1、人教版八年级数学(上)主讲人：12.3.1角的平分线的性质（角的平分线的性质（1）1 1、什么是角的平分线？如图，如何用几何语言表、什么是角的平分线？如图，如何用几何语言表示角平分线？示角平分线？一条射线一条射线 把一个角把一个角 分成两个相等的角，分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。这条射线叫做这个角的平分线。oBCA如果如果OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线那么那么AOC=BOC=1/2 AOBAOC=BOC=1/2 AOB复习预习复习预习2.2.下图中能表示点下图中能表示点P P到直线到直线l l的距离的是的距离的是线段线段PCPC的长的长3.3.猜想：猜想：如图，如图，
2、OCOC平分平分AOBAOB,点点P P 在在OCOC 上，上，PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足，垂足 分别为分别为D D，E E，则则 ABOPCDEPD=PE问题问题一已知一个角，怎样得到这个角的已知一个角，怎样得到这个角的 平分线？平分线？追问追问1在生产生活中，这些方法是否可行呢？在生产生活中，这些方法是否可行呢？用量角器度量，也可用折纸的方法用量角器度量，也可用折纸的方法探求新知探求新知追问追问2 2下图是一个平分角的仪器，其中下图是一个平分角的仪器，其中AB AB=ADAD，BC BC=DCDC，将点，将点A A 放在角的顶点，放在角的顶点，AB AB 和和AD AD 沿着
3、角的两沿着角的两边放下，沿边放下，沿AC AC 画一条射线画一条射线AEAE，AE AE 就是就是DAB DAB 的平分的平分线你能说明它的道理吗？线你能说明它的道理吗？ABDCE证明：在ACD和和ACB中中 AD=AB DC=BC CA=CA ACD ACB（SSS）CAD=CAB AC平分平分DAB追问追问3从利用平分角的仪器画从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？分线？追问追问4你能说明为什么射线你能说明为什么射线OC 是是AOB 的平分的平分线吗？线吗？ABOMNC如图如图，任意
4、作一个角，任意作一个角 AOB，作出，作出 AOB的平分线的平分线OC，在，在OC 上任取一点上任取一点P，过点，过点P 画出画出OA，OB 的垂线，分别记的垂线，分别记垂足为垂足为D，E，测量，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？并作比较，你得到什么结论？问题问题二利用尺规我们可以作一个角的平分线，那利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？么角的平分线有什么性质呢？ABOPCDE结论：结论：角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的两边的距离距离相等。相等。已知：已知：AOC=BOC，点，点 P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别为垂足分别为D，
5、E 求证：求证：PD=PE追问追问1通过动手实验、观察比较，我们发现通过动手实验、观察比较，我们发现“角角的平分线上的点到角的两边的距离相等的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严，你能通过严 格的逻辑推理证明这个结论吗？格的逻辑推理证明这个结论吗？ABOPCDE证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）AOC=BOC（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PDO=PEO（已证）（已证）AOC=BOC（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD
6、=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的平分线上的点到 角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。ABOPCDEAOC=BOC，PDOA，PEOB，PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).追问追问2 角平分线的性质如何用几角平分线的性质如何用几 何语言书写？何语言书写？注意注意：角平分线性质，主要是用：角平分线性质，主要是用于判断和证明两条线段相等，与于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不以前的方法相比，运用此性质不需
7、要先证两个三角形全等需要先证两个三角形全等追问追问3由角的平分线的性质的证明过程，你能概由角的平分线的性质的证明过程，你能概 括出证明几何命题的一般步骤吗？括出证明几何命题的一般步骤吗？（1）明确命题中的已知和求证；）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和 求证；求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 明过程明过程（1 1）如图如图，OC OC 平分平分AOBAOB，点，点P P 在在OC OC 上，上，D D，E E 分分 别为别为OAOA，OB OB 上
8、的点，则上的点，则PD PD=PEPE（2 2）如图，点如图，点P P 在在OC OC 上，上，PDPDOAOA，PEPEOBOB，垂足，垂足 分别为分别为D D，E E，则，则PD PD=PEPE（3 3）如图如图，OC OC 平分平分AOBAOB，点，点P P 在在OC OC 上，上，PDPDOAOA，垂足为垂足为D D若若PD PD=3=3，则点，则点P P 到到OB OB 的距的距离为离为3 3解决问题解决问题练习练习1.下列结论一定成立的是下列结论一定成立的是 PABCODEABCODEPABCODP2、如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500
9、米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？2.5cm在在此题此题的已知条件下的已知条件下，你还能得到哪些结论？你还能得到哪些结论？3.如图，如图，ABC中，中，B=C，AD 是是BAC 的平分线，的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E，F求求证：证：EB=FCABCDEF巩固练习一、填空题一、填空题1如图1，在ABC中，C900，BC40，AD是BAC的平分线交BC于D，且DC DB3 5，则点D到AB的距离是 。2如图2所示，在ABC中，A90，BD平分ABC，AD2 cm，则点D到BC的距离为_cm DCBA3如图3，已知BD是ABC的内角
10、平分线，CD是ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是 。4如图，已知如图，已知ABCD，O为为A、C的的角平分线的交点，角平分线的交点，OEAC于于E，且，且OE=2，则两平行线间则两平行线间AB、CD的距离等于的距离等于 。5已知已知ABC中，中，A=80，B和和C的的角平分线交于角平分线交于O点，则点，则BOC=PDCBA6已知已知RtABC中，中，C=90，AD平分平分BAC交交BC于于D，若，若BC=32，且，且BD：CD=9：7，则，则D到到AB边的距离为边的距离为()A18 B16 C14 D1
11、27如图，如图，AEBC于于E，CA为为BAE的角平分线，的角平分线，AD=AE，连结，连结CD，则下列结论不正确的是，则下列结论不正确的是()ACD=CE BACD=ACE CCDA=90 DBCD=ACD如图，AOP=BOP，ADOB于D，BCOA于C，AD与BC交于点P。求证：AP=BP。试一试试一试A A B B C C D D P P O O谈谈本节课你有哪些收获？谈谈本节课你有哪些收获？课堂小结课堂小结回味无穷回味无穷w 用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.w 角平分线的性质角平分线的性质w 文字语言文字语言:角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的两边的距离相等两边的距离相等.w 符号语言：符号语言：AOCAOCBOC,PDOA,PEOB(BOC,PDOA,PEOB(已知）已知）PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等).).ABCODEP1.必做题：教科书习题必做题：教科书习题12.3第第4,5题。题。2.选做题：选做题：布置作业布置作业已知：，已知：，OE平分平分AOB，ECOA于于 C，EDOB于于 D求证：（求证：（1）OCOD；（2）OE垂直平分垂直平分CD
