1、 1 / 6 求圆锥曲线的离心率 一、基础梳理：一、基础梳理： 除了利用定义求离心率以外，通常情况下，求离心率的基本方法是：在特殊图形特殊图形中寻找 等量关系，建立关于a与c的齐次等式。 （1）正三角形：高等于边长的 2 3 倍； （2）直角三角形：勾股定理； （3）等腰三角形（含等腰直角三角形） ：两腰相等； （4）正方形：两对角线长相等（实质上是等腰直角三角形的两腰相等）或对角线长等 于边长的2倍。 （5）若出现两条焦半径的比，则采用“赋值法” 。 （6）若出现直角三角形斜边上的高，则利用等积法。 （7）若出现比例关系或相似三角形，则利用“坐标比”或“相似比” 。 注意：如果找不到特殊图形
2、，一般都是把曲线上的动点坐标用cba 表示出来，然后代入 曲线方程建立等式。 二、题型分解：二、题型分解： （1 1）正三角形：高等于边长的）正三角形：高等于边长的 2 3 倍倍。 例 1.设和为双曲线()的两个焦点，若，是正 三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 解析： 21 2 3 FFOP，即cb2 2 3 2， 22 34cb ， 22 4ca，所以2e. （2 2）直角三角形：勾股定理）直角三角形：勾股定理。 例 2.已知点AF,分别是椭圆)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点、右顶点，), 0(bB满足 0 ABFB，则椭圆的离心率等于（ ） 2 13 .
3、 A 2 15 . B 2 13 . C 2 15 . D 解析：aFB ， 22 baAB，caFA。 因为0 ABFB ，即 ABFB ，所以 222 FAABFB， 22222 )()(cabaa，01 2 ee，解得 2 15 e. 说明： 本题还可以用“等积法” ，即OBFAABFB求解，也可以用“射影定理”求解。 1 F 2 F 22 22 1 xy ab 0,0ab 12 FF，(0,2 )Pb 2 / 6 （3 3）等腰三角形（含等腰直角三角形） ：两腰相等）等腰三角形（含等腰直角三角形） ：两腰相等。 例 3.已知点 21,F F分别是椭圆)0, 0( 1 2 2 2 2 b
4、a b y a x 的两个焦点，过 1 F且与椭圆长轴垂 直的直线交椭圆于BA,两点，若 2 ABF是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） 2 3 .A 2 2 .B 12.C 2.D 解析：因为 21F AF是等腰直角三角形，所以 211 FFAF， c a b 2 2 ，012 2 ee，解得12 e。 （4 4）正方形：两对角线长相等（实质上是等腰直角三角形的两腰相等）或对角线长等）正方形：两对角线长相等（实质上是等腰直角三角形的两腰相等）或对角线长等 于边长的于边长的2倍。倍。 例 4. 椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点 1 F， 2 F，及短轴的
5、两个端点 1 B， 2 B构成一 个正方形，则椭圆的离心率为 。 解析：cb ， 2 2 e. 例 5.椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦距为c2，以原点O为圆心，a为半径作圆，过点 )0 ,( 2 c a 作圆的两切线互相垂直，则椭圆的离心率等于 。 解析：四边形OMPN是正方形，a c a 2 2 ， 2 2 e. （5 5）若出现两条焦半径的比，则采用“赋值法” 。）若出现两条焦半径的比，则采用“赋值法” 。 例 6. 已知是双曲线:E)00( 1- 2 2 2 2 ba b y a x ，的左， 右焦点， 点在上， 与轴垂直，且,则 E 的离心率为（ ） （A）
6、2 （B） 2 3 （C）3 （D）2 解析：在直角 21F MF中，由于 3 1 sin 2 1 12 MF MF FMF，因此， 不妨设3, 1 21 MFMF，则1, 2132aa，2,22132 22 cc。 所以2e。 12 ,F FME 1 MF x 21 1 sin 3 MF F 3 / 6 （6 6）若出现直角三角形斜边上的高，则利用“等积法” 。）若出现直角三角形斜边上的高，则利用“等积法” 。 例 7.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的1 4，则 该椭圆的离心率为（ ） （A）1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 解析：b
7、bd 2 1 2 4 1 ，dBFOBOF，所以babc 2 1 ， 解得 2 1 e. （7 7）若出现比例关系或相似三角形，则利用“坐标比”或“相似比” 。）若出现比例关系或相似三角形，则利用“坐标比”或“相似比” 。 例 8.如图，椭圆的中心在原点，焦点 21,F F在x轴上，BA,是椭圆的顶点，P是椭圆上 的一点，且轴xPF 1 ， 2 / PFAB，则椭圆的离心率为 。 解析：因为 2 / PFAB，所以PFF 12 与AOB相似， 则 OA FF BO PF 211 ， a c b a b 2 2 ，cb2， 5 5 e. 例 9.已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，BA,分别
8、为C的 左，右顶点. P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交 于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D） 解析：设直线l的方程为)(axky， )(,(cakcM， ), 0(kaE 设直线MB与y轴的交点为). 0( mN，由 NBMB kk可得： a m ac cak )( ， ca caka m )( 。 由题意可知，点N是OM的中点，所以 ca caka ka )( 2，解得 3 1 e。 （8 8）已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率。）已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率。 直接利用： 2 2 1 a b e
9、例 10.若双曲线的中心在原点，渐近线方程为xy 2 3 ，则双曲线的离心率为_. 解析： 由双曲线的渐近线方程为xy 2 3 ，可知 2 3 a b 或 3 2 a b ， 22 22 1(0) xy ab ab PFxPF 1 3 1 2 2 3 3 4 4 / 6 所以 2 13 1 2 2 a b e或 3 13 。 （9 9）已知椭圆的焦点三角形的两个角，求椭圆的离心率。）已知椭圆的焦点三角形的两个角，求椭圆的离心率。 利用公式： sinsin )sin( e. 例 11. 点P是 椭 圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 上一点，是椭圆的左右焦点，已知 15 21 F
10、PF ， 75 12 FPF，椭圆的离心率为 。 解析： 3 6 75sin15sin )7515sin( e. 三、对点精炼：三、对点精炼： 1.已知点AF,分别是椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点、右顶点，点B在椭圆上，且 xBF 轴，直线AB交y轴于点P，若PBAP2，则椭圆的离心率为（ ） 2 3 .A 2 2 .B 3 1 .C 2 1 .D 答案：选D 2.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点)2, 4( A，则它的离心率是 （ ） 6.A 5.B 2 6 .C 2 5 .D 答案：选D 3.设双曲线()的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，
11、如果直线 FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） 2. A 3.B 2 13 . C 2 15 . D 答案：选D 4.设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线与抛物线1 2 xy相切， 则该双曲线的离心率等于 （ ） 3. A 2 .B 5.C 6.D 答案：选C 5从椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点 1 F，A是椭圆 与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且OPAB/ (O是坐标原点)，则该椭 圆的离心率是( ) 21 FF、 22 22 1 xy ab 0,0ab 5 / 6 A. 2
12、4 B.1 2 C. 2 2 D. 3 2 答案：选C 6过椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P， 2 F为椭圆的右 焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为( ) A. 2 2 B. 3 3 C.1 2 D. 1 3 答案：选B 7.已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为 答案： 2 3 8.已知点 21,F F分别是椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点，点P是椭圆上的一点，且 0 21 PFPF，2tan 21 FPF，则这个椭圆的离心率是 答案： 3 5 9.椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b
13、 y a x 的四个顶点为 A、B、C、D，若四边形 ABCD 的内切圆恰好过 焦点，则椭圆的离心率是 。 答案： 2 15 10.已知 21,F F是椭圆的两个焦点，过 1 F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于BA,两点，若 2 ABF是正三角形，则这个椭圆的离心率是 答案： 3 3 11. 点P是 椭 圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 上一点，是椭圆的左右焦点，已知 椭圆的离心率为 。 答案：13 12.设 1 F、 2 F是双曲线)0, 01 2 2 2 2 ba b y a x （的左右焦点，若双曲线上存在点A，使 90 21 AFF，且 21 3AFAF ，则双曲线的离心率为_. 答案： 2 10 13.过双曲线()的一个焦点作圆 222 ayx的两条切线，切点分 )0. 0( 1 21 nm nm 1 2 2 2 2 n y m x 21 FF、 ,2, 1221 FPFFPF,3 21 PFF 22 22 1 xy ab 0,0ab 6 / 6 别为A、B，若 120AOB（O是坐标原点） ，则双曲线的离心率为_. 答案：2 14.已知双曲线)0, 01: 2 2 2 2 ba b y a x E（矩形ABCD的四个顶点在E上，CDAB,的中 点为E的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_ 答案：2
