1、 - 1 - 数学（理）试题数学（理）试题 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。 1. 若集合 |0Bx x，且ABA ，则集合A可以是（ ） A1,2 B |1x x C 1,0,1 DR 2命题“对任意的xR， 32 10xx ”的否定是（ ） A不存在xR， 32 10xx B存在xR， 32 10xx C存在xR， 32 10xx D对任意的xR， 32 10xx 3. 已知 0.2 1.2 5 1 2,2log 2 2 abc ，则, ,a b c的大小关系为（ ） A. c ba B. b ac C c ab D. b ca 4. ABC的三内角, ,A
2、B C的对边分别为, ,a b c,其中3,2bc.O为ABC 的外接圆圆心,则AO BC( ) A. 13 2 B. 5 2 C. 5 2 D. 6 5若 1 ()nx x 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含 2 x项的系 数是( ) A 462 B 462 C 792 D 792 6.已知等差数列 n a的公差不为0， 1 1a ， 且 248 ,a a a成等比数列， 设 n a的前n项 和为 n S，则 n S ( ) A. 2 1 2 n B. 2 (1) 2 n C. (1) 2 n n D. (3) 4 n n 7.已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Ca
3、b ab 与圆 222 2: Cxyb，若椭圆 1 C上存在点 P， 使得由点 P 所作的圆 2 C的两条切线互相垂直，则椭圆 1 C的离心率最小值为( ) A 3 3 B 2 3 C 2 2 D 2 1 - 2 - 8 已知角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，始边上一点 P(1， 3)，则) 4 (cos2 为（ ） A. 5 1 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 9.函数( )f x的定义域是R，且满足( )()0f xfx，当0x时， 2 ( ) 1 x f x x ， 则( )f x图象大致是（ ） A. B. C. D. 10已知F是双曲线C： 2 2 1 3 y
4、 x 的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直， 点A的坐标是1,3.则APF的面积为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 2 11.定义在0,上的函数 y=sin(x-) (0) 6 有零点,且值域 1 ,) 2 M ,则的 取值范围是( ) A. 1 4 , 6 3 B. 1 4 , 2 3 C. 4 ,2 3 D. 1 ,2 6 12设函数( )f x的定义域为 R，满足(1)2 ( )f xf x，且当(0,1x时，( )(1)f xx x. 若对任意(,xm ，都有 8 ( ) 9 f x ，则m的取值范围( ) A 9 , 4 B 7 , 3 C 5 , 2
5、 D 8 , 3 - 3 - 二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分。 13若0,0ab，且ln0ab，则 11 ab 的最小值是_ 14 已知 n a是首项为 1 的等比数列，ns是 n a的前 n 项和， 且 36 9ss， 则数列 n a 的前 5 项和 5 S为 . 15设定义域为R的函数 ( )f x满足 ( ) ( ),fxf x则 1 ( )(21), x ef xfx 的解集为 _ 16抛物线02: 2 ppyxC焦点F与双曲线122 22 xy一个焦点重 合，过点F的直线交C于点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于 M、N，若OMN的面积为 4，则AF的长为 .
6、三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在ABC 中，角,A B C的对边分别为, ,a b c函数) 6 2sin(2)( xxf 7,( )2,cf C sinB 2sinA，（1)求C(2)求a的值 18. 等差数列 n a的前n项和为 n S，且 36 9,60aS (I) 求数列 n a的通项公式； (II)若数列 n b满足 11 3 nnn bbanNb 且，求 1 n b 的前n项和 n T 19 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺 贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟 疾标准疗法
7、，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的 长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的 指标分别记为, ,x y z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表 示合格，再用综合指标xyz 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若 4 ，则长势为一级；若23 ，则长势为二级；若01 ，则长势为三级； 为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种 - 4 - 植地，得到如下结果： （1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相 同的概率； （2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指
8、标为m，从长势 等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量Xmn， 求X的分布列. 20.如图，三棱柱 111 ABCABC中，90ACB， 1 2ACBCCC， 11 ABBC. （）证明： 111 ACCC； （）若 1 2 3AB ，在棱 1 CC上是否存在点E，使得二 面角 1 EABC的大小为30，若存在，求CE的长，若不存在，说明理由. 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，若椭圆经过点 ( 6, 1)P ，且 12 PFF 的面积2 种植地编号 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A ( , , )x y
9、 z (0,1,0) (1,2,1) (2,1,1) (2,2,2) (0,1,1) 种植地编号 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A ( , , )x y z (1,1,2) (2,1,2) (2,0,1) (2,2,1) (0,2,1) - 5 - （1）求椭圆C的标准方程； （2）设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为2的圆交于,A B 两点，与椭圆C交于,C D两点，且|(*)CDABR，当 取得最小值 时，求直线l的方程 22设函数( )(m) x f xx e（1）求函数( )f x的极值； （2）当0x时，( )4f xx恒成立，求整数m的最大值. （参考数值7183. 2
10、e，4817. 4 2 3 e） - 6 - （理科）参考答案与评分标准（理科）参考答案与评分标准 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C A B D C C D A D A B 二填空题：13 4 ; 14 31 ; 15 ; 16 5 17.解:： 由( ) 2f C ,得sin(2)1 6 C ,且(0, )C,所以 2 3 C -4 分 因为sin2sinBA,由正弦定理得2ba -6 分 又由余弦定理 222 2coscababC得： 22 2 7422 cos, 3 aaaa 解得1a -10 分 18解： （）设等差数列 n a的公差为d， 36 9,60.
11、aS 1 1 29 6 5 660 2 ad ad ， 解得 1 5 2 a d 5(1) 223. n ann 4 分 （） 1 23 nnn bban ， 1 3b ，当2n时， 1211 ()() nnn bbbbbb 2(1)32(2)32 1 33nn 2 (1) 232 . 2 n n nnn 当1n时， 1 3b 适合上式，所以.2 2 nnbn 8 分 111 11 () (2)22 n bn nnn 1111111111 (1)()()()() 232435112 n T nnnn 1111 (1) 2212nn 311 42(1)2(2)nn . 12 分 19解:（1）由
12、表可以知道:空气湿度指标为 0 的有 1 A, 空气湿度指标为 1 的有 2358910 ,A A A A A A, 空气湿度指标为 2 的有 467 ,A A A 在这 10 块青蒿人工种植地中任取两地,基本事件总数 2 10 45nC, -2 分 这两地的空气温度的指标 z 相同包含的基本事件个数 22 63 18mCC, -4 分 所以这两地的空气温度的指标 z 相同的概率 182 455 m p n -5 分 （2）根据题意得 10 块青蒿人工种植的综合指标如下表: - 7 - 编号 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 综合指标 1 4 4
13、 6 2 4 5 3 5 3 其中长势等级是一级(4)有 234679 ,A A A A A A,共 6 个, 长势等级不是一级(4)的有 15810 ,A A A A,共 4 个, 随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4,5, -6 分 11 32 11 64 1 (1) 4 C C P X C C , 1111 3122 11 64 7 (2) 24 C CC C P X C C , 111111 311221 11 64 7 (3) 24 C CC CC C P X C C , 1111 2111 11 64 1 (4) 8 C CC C P X C C , 11 11 11 6
14、4 1 (5) 24 C C P X C C , （注：每一个正确得 1 分） 所以X的分布列为: 19.（）证明：连接 1 BC 11 BCC B为平行四边形，且 1 2BCCC 11 BCC B为菱形 11 BCBC.2 分 又 11 ABBC， 1 BC平面 11 AC B 111 BCAC 4 分 又 1111 ACC B 11 AC平面 11 CBBC 111 ACCC6 分 （） 1 2 3AB 11 2AC 1 2 2BC 1 CCBC 1 ACCBCC、两两垂直8 分 以C为坐标原点，CA的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz， 如图所示，则 11 (0,0,0), (
15、2,0,0),(0,2,2),(0,0,2), (0,2,0)CABCB，设(0,0, )Ea 11 ( 2,0, ),( 2,2,2),(0,-2,2),AEa ABBC 易知， 11 BCABC平面， 1 (0, 2,2)BC ，则平面 1 ABC的一个法向量(0, 1,1)m z y x B1C1 A1 B C A E - 8 - 设( , ,1)nx y是平面 1 AB E的一个法向量 则 1 0 0 n AE n AB 20 2220 xa xy 得(,1,1) 2 2 a a n 10 分 22 |2| |3 2 |cos,| 2| 2 ( )(1)1 22 a m n m n m
16、 naa ，解得：1a 在棱 1 CC上存在点E，当1CE 时，得二面角 1 EABC的大小为30.12 分 21.解：（1）由 12 PFF的面积可得： 22 1 212,2,4 2 ccab - -2 分 又椭圆 C 过点( 6, 1)P, 22 61 1 ab - -3 分 由解得2 2,2ab，所以椭圆 C 标准方程为 22 1 84 xy -4 分 （2）设直线 l 的方程为yxm，则原点到直线 l 的距离 | 2 m d 所以 2 2 | 2 282 2 m ABm -6 分 将yxm代入椭圆方程 22 1 84 xy ，得 22 34280xmxm 由判别式 22 1612(28
17、)0mm ，解得2 32 3m 由直线直圆相交得 | ,2, 22 2 m drm ，所以( 2,2)m -8 分 设 1122 (,),(,)C x yD xy，则 2 1212 428 , 33 mm xxx x 所以 22 22 1212 168324 |2 ()4212 933 mm CDxxx xm 所以 2 2 2 4 12 |2 28 3 1 |34 82 m CD ABm m 因为22m ，所以 2 044,m则当 0m 时，取得最小值 2 6 3 ，此时直线l方程为yx -12 分 22.解： （1） ( )f x 的定义域为R ( ) (m1) x fxxe - 9 - 令
18、 ( )0fx ，解得 1xm ；令 ( )0fx ，解得 1xm 当 (,1) xm 时， ( )f x 单调递增，当 (1,)xm 时， ( )f x 单调递减， 1 ( )= (1) 极大值 m f xf me ；无极小值 -4 分 （2）( )4 x mx ex ，因为0 x e ，所以 4 x x mx e （0x ）恒成立 设 4 g( ) x x xx e ，则 33 g( )1 x xx xex x ee 设h( ) 3 x xex 则h( ) 1 x xe 0所以 ( )h x 在(0,)上单调递增， 又 2 3 (1)40, ( )4.48174.50, (2)5 2 he
19、hhe 以存在 0 3 ( ,2) 2 x 使得 0 ()0h x ，当 0 (1,)xx时， ( )0h x ；当 0 (,)xx时， ( )0h x 所以 g( )x 在 0 (1,)x上单调递减， 0 (,)x 上单调递增所以 0 0 min0 4 g( ) x x xx e 又 0 ()0h x ， 3 x ex 所以 0 00 min000 00 441 g( )1 33 x xx xxxx exx 令 13 t( )1,( ,2) 32 xxx x 则 ( )0t x 0 ()h x，所以 ( )t x 在 3 ( ,2) 2 上单调递增 所以 3 ( )( )(2) 2 tt xt ，即 min 4916 ( ) 185 g x 因为mZ，所以2m，所以m的最大值为 2 -12
