三章 练习一练习一3-3-
