1、 - 1 - 数学试卷(文科) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个正确答案，请把正 确答案涂在答题卡上） 1. 直线l的方程为22(1)yx，则（ ） A.直线l过点(2, 2)，斜率为 1 2 B. 直线l过点( 2,2)，斜率为 1 2 C. 直线l过点(1, 2)，斜率为2 D. 直线l过点( 1,2)，斜率为2 2双曲线 22 1 45 xy 的离心率是（ ） A. 5 2 B. 3 2 C. 2 D. 9 4 3. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ） A.3 B.4 C.5 D
2、.6 4. 已知空间两点(2, 1,3), ( 4,2, 3)AB,则AB、间的距离是（ ） A7 B8 C9 D10 5. 双曲线 22 94360xy的一条渐近线的方程为( ) A.9 40xy B.4 90xy C.3 20xy D.2 30xy 6. 已知圆 22 (7)(4)9xy与圆 22 (5)(6)9xy关于直线l对称 ， 则直线l的方程 是（ ） A.01165 yx B.0156 yx C.01156 yx D.0165 yx 7.已知圆 22 1: 2310Cxyxy ， 圆 22 2: 43360Cxyxy， 则圆 1 C和圆 2 C的 位置关系为（ ） A.相切 B.
3、内含 C.外离 D.相交 8. “ 1 2 m ” 是 “直线 2 (1)10mxy 与直线2 (1)10xmy 互相垂直” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.下列命题是真命题的是（ ） - 2 - A.“若ab,则 22 ab”的逆命题 B.“若 ，则sin sin ”的否定 C. “若 ,a b都是偶数，则 ab是偶数”的否命题 D. “若函数 ( ), ( )f xg x都是 R 上的奇函数，则( )( )f xg x是 R 上的奇函数”的逆否命题 10.已知抛物线 2 2(0)ypx p焦点为F，直线l过点F与抛物线
4、交于两点 ,A B，与y轴交 于(0,) 2 p M,若| 8AB ，则抛物线的准线方程为（ ） A. 2y B. 1y C. 2x D. 1x 11.已知两个平面垂直，下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面 在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 12.已知正方形ABCD的边长为4，,E F分别为边,AB BC上的点，且3AEBF.将 ,AEDCFD分别沿ED和FD折起，使点A和C重合于点P，则三棱
5、锥PEFD的外接 球表面积为（ ） A. 26 B. 13 C. 104 26 3 D. 26 26 3 二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题 5 分，共 2020 分） 13.命题“ 2 000 ,10xR xx ”的否定为： . 14. 焦 点 在x轴 上 ， 离 心 率 1 2 e ， 且 过( 22 ,3 )的 椭 圆 的 标 准 方 程 为 . 15.已知定点)0 , 3(B，点A在圆4) 1( 22 yx上运动，则线段AB中点M的轨迹方程 是 . 16.已知( 3,0)A ，(3,0)B，点P在圆4)4() 3( 22 yx上运动，则 22 PBPA 的最 小值是 . 三、解
6、答题（本大题共 6 6 小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D中 (1)求证： 1 ACDB (2)求证： 1 DB 平面 1 ACD 18. （本小题满分 10 分） 设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两 点,B C， 经过抛物线上一点P垂直于对称轴的直线和对称轴交于点M， 设 |BCa ，|MPb，|OMc，求证：, ,a b c成等比数列. C1 B1 D1 A1 D C BA - 3 - 19. （本小题满分 12 分） 已知ABC的顶点C(2,-8)，直线AB
7、的方程为 211yx ，AC边上的高BH所在直 线的 方程为 320xy （1）求顶点A和B的坐标； （2）求ABC外接圆的一般方程. 20. （本小题满分 12 分） 已知点 12 12 2 2 ( 3, ),( ,) 233 PP是椭圆C： 22 22 1 xy ab 上两点. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l的斜率为 1，直线l与圆 22 1xy相切，且与椭圆C交于点 ,A B，求线段AB 的长. 21. （本小题满分 12 分） 如图， 四棱锥PABCD中， 侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD， 1 2 ABBCAD， 0 90BADABC , E 是 PD 的中点 (1
8、)证明：直线CE平面PAB； (2) 若PCD的面积为15，求四棱锥PABCD的体积 P ABCD V 22. （本小题满分 12 分） 已知抛物线C： 2 6yx， 直线l:22 330xy与x轴交于点F， 与抛物线C的准线交于点M，过点M作x轴的平行线交抛物线C于点N. （1）求FMN的面积； - 4 - （2）过F的直线交抛物线C于 ,A B两点，设AF FB ， 3 (,0) 2 D ，当 1 ,3 2 时， 求DA DB 的取值范围. - 5 - 数学试卷(文科)参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7
9、 8 9 10 11 12 答案 C B A C C B B A D D C A 二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题 5 分，共 2020 分） 13. 2 ,10xR xx 14. 22 1 129 xy 15. 22 (1)1xy 16.36 三、解答题（本大题共 6 6 小题，共 7070 分。 ） 17.证明：(1)连结BD、 11 B D 1 DD 平面ABCD，AC 平面ABCD 1 DDAC 2 分 又ACBD， 1 BDDDD， 1 BDDD 、平面 11 DBB D AC平面 11 DBB D，又 1 DB 平面 11 DBB D 4 分 1 ACDB 6 分 (2)
10、由 1 ACDB，即 1 DBAC同理可得 11 DBAD，9 分 又 1 ADACA， 1, AD AC 平面 1 ACD 1 DB平面 1 ACD 12 分 （其他解法参照赋分其他解法参照赋分） 18. 证明：以抛物线的顶点为O坐标原点，对称轴为x轴，建立如图所示 的平面直角坐标系， 2 分 设抛物线方程为 2 2(0)ypx p，则焦点(,0) 2 p F，4 分 BC x轴，(, ),(,) 22 pp Bp Cp6 分 | 2BCpa 7 分 又PM x轴于点M，|MPb，|OMc， ( , )( ,)P c bcb或，8 分 P在抛物线上， 2 2bpc， 9 分 2 bac即 ,
11、 ,a b c成等比数列. 10 分. （其他解法参照赋分其他解法参照赋分） 19. 解： （1）由 211 320 yx xy 可得顶点(7, 3)B,1 分 又因为ACBH得， 1 3 BH k 2 分 所以设AC的方程为 3yxb ， 3 分 将C(2,-8)代入得14b 4 由 211 314 yx yx 可得顶点为A (5,1) 5 分 所以A和B的坐标分别为(5,1)和(7,-3) 6 分 F P M C B O y x C1 B1 D1 A1 D C BA - 6 - （2）设ABC的外接圆方程为 22 0xyDxEyF ，7 分 将A (5,1)、B(7,-3)和C(2,-8)
12、三点的坐标分 别代入得 5260 73580 28680 DEF DEF DEF 则有 4 6 12 D E F 11 分 所以ABC的外接圆的一般方程为 22 46120xyxy.12 分. （其他解法参照赋分其他解法参照赋分） 20. 解：（1）设椭圆C的方程为： 22 1mxny， 1 分 点 12 12 2 2 ( 3, ),( ,) 233 PP是椭圆C： 22 1mxny上两点， 则 1 31 4 48 1 99 mn mn 3 分 解得： 1 ,1 4 mn，5 分 故椭圆C的方程为： 2 2 1 4 x y.6 分 （2）直线l的斜率为 1，故设直线l的方程为：y xm 即0x
13、ym， 1122 ( ,), (,)A x yB x y 7 分 直线l与圆 22 1xy相切， 2 | 12 1 1 m m ， 8 分 由 22 2 2 58440 1 4 yxm xmxm x y ， 即 2 584 0xm x 9 分 12 12 8 5 4 5 m xx x x 10 分 2 2 12 4 454 6 |1|2 55 m ABkxx . 12 分 （其他其他解法参照赋分解法参照赋分） 21. 解：(1)取PA的中点F，连FEFB、， E是PD的中点, FE/ = 1 2 AD， 2 分 M F P B C DA E - 7 - 又BC/ = 1 2 AD FE/ =
14、BC 四边形EFBC是平行四边形4 分 CEBF 又CE平面PAB，BF 平面PAB5 分 CE平面PAB 6 分 (2)在平面PAB内作POAB于O，不妨设 1 2 2 ABBCADx，则4ADx 由PAB是等边三角形，则2PAPBx，O为AB的中点，3POx 7 分 平面PAB 平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PO平面PAB 又BCAB，ADAB，BC、AD 平面ABCD；POAB，PO平面PAB BC、AD平面PAB；PO平面ABCD8 分 BCPB，ADPA 9 分 2 2PCx，2 5PDx 10 分 取AD的中点M，连CM，可得CMD为等腰直角三角形， 0 90CMD 2
15、CMMDx，则2 2CDx，PCCD，3CEx 2 1 1515 2 PCD SPD CEx ，即1x 11 分 11 11 1 ()2(24)32 3 33 23 2 P ABCDABCD VSPOABBCADPO . 12 分 （其他解法参照赋分其他解法参照赋分） 22. 解：抛物线C： 2 6yx的焦点为 3 ( ,0) 2 ，准线为直线 3 2 x ，1 分 又直线l:22 330xy与x轴交于点 3 ( ,0) 2 F，2 分 2 6yx的焦点为 3 ( ,0) 2 F， 3 分 由 已 知 和 抛 物 线 定 义 得NMNF， 且30NMF， 31 (, 3),( , 3) 22
16、MN， 4 分 120 ,2MNFMN， 5 分 FMN的面积 1 sin1203 2 SMN NF.6 分 （2）由（1）知，抛物线C的方程为 2 6yx，设 22 12 12 (,), (,) 66 yy AyBy， 由AF FB 得 12 22 12 22 12 12 33 (,)(,) 33 2662() 2662 yy yy yy yy ，8 分 - 8 - 不妨设 2 0y ，故 21 3 ,3yy ,9 分 12 33 , 22 xx 1122121212 3339 (,) (,)() 2224 DA DBxyxyx xxxy y 919 () 42 , 1 ,3 2 11 分 当1时，DA DB 最小为 0；当3时，DA DB 最大为 3， 即DA DB 的取值范围是0,3.12 分 （其他解法参照赋分其他解法参照赋分）
