1、 - 1 - 数学 （全卷满分：150 分 考试用时：120 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1直线 0623 yx 在 y 轴上的截距为b，则 b ( ) A3 B2 C2 D 3 2已知椭圆 )0( 1 25 2 22 m m yx 的左焦点为 )0 , 3( 1 F ，则 m ( ) A3 B4 C9 D16 3等比数列 n a 的前n项和 aS n n 3 ，则a的值为( ) A3 B1 C3 D1 4若原点在圆 myx 22 )4() 3( 的外部，则实数m的取值范围是( ) A m25 B
2、 m5 C 0m25 D0m5 5数列 n a 满足 1 1 a ， )( 12 * 1 Nnaa nn ，则 2019 a ( ) A1 B2019 C2020 D1 6直线 0243 yx 与圆 02 22 xyx 的位置关系是( ) A相离 B相切 C相交 D无法判断 7等差数列 n a 中， 4 84 aa ， 6 10 a ，则公差 d ( ) A1 B2 C1 D2 8过抛物线 xy4 2 焦点的直线l交抛物线于 ),( 11 yxP ， ),( 22 yxQ 两点，若 4 21 xx ， 则| |PQ ( ) A8 B7 C6 D5 - 2 - 9数列 n a 的前n项和为 n
3、S ，若 ) 1( 1 nn an ，则 5 S ( ) A 1 B 5 6 C 1 6 D 1 30 10已知抛物线 )0( 2 aaxy 的准线与圆 076 22 xyx 相切，则a的值为( ) A1 2 B1 C2 D4 11 已知数列 n a 为等差数列， 若 10 10 11 a a ， 且它们的前n项和 n S 有最小值， 则使得 0 n S 的最大值n为( ) A22 B21 C20 D19 12 已知双曲线 1 C ： )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2， 若抛物线 2 C ： )0(2 2 ppyx 的焦点到双曲线 1 C 的渐近线的距离为
4、 2，则抛物线 2 C 的方程是( ) A yx16 2 B. yx8 2 C yx 3 38 2 D yx 3 316 2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上） 13已知直线 0243: 1 yxl ，直线 022: 2 yxl ，则两条直线的交点坐标为 _ 14已知数列 n a 的通项公式 an 3n1n为奇数 2n2n为偶数 ，则 63 aa _ 15 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列， 上面 4 节的容积共 7 升，下面 4 节的容积共 17 升，则第 5 节的容积为_升 - 3 - 16已知
5、当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 m 时，量得水面宽 8 m，当水面升高 1 m 后，水面宽 度是_m 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17(本小题满分 10 分) 已知定点 )3 , 1(A ， )2 , 4(B ，以A、B为直径的端点作圆. （1）求圆的方程； （2）已知该圆与x轴有交点P，求交点P的坐标 18(本小题满分 12 分) （1）已知直线 0472: 1 yxl 与直线 023: 2 ymxl 平行，求m的值； （2）已知直线 01)1 ()2( : 1 yaxal 与直线 02) 32() 1( : 2 yaxal 互相垂
6、直， 求a的值 19(本小题满分 12 分) 已 知 n a 是 首 项 为1的 等 比 数 列 ， 数 列 n b 满 足 2 1 b ， 5 2 b ， 且 11 nnnnn ababa - 4 - （1）求数列 n a 的通项公式； （2）求数列 n b 的前 n 项和 20(本小题满分 12 分) 设 1 F 、 2 F 是椭圆E： ) 10( 1 2 2 2 b b y x 的左、 右焦点， 过 1 F 的直线l与E相交于A、 B两点 （1）若椭圆的离心率 2 1 e ，求椭圆的标准方程； （2）若直线l的斜率为 1， 2 AF 、 AB 、 2 BF 成等差数列，求b的值 21(本
7、小题满分 12 分) 已知数列 n a 和 n b 中，数列 n a 的前n项和为 n S 若点 ),( n Sn 在函数 xxy4 2 的图象上，点 ),( n bn 在函数 x y2 的图象上 （1）求数列 n a 的通项公式； （2）求数列 nnb a 的前n项和 n T - 5 - 22(本小题满分 12 分) 已知抛物线 )0(2 2 ppxy 的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为 4， 5MF （1）求抛物线的方程； （2）设l为过点 )0 , 4( 的任意一条直线，若l交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的 圆必过原点 - 6 - 数学参考答案 一、选择题（本大题共
8、12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D C A B A C B D C A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 （-2,2） 1420 153 164 2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17解析（1）由题意，圆心 C 为 AB 的中点 ) 2 5 , 2 3 ( ， 圆的直径为 26)23()41( 22 AB 圆的半径 2 26 2 AB r 所求圆的方程为： 2 13 ) 2 5 () 2 3 ( 22 yx （或者写为一般方程： 0253 22 yxyx
9、） -5 分 （2）方法 1. 2 13 ) 2 5 () 2 3 ( 22 yx 令 0y ，则 2 13 ) 2 5 () 2 3 ( 22 x ，化简得： 4 1 ) 2 3 ( 2 x 2 1 2 3 x 或 2 1 2 3 x 2x 或 1x交点 P 的坐标为 （1,0） ， （2,0） . -10 分 方法 2. 0253 22 yxyx 令 0y ，则 023 2 xx 2x 或 1x交点 P 的坐标为（1,0），（2,0）. -10 分 18解析 (1)由 l1：2x7y40. l2：mx3y20. l1l2， 2 4 3 72 m 解得 7 6 m -6 分 (2)方法方法
10、1：l1l2，(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得 a 1. - 7 - 将 a 1 代入方程，均满足题意 故当 a1 或 a1 时，直线 l1l2. -12 分 方法方法 2：由题意，直线 l1l2， 若 1a0，即 a1 时，直线 l1：3x10 与直线 l2：5y20，显然垂直 若 2a30，即 a3 2时，直线 l1：x5y20 与直线 l2：5x40 不垂直 若 1a0，且 2a30，则直线 l1，l2的斜率 k1，k2都存在，k1a2 1a，k2 a1 2a3， 当 l1l2时，k1 k21，即(a2 1a) ( a1 2a3)1，所以 a1. 综上可知，当 a1 或 a1
11、时，直线 l1l2. -12 分 19解析(1)把 1n 代入已知等式得： 21121 ababa ， 111212 3ababaa . -3 分 n a 是首项为 1,公比为 3 的等比数列 即： 11 331 nn n a . -6 分 (2)由已知得： 3 1 1 n n nn a a bb -8 分 n b 是首项为 2,公差为 3 的等差数列 即： 13) 1( 32nnbn -10 分 2 3 2 ) 132( 2 )( 2 1 nnnnbbn S n n -12 分 20解析(1)求椭圆定义知： 2 1 1 1 2 b e ，解得： 4 3 2 b . -2 分 所求椭圆的标准方
12、程为： 1 4 3 2 2 y x . -4 分 (2)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|4 3 -6 分 - 8 - 设 l 的方程式为 yxc，其中 c 1b2， 设 A(x1，y1)、B(x1，y1)，则 A、B 两点坐标满足方程组 yxc x2y 2 b21 ， 消去 y 化简得：(1b2)x22cx12b20. 则 x1x2 2c 1b2，x1x2 12b2 1b2 . -9 分 因为直线 AB 的斜率为 1， 所以|AB| 2|x2x1|， 即4 3 2|x2x1|. -10 分 则 8 9 (x1 x2)2 4x1x2 41b2 1
13、b22 412b2 1b2 2 2 4 b1 b8 ， 解 得b 2 2 . -12 分 21解析(1)由已知得 Snn24n， -1 分 当 n2 时， anSnSn12n5， -3 分 又当 n1 时， a1S13， 符合上式 -4 分 an2n5. -5 分 (2)由已知得bn2n，anbn(2n5) 2n. -6 分 Tn321122(1)23(2n5)2n， 2Tn322123(2n7)2n(2n5)2n 1. 两 式 相 减 得Tn 6 (23 24 2n 1) ( 2n 5) 2n1 -9 分 2 312n1 12 (2n5)2n+16 (72n) 2n+114. -12 分 2
14、2解析(1)由题意|MF|4p 25，得 p2，故抛物线方程为 y 24x. -4 分 (2)方法方法 1： 由题意， 直线 l 的斜率一定不为 0， 故可设其方程为 4 myx -6 - 9 - 分 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由 xy myx 4 4 2 ，得 0164 2 myy 16,4 2121 yymyy -9 分 1616161616)(4)4)(4( 22 2121 2 2121 mmyymyymmymyxx -10 分 x1x2y1y20. 又OA OB x1x2y1y20， -11 分 OA OB，以AB为直径的圆必过原 点 -12 分 方法方法 2：当直线 l
15、 的斜率不存在时，其方程为 x4. 由 x4 y24x ，得 y 4. |AB| 8， |AB| 2 4，以AB为直径的圆过原 点 -6 分 当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 yk(x4)(k0) 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由 ykx4 y24x ，得 k2x2(48k2)x16k20， x1x2 48k2 k2 ，x1x216. -9 分 y1y2k2(x14)(x24)k2x1x24(x1x2)16k216448k 2 k2 16 k2(32 1632k2 k2 )16， -10 分 x1x2y1y20. 又OA OB x1x2y1y20， OA OB，以AB为直径的圆必过原 点 -11 分 综上可知，以AB为直径的圆必过原 点 -12 分
